Algebraisk geometri

Algebraisk geometri  er en gren af ​​matematikken , der kombinerer algebra og geometri . Hovedemnet for undersøgelse af klassisk algebraisk geometri, såvel som i bred forstand af moderne algebraisk geometri, er sæt af løsninger til systemer af algebraiske ligninger . Moderne algebraisk geometri er i høj grad baseret på generel algebras (især kommutativ algebra ) metoder til at løse problemer, der opstår i geometri.

Hovedobjektet for undersøgelse af algebraisk geometri er algebraiske varianter , det vil sige geometriske objekter specificeret som sæt af løsninger til systemer af algebraiske ligninger. De mest velundersøgte er algebraiske kurver : rette linjer , keglesnit , terninger (såsom en elliptisk kurve ) og kurver af højere orden ( lemniscates er eksempler på sådanne kurver ). Grundlæggende spørgsmål i teorien om algebraiske kurver vedrører studiet af "særlige" punkter på en kurve, såsom entalspunkter eller bøjningspunkter . Mere avancerede spørgsmål vedrører topologien af ​​en kurve og forholdet mellem kurver givet ved differentialligninger .

Moderne algebraisk geometri har flere relationer med vidt forskellige områder af matematik, såsom kompleks analyse , topologi eller talteori . Studiet af specifikke ligningssystemer med flere variable førte til en forståelse af vigtigheden af ​​at studere de generelle interne egenskaber af sæt af løsninger af et vilkårligt system af algebraiske ligninger og som et resultat til dybe resultater i mange grene af matematikken.

I det 20. århundrede delte algebraisk geometri sig op i flere (sammenhængende) discipliner:

Hovedstrømmen af ​​forskning i algebraisk geometri i det 20. århundrede fortsatte med den aktive brug af begreberne generel algebra, med vægt på de "indre" egenskaber af algebraiske varianter, der ikke er afhængige af en specifik måde at indlejre en sort i en bestemt plads. Hendes vigtigste præstation var teorien om skemaer af Alexander Grothendieck , som gjorde det muligt at anvende teorien om skiver til studiet af algebraiske sorter ved metoder svarende til studiet af differentierbare og komplekse sorter. Dette førte til en udvidelse af begrebet et punkt: i klassisk algebraisk geometri kunne et punkt af en affin sort defineres som det maksimale ideal for en koordinatring, mens alle punkter i det tilsvarende affinskema er primidealer for den givne ring. . Et punkt i et sådant skema kan betragtes både som et almindeligt punkt og som et undermanifold , hvilket gjorde det muligt at forene sproget og værktøjerne i klassisk algebraisk geometri. Andrew Wiles ' bevis på Fermats sidste sætning var et af de klareste eksempler på kraften i denne tilgang.

Grundlæggende begreber

Affine sorter

Først og fremmest skal vi rette hovedfeltet k . I klassisk algebraisk geometri bruges som regel feltet med komplekse tal, men resultaterne forbliver gyldige for ethvert algebraisk lukket felt (i det følgende antages algebraisk lukning). Betragt et n - dimensionelt affint rum (Grunden til ikke at overveje et vektorrum over k er at understrege uafhængigheden af ​​egenskaberne for manifolden fra strukturen af ​​vektorrummet. Elementerne i basisrummet behandles som punkter, ikke som punkter. vektorer). Vi fikserer et eller andet grundlag i det affine rum (især vælger vi oprindelsen af ​​koordinater). Derefter kan hver familie S af polynomier fra ringen k [ x 1 ,..., x n ] associeres med et sæt V ( S ) af punkter, hvis koordinater opfylder alle polynomier fra mængden:

Faktisk afhænger egenskaben af ​​en funktion til at være polynom ikke af valget af grundlag, så man kan simpelthen tale om polynomielle funktioner på og sættet af fælles nuller i en familie af sådanne funktioner. Mængder, der kan repræsenteres som V ( S ), kaldes algebraiske mængder .

Enhver delmængde af et affint rum U kan associeres med et sæt I(U) af polynomier lig med nul ved alle punkter i dette sæt. Det er nemt at kontrollere, at dette sæt er et ideal i polynomialringen. To naturlige spørgsmål opstår:

For at den første lighed skal holde, er det naturligvis nødvendigt, at U er en algebraisk mængde; det er også nemt at kontrollere, at denne betingelse er tilstrækkelig. Søgningen efter et svar på det andet spørgsmål forårsager store vanskeligheder, David Hilbert beviste Hilberts velkendte nulsætning , ifølge hvilken I ( V ( S )) falder sammen med radikalet af idealet i ringen af ​​polynomier genereret af grundstofferne S ; dette betyder, at der er en bijektiv overensstemmelse mellem algebraiske mængder og radikale idealer for en polynomialring. Hilberts basissætning siger, at alle idealer i en polynomiumring er endeligt genereret , det vil sige, at enhver algebraisk mængde kan defineres ved et endeligt antal ligninger.

En algebraisk mængde siges at være irreducerbar, hvis den ikke kan repræsenteres som foreningen af ​​to mindre algebraiske mængder. En affin algebraisk variant [1]  er en irreducerbar algebraisk mængde; i algebraisk sprog svarer primære idealer for polynomialringe til affine varianter. Enhver algebraisk mængde kan repræsenteres som en forening af et endeligt antal algebraiske varianter (hvoraf ingen er en delmængde af den anden), og desuden på en unik måde [2] .

Nogle forfattere skelner ikke terminologisk mellem "algebraiske mængder" og "algebraiske varianter" og bruger i stedet udtrykket "irreducible algebraic set" (eller "irreducible variation").

Almindelige funktioner

En regulær funktion på et algebraisk sæt  er en funktion, der er en begrænsning på V af en polynomisk funktion. Regulære funktioner på V danner en ring k [ V ], kaldet koordinatringen af ​​dette sæt. Denne ring er isomorf med faktorringen af ​​polynomialringen i I ( V ) (hvis f og g har samme begrænsning på V , så hører f − g til I ( V ).

Regelmæssige afbildninger mellem algebraiske mængder er defineret på en naturlig måde. Den almindelige kortlægning har nemlig formen , hvor  er regulære funktioner. En regulær afbildning til et algebraisk sæt  er en regulær funktion i sådan, at .

Givet en regulær mapping , kan enhver regulær funktion tilknyttes en almindelig funktion på af reglen . En kortlægning er en ringhomomorfi , ligesom enhver homomorfi af koordinatringe definerer en regulær kortlægning af algebraiske mængder (omvendt). Ud fra disse overensstemmelser kan vi udlede, at kategorien af ​​algebraiske mængder (hvis morfismer er regulære funktioner) er dobbelt med kategorien af ​​endeligt genererede k - algebraer uden nilpotenter . Opdagelsen af ​​denne ækvivalens var udgangspunktet for kredsløbsteori.

Rationelle funktioner

I modsætning til det foregående underafsnit vil kun (irreducerbare) algebraiske varianter blive taget i betragtning her. På den anden side kan disse definitioner udvides til projektive varianter .

Hvis V  er en affin sort, er dens koordinatring integral og har derfor et felt af kvotienter . Dette felt er betegnet k ( V ) og kaldes feltet for rationelle funktioner på V. Domænet af en rationel funktion er ikke nødvendigvis lig med hele V , men er lig med komplementet af mængden, hvor dens nævner er lig med nul. I lighed med tilfældet med regulære funktioner defineres en rationel kortlægning mellem varieteter, ligesom rationelle kortlægninger svarer en-til-en til homomorfismer af felter med rationelle funktioner.

To affine varianter siges at være birationelt ækvivalente , hvis der er to rationelle afbildninger mellem dem, der er gensidigt omvendte på deres domæner (tilsvarende er disse sorters rationelle funktionsfelter isomorfe).

En affin sort kaldes en rationel sort , hvis den birationelt svarer til et affint rum. Det kan med andre ord rationelt parameteriseres. For eksempel er enhedscirklen en rationel kurve, fordi der er funktioner

specificerer man en rationel afbildning fra en linje til en cirkel, kan man verificere, at den omvendte afbildning også er rationel (se også Stereografisk projektion ).

Ordninger

I slutningen af ​​1950'erne gav Alexander Grothendieck en definition af skema , der generaliserede forestillingen om en algebraisk variant. Et affint skema er spektret af en eller anden ring (i klassisk algebraisk geometri, polynomialringe) sammen med en bunke af ringe på den (hver åben mængde er forbundet med rationelle funktioner defineret ved hvert punkt i mængden). Affine skemaer danner en kategori, der er dobbelt til kategorien af ​​kommutative ringe , dette udvider dualiteten af ​​algebraiske mængder og algebraer uden nilpotenter. Generelle skemaer er resultatet af at lime flere affine skemaer sammen (som topologiske rum med Zariski-topologien ).

Ægte algebraisk geometri

Reel algebraisk geometri  er studiet af reelle algebraiske mængder, det vil sige reelle løsninger af algebraiske ligninger med reelle koefficienter og afbildninger imellem dem.

Semi-algebraisk geometri  er studiet af semi-algebraiske mængder, det vil sige sæt af reelle løsninger til algebraiske ligninger og uligheder med reelle koefficienter, såvel som afbildninger mellem dem.

Beregningsmæssig algebraisk geometri

Gröbners grundlag

En Gröbner-basis er et system af elementer, der genererer et givet ideal i en polynomialring over et felt (ikke nødvendigvis algebraisk lukket); beregningen af ​​Gröbner-grundlaget gør det muligt at bestemme nogle egenskaber af den algebraiske mængde V defineret af dette ideal i en algebraisk lukket forlængelse (for eksempel definerer et ligningssystem med reelle koefficienter naturligt mængden af ​​komplekse tal, der opfylder alle ligninger).

Oplysninger om Gröbner-grundlaget er ikke nok til at beregne nedbrydningen af ​​et givet sæt til irreducerbare komponenter, men der er algoritmer til at løse dette problem, som også bruger det.

I nogle tilfælde er beregningen af ​​Gröbner-grundlaget ret vanskeligt: ​​i værste fald kan det indeholde polynomier, hvis grad afhænger som dobbelteksponent (et udtryk for formen ) af antallet af variable i polynomialringen; antallet af basiselementer kan vokse med samme hastighed. Dette er dog en øvre grænse for kompleksitet, og i mange tilfælde kan disse algoritmer bruges til at arbejde med polynomielle ringe i flere dusin variable.

Historie

Baggrund: før det 19. århundrede

Tegn på oprindelsen af ​​algebraisk geometri kan findes i grækernes værker fra det 5. århundrede f.Kr. e. For eksempel går problemet med terningfordobling ned til at konstruere en terning, hvis volumen er lig med rumfanget af "boksen" for data a og b . Menechm fortolkede dette problem geometrisk som at konstruere skæringspunktet mellem to kegleformer : ay = x 2 og xy = ab . [3] I de senere værker af Archimedes og Apollonius studeres keglesnit mere systematisk, herunder ved hjælp af koordinater. Arabiske matematikere vidste, hvordan man løser visse kubiske ligninger og kunne fortolke resultaterne geometrisk. Den persiske matematiker Omar Khayyam (XI århundrede) opdagede en måde at løse en generel kubisk ligning ved at bruge skæringspunktet mellem en cirkel og en parabel. [fire]

De franske matematikere François Viet og senere René Descartes og Pierre Fermat ændrede radikalt den måde, geometriske konstruktioner blev skabt på, og skabte analytisk geometri . Deres hovedmål var at studere algebraiske kurver , såsom kurver givet af diophantiske ligninger (i Fermats tilfælde), kegleformede og kubiske (i Descartes' tilfælde). Omkring samme periode nærmede Pascal og Desargues problemet fra en anden vinkel og udviklede projektiv geometri . Pascal og Desargues udforskede også kurvernes egenskaber, men kun fra et geometrisk synspunkt, ved hjælp af kompas- og straightedge-konstruktioner. I sidste ende sejrede analytisk geometri over denne tilgang, da den gav matematikere fra det 18. århundrede specifikke beregningsværktøjer til at løse fysiske problemer ved hjælp af ny analyse . Som et resultat, i slutningen af ​​det 18. århundrede, blev brugen af ​​algebraiske metoder i geometri reduceret til brugen af ​​infinitesimalregning (især blev det aktivt brugt af Euler og Lagrange ).

1800-tallet

I det 19. århundrede bidrog udviklingen af ​​ikke-euklidisk geometri og teorien om abelske integraler til tilbagevenden af ​​algebraiske ideer til geometri. Cayley var den første til at undersøge homogene polynomier på et projektivt rum , især kvadratiske former . Senere studerede Felix Klein projektiv geometri (såvel som andre grene af geometri) ud fra det synspunkt, at rummets geometri er givet af en gruppe af dets transformationer. Ved slutningen af ​​det 19. århundrede studerede geometre ikke kun projektive lineære transformationer , men også højere grads birationelle transformationer.

Udviklingen af ​​teorien om abelske integraler førte til, at Bernhard Riemann skabte teorien om Riemann-manifolder. Ved hjælp af integraler af den første slags beviste K. Schwartz , at en kurve, der tillader en kontinuerlig gruppe af birationelle transformationer i sig selv, er birationelt ækvivalent med en lige eller elliptisk kurve. Algebraisk geometri fra anden halvdel af det 19. århundrede er primært repræsenteret af den italienske skole fra Cremona til Enriques .

I denne periode begyndte algebraiseringen af ​​geometri at bruge kommutativ algebra: især David Hilbert beviste sine sætninger på basis og Nullstellensatz.

20. århundrede

Ideerne om at konstruere algebraisk geometri på basis af kommutativ algebra , som blev intensivt udviklet i 30'erne og 40'erne af det XX århundrede , går tilbage til O. Zarisky og A. Weyl . Et af deres mål var at bevise resultaterne af den italienske skole: de italienske geometre fra den periode brugte begrebet et "fælles punkt" i deres beviser uden nogen streng definition af det.

I 1950'erne og 60'erne omarbejdede Jean-Pierre Serre og Alexander Grothendieck fuldstændigt grundlaget for algebraisk geometri med teknikker fra sheaf-teori, skemateori og homologisk algebra . I 1970'erne stabiliserede udviklingen sig noget, der blev fundet anvendelser til talteori og til mere klassiske spørgsmål i algebraisk geometri: studiet af singulariteter og moduler .

En vigtig klasse af algebraiske varianter, der er svære at beskrive ved hjælp af definerende ligninger alene, er Abelske sorter . Deres hovedeksempel er elliptiske kurver , som har en meget omfattende teori. De er blevet et værktøj til at bevise Fermats sidste sætning og bruges i elliptisk kryptografi .

Ansøgninger

Algebraisk geometri finder anvendelser i statistik [5] , kontrolteori [6] , robotteknologi [7] , teori om fejlkorrigerende koder [8] og modellering [9] . Anvendelser er også kendt inden for strengteori [10] , solitonteori [11] , spilteori [12] og matchingsteori [13] .

Se også

Noter

  1. ↑ Hartshorne, 1981 , s. atten.
  2. ↑ Hartshorne, 1981 , s. 22.
  3. ↑ Dieudonné, Jean. Den historiske udvikling af algebraisk geometri  (engelsk)  // The American Mathematical Monthly  : journal. - 1972. - Bd. 79 , nr. 8 . - s. 827-866 . - doi : 10.2307/2317664 . — .
  4. ↑ Kline, M. (1972) Matematisk tankegang fra oldtiden til moderne tid (bind 1). Oxford University Press. pp. 193-195.
  5. ↑ Mathias Drton, Bernd Sturmfels, Seth Sullivant (2009), Lectures on Algebraic Statistics Arkiveret 20. februar 2014 på Wayback Machine Springer, ISBN 978-3-7643-8904-8
  6. ↑ Peter L. Falb (1990), [1] Arkiveret 27. juni 2014 på Wayback Machine , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3454-3
  7. ↑ JM Selig (205), Geometric fundamentals of robotics Arkiveret 20. februar 2014 på Wayback Machine , Springer, ISBN 978-0-387-20874-9
  8. ↑ Michael A. Tsfasman, Serge G. Vlăduț, Dmitry Nogin (2007), Algebraiske geometriske koder: grundlæggende begreber Arkiveret 20. februar 2014 på Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4306-2
  9. ↑ Bert Jüttler, Ragni Piene (2007) Geometrisk modellering og algebraisk geometri Arkiveret 20. februar 2014 på Wayback Machine , Springer, ISBN 978-3-540-72184-0
  10. ↑ David A. Cox, Sheldon Katz (1999) Spejlsymmetri og algebraisk geometri Arkiveret 20. februar 2014 på Wayback Machine , AMS Boghandel, ISBN 978-0-8218-2127-5
  11. ↑ I.M. Krichever og P.G. Grinevich, Algebraic geometri methods in soliton theory, Kapitel 14 i Soliton theory Arkiveret 20. februar 2014 på Wayback Machine , Allan P. Fordy, Manchester University Press ND, 1990, ISBN 978-0-149190 otte
  12. ↑ Blume, L.E.; Zame, WR Den algebraiske geometri af perfekt og sekventiel ligevægt  (engelsk)  // Econometrica  : journal. - 1994. - Bd. 62 , nr. 4 . - s. 783-794 . — .  (utilgængeligt link)
  13. ↑ Richard Kenyon; Andrei Okounkov & Scott Sheffield (2003), Dimers and Amoebae, arΧiv : math-ph/0311005 [math-ph]. 

Litteratur

Links

  Gå til Wikidata-elementet  Ordbøger og encyklopædier
 Grene af matematik
Portal "Science"
Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra
Talteori ( aritmetik )
  • Portal "Matematik"
  • Kategori "Matematik"