Algebraisk sort

En algebraisk variant er det centrale genstand for undersøgelse i algebraisk geometri . Den klassiske definition af en algebraisk variant er et sæt af løsninger til et system af algebraiske ligninger over reelle eller komplekse tal. Moderne definitioner generaliserer det på forskellige måder, men prøv at holde den geometriske intuition i overensstemmelse med denne definition [1] .

Definitionen af en algebraisk varietet kan variere lidt mellem forfatterne: nogle forfattere [2] inkluderer egenskaben irreducibility i definitionen (dette betyder, at en varietet ikke kan være foreningen af mindre sorter, se nedenfor), mens nogle [3] skelner mellem irreducerbar og "generel" mangfoldighed. I denne artikel vil vi holde os til den første konvention og vil kalde sæt af løsninger til ligningssystemer, der ikke er irreducerbare algebraiske mængder .

Begrebet en algebraisk sort har en vis lighed med begrebet en glat sort . Forskellen er, at algebraiske varianter, i modsætning til glatte varianter, kan have ental punkter . Et kvarter med et ikke-singulart punkt af en ægte algebraisk sort er isomorf til en jævn sort.

Bevist omkring 1800 etablerede algebraens grundlæggende sætning en forbindelse mellem algebra og geometri , hvilket viser, at et reduceret polynomium i én variabel (algebraisk objekt) er entydigt bestemt af dets komplekse rødder, det vil sige et endeligt sæt punkter på det komplekse plan ( geometrisk objekt). Hilberts nulsætning , som generaliserede dette resultat, etablerede en grundlæggende overensstemmelse mellem polynomialringidealer og algebraiske varianter. Ved hjælp af Hilberts nulsætning og relaterede resultater etablerede matematikere en overensstemmelse mellem spørgsmål om algebraiske varianter og spørgsmål om ringteori ; brugen af sådanne korrespondancer er et kendetegn for algebraisk geometri.

Definitioner

Der er forskellige typer af algebraiske varianter: affine varianter, projektive varianter, kvasi-projektive varianter. En algebraisk variant i den mest generelle forstand opnås ved at lime flere kvasi-projektive varianter sammen.

Affine sorter

Lad k være et algebraisk lukket felt (i klassisk algebraisk geometri, feltet for komplekse tal ); er et n - dimensionalt affint rum over k . Der er en sætning fra klassisk analyse, der siger, at lukkede delmængder er præcis nulmængderne af alle mulige uendeligt differentierbare funktioner . [4] Zariski-topologien udvider i en vis forstand denne egenskab til tilfældet med polynomielle funktioner : ved definition af Zariski-topologien er hvert sæt polynomier i n variable forbundet med det sæt af punkter i det affine rum, hvor alle disse polynomier forsvinder: ${\mathbb A}^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Z(S)=\{x\in {\mathbb A}^{n}\mid f(x)=0\;\forall f\in S\}.

Lukkede mængder i Zariski-topologien er alle mængder af formen Z ( S ), også disse lukkede mængder kaldes algebraiske mængder . En affin algebraisk variant er en algebraisk mængde, der ikke kan repræsenteres som foreningen af to mindre algebraiske mængder. ${\mathbb A}^{n}$

En delmængde kan associeres med et ideal bestående af polynomier lig med nul på denne delmængde: $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$

I(V)=\{f\in k[x_{1},\ldots,x_{n}]\mid f(x)=0\;\forall x\in V\}.

I det tilfælde, hvor V er en algebraisk varietet, kaldes faktorringen i ringen af polynomier ved det ideelle I ( V ) koordinatringen for den givne sort, sædvanligvis betegnet med k [ V ]. Bemærk, at et algebraisk sæt V er en varietet, hvis og kun hvis I ( V ) er et primideal (eller tilsvarende, koordinatringen er integral ).

Projektive og kvasi-projektive varianter

Lad k være et algebraisk lukket felt og være et n - dimensionelt projektivt rum over k , altså en projektivisering . Intet polynomium definerer en funktion på dette rum (da et punkt har mange forskellige homogene koordinater), men for et homogent polynomium i n + 1 variable kan man korrekt bestemme de punkter, hvor polynomiet er lig nul (da proportionelle homogene koordinater svarer til proportionelle værdier af det homogene polynomium). Således kan sættet af homogene polynomier S associeres med sættet af punkter Z ( S ), hvor alle disse polynomier er lig med nul, dette definerer Zariski-topologien på det projektive rum. En projektiv algebraisk variant er en irreducerbar lukket (i Zariski-topologien) delmængde af et projektivt rum . Mængden V kan associeres med et homogent ideal genereret af homogene polynomier, der forsvinder på V . En kvotientring ved den kaldes en homogen koordinatring . ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ ${\mathbb {P}}^{n}$

En kvasiprojektiv varietet er en åben delmængde af en projektiv sort. Især er enhver affin sort isomorf til en kvasi-projektiv [5] .

Abstrakte algebraiske varianter

I klassisk algebraisk geometri blev kun kvasi-projektive varianter taget i betragtning. Ulempen ved denne definition er, at man er nødt til at fiksere en bestemt indlejring af en sort i et projektivt rum: for eksempel kan man ikke kalde en sort for en sort, før dets indlejring i et projektivt rum er givet (for at specificere en sådan indlejring, har man for at bruge Segre-indlejringen ). Derudover, hvis en algebraisk variant kan indlejres i et projektivt rum, kan den indlejres i et uendeligt antal andre ved at bruge komposition med Veronese-indlejring . Det er langt fra indlysende, at egenskaber ved manifolder (såsom egenskaben ved at en kortlægning mellem manifolder er regelmæssig) ikke afhænger af valget af en sådan indlejring. ${\mathbb P}^{1}\ gange {\mathbb P}^{1}$

Det første forsøg på at definere en algebraisk sort abstrakt (dvs. uden at specificere en indlejring i et projektivt rum) blev lavet af Weil , som definerede varianter i form af værdiansættelser i Foundations of Algebraic Geometry . Claude Chevallet foreslog en skemadefinition, der fungerede i flere situationer. Alexander Grothendiecks definition af et skema var dog endnu mere generel og blev accepteret af et stort antal matematikere. I skemateoriens sprog defineres en algebraisk varietet normalt som et helt adskilleligt skema af finit type over et algebraisk lukket felt [6] , nogle forfattere afviser også kravet om algebraisk lukning eller irreducerbarhed.

Eksempler

Nedenfor er et par eksempler på algebraiske varianter (desuden er de alle algebraiske kurver ). Mange andre eksempler kan findes i kategorien algebraiske kurver .

Særlige tilfælde af algebraiske varianter

Dimension af en manifold→ Polynomisk grad↓	0	en	2	…	k
en	Prik	Lige	Fly	…	hyperplan
2		Konika	Anden ordens overflade	…	Quadric
3		terning	Overflade af tredje orden	…	3. ordens manifold
fire		kvarts	Fjerde ordens overflade	…	Manifold 4 ordrer
…		…	…	…	…
k		Algebraisk kurve	Algebraisk overflade	…	Algebraisk sort

Affin linje

Overvej et polynomium fra ringen ${\mathbb C}[x,y]:$

f(x,y)=ax+by+c.

Sættet af nuller i dette polynomium er en affin linje i . For at bevise, at en affin linje er en algebraisk variant, er det tilstrækkeligt at bemærke, at polynomiet er irreducerbart , og ringen k [ x , y ] er faktoriel (i en faktorialring er hovedidealet, der genereres af et irreducerbart polynomium simpelt ). ${\mathbb C}^{2}$ $økse+ved+c$

Quadrics

Alle ellipser, parabler og hyperbler (det vil sige alle ikke -degenererede kvadrikker ) er algebraiske undermanifolder af det komplekse plan. En degenereret quadric er ikke altid en algebraisk variant: for eksempel kan en quadric repræsenteres som en forening af to linjer, i dette tilfælde er en sådan repræsentation unik. Dette er ikke tilfældigt: enhver algebraisk mængde kan repræsenteres som en forening af et endeligt antal algebraiske varianter (hvoraf ingen er en undervarietet af en anden), og desuden på en unik måde [7] . $xy$

Twisted Cube

Sættet af punkter i rummet med formen er en affin algebraisk variant og desuden en algebraisk kurve, der ikke er indeholdt i nogen plan. [8] Dette sæt er den "snoede terning" vist i illustrationen ovenfor (mere præcist er dets projektion på et tredimensionelt reelt rum vist). Det kan defineres som sættet af fælles nuller af to ligninger: ${\mathbb C}^{3}$ $(z,z^{2},z^{3})$

{\begin{aligned}yx^{2}&=0\\zx^{3}&=0.\,\end{aligned}}

Den nemmeste måde at bevise irreducerbarheden af dette sæt er at bruge projektionen ( x , y , z ) → ( x , y ), som er injektiv på sættet af løsninger, og hvis billede er en irreducerbar kurve (parabel).

Den snoede kubik betragtes normalt som en projektiv variant i , hvilket er billedet af Veronese-kortlægningen . I mange lærebøger er det givet som det enkleste eksempel på en kurve i et projektivt rum, der ikke er lineært. Billedet af denne sort i et af de affine diagrammer blev betragtet ovenfor . ${\mathbb P}^{3}$

Relaterede definitioner

Regelmæssig visning

En regulær kortlægning mellem affine varianter er en kortlægning givet af polynomier. Mere præcist, hvis er affine manifolds, er en regulær afbildning en afbildning af formen , hvor , og , det vil sige, at billedet af ethvert punkt fra X opfylder ligningerne, der definerer Y . $X\in {\mathbb A}^{n},Y\in {\mathbb A}^{m}$ $f=(f_{1},\dots ,f_{m})$ $f_{i}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(X)$ $f(X)\subseteq Y$

Mere generelt er en kortlægning ƒ : X → Y af kvasiprojektive varianter regulær i et punkt x , hvis der findes et naboskab U af x og et naboskab V af f ( x ), således at begrænsningen ƒ : U → V er en regulær kortlægning af (affine) sorter. Så er en mapping regulær , hvis den er regulær på alle punkter i definitionsdomænet.

En regulær tilknytning til kaldes en regulær funktion . Ringen af regulære funktioner på en affin sort V kaldes koordinatringen k [ V ]. Denne definition falder sammen med definitionen af en koordinatring givet ovenfor , da to regulære funktioner ikke falder sammen om, hvis og kun hvis deres forskel tilhører . Også denne ring falder sammen med ringen af rationelle funktioner, hvis værdier er endelige på alle punkter af V (beviset for denne kendsgerning bruger irreducerbarheden af sorten [9] ), eller mere abstrakt, med ringen af globale sektioner af det strukturelle skær på V (se artiklerne Spektrum af en ring , Skema ). Man kan også overveje feltet af funktioner k ( V ) på en algebraisk variant V , der består af alle rationelle funktioner på V. ${\mathbb A}^{1}$ ${\mathbb A}^{n}$ $V\in {\mathbb A}^{n}$ $I(V)$

Regelmæssige kortlægninger er per definition morfismer i kategorien algebraiske varianter. Især af det faktum, at kategorien af affine skemaer er dobbelt til kategorien af kommutative ringe , følger det, at regelmæssige kortlægninger mellem affine varianter er i en-til-en overensstemmelse med homomorfismer af deres koordinatringe.

En reversibel regulær kortlægning, hvis inverse også er regulær, kaldes en biregulær kortlægning . Algebraiske varianter er isomorfe, hvis og kun hvis der er en biregulær kortlægning mellem dem.

En kortlægnings regelmæssighed er en ret stærk betingelse: for eksempel følger det af Liouvilles sætning , at de eneste regulære funktioner på en projektiv varietet er konstanter. Af denne grund bruges der ofte svagere betingelser - rationaliteten af kortlægningen og birationel ækvivalens af sorter.

Dimension af en manifold

Lad k [ V ] være koordinatringen af V. Så er dimensionen af V graden af transcendens af feltet af fraktioner af ringen k [ V ] som en forlængelse af feltet k [10] .

Der er mange tilsvarende definitioner af dimension. Lad f.eks. x være et vilkårligt ikke-singulart punkt af sorten V , så tillader strukturrevet på V at definere en lokal ring R x af "rationelle funktioner i punktet x " med et maksimalt ideal m , derefter dimensionen af sorten er dimensionen af faktorringen m / m 2 som et vektorrum over feltet R x / m . En anden definition: dimensionen af en affin sort A er den øverste del af n , således at der er en kæde af affine undervarieteter . $X_{0}\subsetneq X_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq X_{n}=A$

Algebraiske varianter af dimension 1 kaldes algebraiske kurver . Oftest betragtes komplekse algebraiske kurver; i nærheden af et ikke-enkelt punkt er de homøomorfe til en todimensionel ægte sort . Slægten af en kompleks algebraisk kurve er slægten af den tilsvarende topologiske overflade.

Algebraiske varianter af dimension 2 kaldes algebraiske overflader .

Se også

Skema (matematik)

Noter

↑ Hartshorne, 1981 , s. 86-88.
↑ Hartshorne, 1981 , s. atten.
↑ Harris, 2005 , s. 17.
↑ Jet Nestruev . Glatte manifolder og observerbare. Kapitel 2, forslag 2.4.
↑ Hartshorne, 1981 , øvelse 2.9, s. tredive.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 141.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 21.
↑ Harris, s. 24; irreducerbarheden af dette sæt er en øvelse i Hartshorne, s. 24.
↑ Hartshorne, 1981 , s. 35.
↑ Harris, 2005 , s. 171.

Litteratur

Mumford D. Rød bog om manifolder og skemaer. - M. : MTsNMO, 2007. - 296 s. — ISBN 978-5-94057-195-7 .
Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981. — 597 s.
Shafarevich I. R. Grundlæggende om algebraisk geometri. - M. : MTSNMO, 2007. - 589 s. - ISBN 978-5-94057-085-1 .
Harris J. Algebraisk geometri. Indledende kursus. - M. : MTSNMO, 2005. - 400 s. - ISBN 5-94057-084-4 .