Diofant geometri er en tilgang til teorien om diofantiske ligninger , der formulerer problemer i form af algebraisk geometri over et algebraisk ikke-lukket basisfelt K , såsom feltet af rationelle tal eller et endeligt felt , eller mere generelt, en kommutativ ring , såsom ringen af heltal. Identitetsligningen definerer en hyperoverflade , og på samme måde går en diofantisk ligning til en algebraisk variant V over K. Et typisk spørgsmål om arten af mængden V ( K ) af punkter på V med koordinater i K er spørgsmålet om "størrelsen" af mængden af disse løsninger: om sådanne punkter overhovedet eksisterer, om deres antal er endeligt eller uendeligt . For den geometriske tilgang er enigheden om homogenitet af ligninger og homogenitet af koordinater fundamental. Løsninger i rationelle tal er hovedkonventionen[ angiv ] .
Et af de karakteristiske resultater af Diophantine geometri er Faltings' sætning , som siger, at mængden af rationelle punkter af en algebraisk kurve C af slægten g > 1 over rationelle tal er endelig . Det første resultat af Diophantine geometri bør sandsynligvis betragtes som Hilbert-Hurwitz-sætningen, som analyserer tilfældet g = 0.
I 1962 udgav Serge Leng bogen " Diophantine Geometry ", som præsenterede materialet på traditionel vis i diofantiske ligninger i grad og antal af variable. Bogen Diophantine Equations af Louis Mordell (1969) begynder med en bemærkning om den homogene ligning f = 0 over et rationelt felt, tilskrevet Gauss , at ikke-nul heltalsløsninger eksisterer, hvis og kun hvis der findes rationelle løsninger, der ikke er nul, og en bemærkning til Linord Dixons indvendinger om parametriske løsninger. Resultaterne af Hilbert og Hurwitz, opnået i 1890, der begrænser den diofantinske geometri af kurver af 0. slags til potenser af 1 og 2 ( keglesnit ) er beskrevet i kapitel 17, hvor en generalisering for kurver g > 1 er formuleret (senere kendt som Mordell-formodningen og blev til sætningen Faltings efter beviset for påstanden). Siegel-sætningen om heltalpunkter diskuteres i kapitel 28. Mordell-Weil-sætningen om det endelige antal rationelle tal på en elliptisk kurve præsenteres i kapitel 16, og af heltal på Mordell-kurven i kapitel 26. Mordell talte negativt om den geometriske tilgang brugt af Leng.
Lengs koncept om at stole på geometrisk intuition vandt dog senere popularitet, og i 2006 blev han kaldt en "visionær" [1] [2] .