Zariski topologi

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. november 2019; verifikation kræver 1 redigering .

Zariski-topologi , eller Zariski-topologi , er en speciel topologi , der afspejler den algebraiske natur af algebraiske varianter . Opkaldt efter Oskar Zariski og har siden 1950'erne været en vigtig figur inden for algebraisk geometri .

Klassisk definition

I klassisk algebraisk geometri (det vil sige før den såkaldte "Grothendieck-revolution", der fandt sted i slutningen af 1950'erne og 1960'erne), blev topologi defineret som følger. Da emnet selv havde to grene, der beskæftiger sig med henholdsvis affine og projektive manifolder, blev Zariski-topologien defineret noget forskelligt for hver type manifold. Det antages endvidere, at vi arbejder på et fast algebraisk lukket felt K , hvorved man i klassisk algebraisk geometri næsten altid mente komplekse tal .

Affine sorter

Zariski-topologien på et affint rum over et felt K er en topologistruktur , hvis lukkede delmængder er nøjagtigt de algebraiske mængder af det givne rum. Algebraiske mængder er mængder af formen $\mathbb {A} ^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\midt \forall f\in S:\;f(x)=0\},

hvor S er et vilkårligt sæt af polynomier i n variable over feltet K . Følgende identiteter kan nemt verificeres:

$V(\varnothing )=\mathbb {A} ^{n},V(1)=\varnothing ;$
$V(S)=V((S))$ , hvor er idealet i polynomialringen genereret af grundstofferne $(S)$ $S;$
For alle to idealer I og J ,

V(I)\cup V(J)=V(IJ)

;

V(I)\cap V(J)=V(I+J)

Da polynomialringen over feltet er Noetherian , vil skæringspunktet for en uendelig familie af formmængder være lig med skæringspunktet mellem dens endelige underfamilie og vil have formen . Da endelige foreninger og vilkårlige skæringspunkter af algebraiske mængder, såvel som den tomme mængde, er algebraiske, så er algebraiske mængder faktisk lukkede sæt af en eller anden topologi (tilsvarende er deres komplementer, betegnet med , åbne topologimængder). $V(I)$ $V(I)$ $\mathbb {A} ^{n}$ $D(S)$

Hvis er en affin algebraisk delmængde af et affint rum , så er Zariski-topologien på det den inducerede topologi . $M$ $\mathbb {A} ^{n}$

Projektive varianter

Elementer i et projektivt rum er ækvivalensklasser af elementer med hensyn til proportionalitet med hensyn til multiplikation med en skalar fra K . Følgelig er elementerne i polynomiet ikke funktioner på , da et punkt har mange ækvivalente repræsentationer, som svarer til forskellige værdier af polynomiet. Men for homogene polynomier er betingelsen om lighed med nul ved et givet punkt veldefineret, da multiplikation med en skalar "fejer igennem" anvendelsen af polynomiet. Derfor, hvis S er et sæt af homogene polynomier, giver definitionen mening ${\mathbb P}^{n}$ ${\mathbb A}^{{n+1}}$ $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ ${\mathbb {P}}^{n}$

V(S)=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0,\forall f\in S\}.

Det bekræftes på lignende måde, at denne familie af sæt er en familie af lukkede sæt af en eller anden topologi, det er kun nødvendigt at erstatte ordet "ideal" med " homogent ideal ". Topologien på en arbitrær projektiv undermanifold er defineret som den inducerede topologi.

Egenskaber

En nyttig egenskab ved Zariski-topologien er eksistensen af en ret simpel base for denne topologi. Grundlaget for topologien er nemlig åbne mængder af formen D ( f ), som er komplementet til mængden af nuller i polynomiet f (henholdsvis for projektive varieteter det homogene polynomium f ).

Enhver affin eller projektiv sort er kompakt ; enhver åben delmængde af en manifold er også kompakt. Desuden er enhver algebraisk sort et noethersk topologisk rum .

På den anden side er en algebraisk variant ikke et Hausdorff-rum (hvis K ikke er et endeligt felt ). Da ethvert punkt i en algebraisk variant er lukket, opfylder det separationsaksiomet T 1 .

Moderne definition

Topologi på spektret af en ring

Den moderne definition er baseret på begrebet spektrum af en ring . Lad en kommutativ ring med identitet blive givet. Spektret af en ring er sættet af alle dens primære idealer , og disse idealer er i sig selv punkterne i spektret. Zariski-topologien introduceres som følger: de lukkede sæt af spektret er sættene af alle simple idealer, der indeholder et eller andet sæt eller, som er det samme, idealet genereret af dette sæt : $EN$ ${\mathrm {Spec.}}\,A$ $E$ $jeg$

{\displaystyle V(I)=\{P\in \mathrm {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\))

Det er nemt at kontrollere alle aksiomer. For eksempel, det faktum, at foreningen af to lukkede sæt følger tæt af kæden af åbenlyse indeslutninger:

V(a\cap b)\subseteq V(ab)\subseteq V(a)\cup V(b)\subseteq V(a\cap b)

, derfor .

V(a)\kop V(b)=V(a\cap b)

Zariski-topologien på spektret er relateret til den tidligere introducerede topologi på et affint rum på følgende måde. Lad os definere en afbildning , der forbinder et punkt med et maksimalt ideal bestående af polynomier lig med nul på dette punkt (det er maksimalt, da kvotientringen ved det er et felt K ). Det er indlysende, at forskellige idealer svarer til forskellige punkter. Desuden siger Hilberts nulsætning , at alle maksimale idealer for en polynomialring har denne form, dvs. kortlægningen er bijektiv . Desuden er denne kortlægning en homeomorfisme på den delmængde , der svarer til de maksimale idealer (sættet af maksimale idealer for en ring med den inducerede Zariski-topologi kaldes det maksimale spektrum og betegnes normalt med ). Det er tilstrækkeligt at bevise, at denne kortlægning inducerer en bijektion mellem lukkede delmængder og lukkede delmængder af , men dette er næsten indlysende: de maksimale idealer, der indeholder idealet , er nøjagtigt de fælles nulpunkter for alle polynomier i . $\mathbb {A} ^{n}\to \mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $s$ ${\mathfrak {m}}_{p}$ $x\mapsto {\mathfrak {m}}_{x}$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $EN$ $\mathrm {spec} \,A$ $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {spec} \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\bigotimes \mathrm {spec} \,K[x_{n},n\i [1,\venstre\ vert \infty \right\vert ]]$ $(S)$ $S$

Grothendiecks innovation var således at overveje ikke kun de maksimale idealer af en ring, men alle primære idealer. I tilfælde af en polynomialring over et algebraisk lukket felt betyder det, at et antal " fælles punkter " tilføjes til rummet (et punkt for hver irreducerbar affin undervarietet ). I det generelle tilfælde (det vil sige, når man overvejer alle mulige kommutative ringe), giver dette funktionelle egenskaber: for hver homomorfi af ringe svarer der et kontinuerligt kort . For et simpelt spektrum er konstruktionen af denne homomorfi triviel - det omvendte billede af et simpelt ideal er taget, for det maksimale virker dette ikke, da det omvendte billede af det maksimale ideal ikke nødvendigvis er maksimalt. $\mathbb {A} ^{n}$ $\mathrm {Spec}$ $A til B$ $\mathrm {Spec} \,B\to \mathrm {Spec} \,A$

Ligesom konstruktionen af spektret erstattede den traditionelle Zariski-topologi på affine manifolds, erstatter konstruktionen Proj i moderne algebraisk geometri overvejelsen af topologi på projektive manifolds.

Eksempler

Spektret af feltet k er et topologisk rum med ét element.
Spektret indeholder et punkt for hvert primtal samt et "fælles punkt" (et punkt hvis lukning falder sammen med hele rummet) svarende til nulidealet. Lukkede mængder i Zariski-topologien på dette spektrum er endelige delmængder af sættet af primtal såvel som hele spektret. $\mathbb {Z}$
Spektret af en polynomialring over et algebraisk lukket felt K er en affin linje over feltet K . Faktisk er K [ x ] et domæne af principielle idealer , så primidealerne i det svarer til irreducible polynomier , og da K er et algebraisk lukket felt, har alle irreducible polynomier formen ; spektret indeholder også et "fælles punkt" svarende til nulidealet. I Zariski-topologien på K [ x ] er lukkede mængder endelige mængder (der ikke indeholder et fælles punkt), såvel som hele rummet. $\mathbb {A} ^{1}$ $xa$
Hvis K ikke er algebraisk lukket, bliver situationen mere kompliceret. For eksempel indeholder spektret punkter i formen , punkter sådan , og et fælles punkt. Hvis vi forbinder hvert polynomium af denne type med dets komplekse rødder, kan spektret afbildes som en øvre halvplan (komplekse tal med en ikke-negativ imaginær del). ${\mathbb R}[x]$ $(xa)$ $(x^{2}+bx+c)$ $b^{2}-4c<0$ ${\mathbb R}[x]$
En lukket delmængde af spektret er spektret af en anden ring. Dette bevises af konstruktionen af kvotientringen - prime idealer svarer en-til-en til prime idealer ved at indeholde idealet . For eksempel består spektret af en ring af punkterne (2) og (5). $A/I$ $EN$ $jeg$ $\mathbb {Z} /10\mathbb {Z}$

Egenskaber for Zariski-topologien på spektret

Den mest alvorlige forskel mellem topologien på et spektrum og Zariski-topologien på en manifold er, at ikke alle punkter er lukkede i den nye topologi. Såkaldte. "generelle punkter", hvis lukning er strengt taget større end dem selv (derudover er der en en-til-en overensstemmelse mellem de irreducerbare komponenter i rummet og de "generelle" punkter, hvis lukninger disse komponenter er). De punkter, der svarer til ringens maksimale idealer, forbliver lukkede. Topologien på spektret opfylder således ikke længere aksiomet T 1 , men opfylder stadig aksiomet T 0 . Af to primære idealer indeholder i det mindste det ene ikke det andet, f.eks . Derefter indeholder , men indeholder selvfølgelig ikke (recall, der er et åbent sæt bestående af idealer, der ikke indeholder idealet ). $\mathfrak s$ ${\mathfrak {q}}$ ${\mathfrak {p}}\nsubseteq {\mathfrak {q}}$ $D({\mathfrak {p)))$ ${\mathfrak {q}}$ $\mathfrak s$ $D({\mathfrak {p)))$ $\mathfrak s$

Som i klassisk algebraisk geometri er spektret et kompakt rum. Dette faktum stemmer ikke godt overens med vores intuition: vi forventer ikke, at et helt affint rum (såsom det euklidiske rum ) er kompakt. Grothendieck introducerede også begrebet etale-topologi , som er meget mere abstrakt, men egenskaberne for denne topologi minder mere om egenskaberne for standardtopologien på det euklidiske rum.

Se også

ringens spektrum

Litteratur

Atiyah M., McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. — M .: Mir, 1972.
Mumford , Red Book of Varieties and Schemes - M .: MTsNMO, 2007.
Shafarevich I. R. Grundlæggende om algebraisk geometri. — M .: Nauka, 1972.
Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M .: Mir, 1981.