Hilberts nulsætning

Hilberts nulsætning ( Hilberts rodsætning , på mange sprog, også nogle gange på russisk, bruger ofte det oprindelige tyske navn Nullstellensatz , som oversættes som "nulsætning") er en sætning , der etablerer et grundlæggende forhold mellem geometri og algebra . Brugen af dette forhold er grundlaget for algebraisk geometri .

Denne teorem forbinder begrebet en algebraisk mængde med begrebet et ideal i en polynomialring over et algebraisk lukket felt . Først bevist af David Hilbert ( Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313-373) og opkaldt efter ham.

Ordlyd

Lad være et vilkårligt felt (for eksempel feltet af rationelle tal ), være en algebraisk lukket forlængelse af dette felt (for eksempel feltet af komplekse tal ). Overvej en polynomial ring i variabler med koefficienter i feltet , lad være et ideal i denne ring. Den algebraiske mængde defineret af dette ideal består af alle punkter således, at for enhver . Hilberts nulsætning siger, at hvis nogle polynomium forsvinder på sættet , det vil sige, hvis for alle , så eksisterer der et naturligt tal , sådan at . $k$ $K$ $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ $n$ $K$ $jeg$ ${\hbox{V}}(I)$ $x=(x_{1},\dots,x_{n})\i K^{n}$ $f(x)=0$ $f\in I$ $p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(I)$ $p(x)=0$ $x\in V(I)$ $r$ $p^{r}\i I$

En umiddelbar konsekvens er følgende "svage form af Hilberts nulsætning": hvis er et egentligt ideal i ringen , så kan det ikke være et tomt sæt , det vil sige, at der er et fælles nul for alle polynomier af det givne ideal (faktisk, ellers har polynomiet rødder overalt på , derfor hører dets grad til ). Denne omstændighed gav teoremet dens navn. Det generelle tilfælde kan udledes af den "svage form" ved hjælp af det såkaldte Rabinowitz-trick . Antagelsen om, at feltet er algebraisk lukket, er væsentlig: elementerne i et egentligt ideal i har ikke et fælles nul. $jeg$ $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ ${\hbox{V}}(I)$ $p(x)=1$ ${\hbox{V}}(I)$ $jeg$ $K$ $(x^{2}+1)$ ${\mathbb R}[x]$

Ved at bruge standardterminologien for kommutativ algebra kan Hilberts nulsætning angives som følger: for hvert ideal , formlen $J$

{\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}

hvor er idealets radikal , og er idealet bestående af alle polynomier lig med nul i mængden . ${\sqrt {J}}$ $J$ ${\hbox{I}}(U)$ $U$

Det følger heraf, at operationerne og definerer en bijektiv ordensomvendende overensstemmelse mellem algebraiske mængder i og radikale idealer i . ${\hbox{I}}$ ${\hbox{V}}$ $K^n$ $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

Projektiv version af Nullstellensatz

Der er også en overensstemmelse mellem homogene idealer i en polynomialring og algebraiske mængder i et projektivt rum , kaldet det projektive Nullstellensatz . Lad , være mængden af homogene polynomier af grad . Derefter $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $R_{d}$ $d$

R_{+}=\bigoplus _{{d\geq 1}}R_{d}

kaldes det maksimale homogene ideal . Som i det affine tilfælde introducerer vi notationen: for en delmængde og et homogent ideal, lad $S\subseteq {\mathbb {P}}^{n}$ $jeg$

{\begin{aligned}\operatørnavn {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(S)&=\{f\in R_{+}|f(x)=0\; \forall x\in S\},\\\operatørnavn {V}_{({\mathbb {P}}^{n}}}(I)&=\{x\in {\mathbb {P}}^ {n}|f(x)=0\;\forall f\in I\}.\end{aligned}}

Husk, at det ikke er en funktion på et projektivt rum, men det følger af homogeniteten af dette polynomium, at sættet af punkter med homogene koordinater , hvor , er veldefineret. Nu, for et vilkårligt homogent ideal, $f$ $x$ $f(x)=0$ $I\in R_{+}$

{\sqrt {I}}=\operatørnavn {I}_{{{\mathbb {P}}^{n}}}(\operatørnavn {V}_{({\mathbb {P}}^{n}} }(JEG)).

Litteratur

Atiyah M. , McDonald I. Introduktion til kommutativ algebra. - M: Mir, 1972
Van der Waerden B. L. Algebra. — M.: Nauka, 1976.
Prasolov VV polynomier. - M.: MTSNMO , 1999. ISBN 5-900916-32-4 .
Hartshorne R. Algebraisk geometri. — M.: Mir, 1970
Leng S. Algebra. — M.: Mir, 1968

Se også

David Hilberts bidrag til videnskaben
mellemrum	Hilbert plads Pre-Hilbert plads Gilbert mursten
aksiomatik	Hilberts aksiomatiske
Sætninger	Hilberts sætning 90 Hilberts basissætning Hilberts nulsætning Hilbert-Schmidts sætning
Operatører	Hilbert transformation Hilbert-Schmidt operatør
Generel relativitetsteori	Einstein-Hilberts ligninger " Hilbert og gravitationsfeltligningerne "
Andet	Hilbert problemer Hilbert kurve Hilbert matrix Hilbert-Arnold problem Hilbert-serien og Hilbert-polynomiet Paradoks "Grand Hotel"