Ring (matematik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. april 2022; verifikation kræver 1 redigering .

En ring (også en associativ ring ) i almindelighed algebra er en algebraisk struktur , hvor operationen af reversibel addition og operationen af multiplikation er defineret , svarende i egenskaber til de tilsvarende operationer på tal . De enkleste eksempler på ringe er samlinger af tal ( heltal , reelle , komplekse ), samlinger af numeriske funktioner defineret på et givet sæt. I alle tilfælde er der et sæt svarende til samlinger af tal i den forstand, at dets elementerkan adderes og ganges, og disse operationer opfører sig naturligt [1] .

For at studere de generelle egenskaber ved operationerne multiplikation og addition, deres indre forbindelse med hinanden, uanset arten af de elementer, som operationerne udføres på, blev begrebet en ring introduceret [2] .

Ringe er hovedobjektet for undersøgelse af ringteori - en stor sektion af generel algebra, hvor værktøjer er blevet udviklet, der har fundet bred anvendelse i algebraisk geometri , algebraisk talteori , algebraisk teori $K$ og invariant teori .

Historie

Den hurtige udvikling af algebra som videnskab begyndte i det 19. århundrede. En af talteoriens hovedopgaver i 1860'erne og 1870'erne var opbygningen af en teori om delelighed inden for algebraiske tal generelt . Løsningen på dette problem blev udgivet af Richard Dedekind ("X Supplement til forelæsninger om teorien om Dirichlet-tal", 1871). I dette arbejde blev begrebet en ring af heltal i et talfelt først overvejet; i denne sammenhæng blev begreberne et modul og et ideal defineret [3] .

Definition

En ring er et sæt , hvor der er givet to binære operationer : og (kaldet addition og multiplikation ), med følgende egenskaber, der gælder for enhver : $R$ $+$ $\ gange$ $a, b, c \i R$

$a + b = b + a$ — kommutativitet af tilføjelse;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - associativitet af tilføjelse;
$\eksisterer 0 \i R\ \venstre(a + 0 = 0 + a = a\højre)$ - eksistensen af et neutralt element med hensyn til addition;
$\foralt a\i R\;\eksisterer b\i R\venstre(a+b=b+a=0\højre)$ - eksistensen af det modsatte element med hensyn til addition;
$(a \ gange b) \ gange c=a \ gange ( b \ gange c)$ — associativitet af multiplikation;
$\left\{{\begin{matrix}a\ gange (b+c)=(a\ gange b)+(a\ gange c)\\(b+c)\ gange a=(b\ gange a)+(c\ gange a)\end{matrix}}\right.$ - distributionsevne .

Med andre ord er en ring en universel algebra , der er en abelsk gruppe med hensyn til addition , en semigruppe med hensyn til multiplikation og er tosidet distributiv med hensyn til . $\venstre(R,+,\gange\højre)$ $+$ $\ gange$ $\ gange$ $+$

Ringe kan have følgende yderligere egenskaber:

tilstedeværelsen af en enhed : ( en ring med en enhed ), normalt er en enhed betegnet med 1; $\eksisterer e \i R\; \forall a \in R \venstre(a \times e = e \times a = a\right)$
kommutativitet af multiplikation: ( kommutativ ring ); $\i alt a, b \i R \venstre(a \ gange b = b \ gange a\ højre)$

Nogle gange forstås en ring kun som en ring med en enhed [4] (det vil sige, at den er en monoid ), men ringe uden en enhed studeres også (f.eks. er en ring med lige tal en kommutativ associativ ring uden en enhed [5] ). $\left(R,\times\right)$

I stedet for et symbol bruges ofte et symbol (eller det udelades helt). $\ gange$ $\cdot$

De enkleste egenskaber

Følgende egenskaber kan udledes direkte fra ringaksiomerne:

med hensyn til tilføjelse i ringen er det neutrale element unikt;
for ethvert element i ringen er elementet omvendt til det desuden unikt;
det neutrale element under multiplikation, hvis det findes, er unikt;
$a\cdot 0 = 0,$ det vil sige 0 er et absorberende element ved multiplikation;
$(-b) = (-1) \cdot b,$ hvor er elementet omvendt til desuden; $(-b)$ $b$
$(-a) \cdot b = (-ab);$
$(-a) \cdot (-b) = (ab).$ [6] [5]

Grundlæggende begreber

Typer af ringelementer

Lad ringen have andre elementer end nul (ringen er ikke triviel ). Så er den venstre nuldivisor et ikke-nul-element i ringen, for hvilket der findes et ikke-nul-element i ringen , således at den højre nul-divisor er defineret på samme måde. I kommutative ringe falder disse begreber sammen. Eksempel: overvej en ring af kontinuerte funktioner på et interval Lad os så er det nul divisorer. Her betyder betingelsen , at det er en anden funktion end nul, men betyder ikke, at den ikke tager en værdi nogen steder [7] $-en$ $R,$ $b$ $R$ $ab=0.$ $(-elleve).$ $f(x)=\max(0, x),$ $g(x)=\max(0, -x).$ $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ $f, g$ $f\ne0$ $f$ $f$ $0.$

Et nilpotent element er et element sådan, at for nogle Eksempel: en matrix Et nilpotent element er altid en nul-divisor (medmindre ringen består af et nul), det omvendte er ikke sandt i det generelle tilfælde [8] . $en,$ $a^n = 0$ $n > 0.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr).$

Et idempotent element er et element, således at f.eks. enhver projektionsoperator er idempotent , især den følgende: i matrixringen [9] $e$ $e\cdot e=e.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ $2 gange 2.$

Hvis er et vilkårligt element i en ring med identitet, så er det venstre inverse element af k sådan , at det højre inverse element er defineret på samme måde. Hvis et element har både et venstre og et højre omvendt element, så falder det sidste sammen, og de siger, at det har et omvendt element, som er entydigt defineret og betegnet . Selve elementet kaldes et invertibelt element. [7] $-en$ $R,$ $-en$ $a^{-1}_{l}$ $a^{-1}_{l}a=1.$ $-en$ $-en$ $a^{-1}.$

Subring

En delmængde kaldes en underring , hvis den i sig selv er en ring med hensyn til operationerne defineret i. I dette tilfælde siges det, at den er en forlængelse af ringen [10] Med andre ord er en ikke-tom delmængde en underring, hvis $A\undersæt R$ $R,$ $EN$ $R.$ $R$ $EN.$ $A\undersæt R$

$EN$ er en additiv undergruppe af ringen , det vil sige for evt $R,$ $x, y \i A : x+y, -x \i A,$
$EN$ er lukket under multiplikation, det vil sige for evt $x, y \i A : xy \i A.$

Per definition er en subring ikke- tom , fordi den indeholder null-elementet . Nul og en af en ring er nul og en af dens underringe [11] .

Underringen arver kommutativitetsegenskaben [12] .

Skæringspunktet mellem ethvert sæt underringe er en underring. Den mindste subring, der indeholder en delmængde , kaldes en subring, der genereres af et -genererende system for ringen . En sådan subring eksisterer altid, da skæringspunktet mellem alle underringe, der indeholder , opfylder denne definition. [elleve] $E\undersæt R$ $E,$ $E$ $R.$ $E,$

En underring af en ring med identitet genereret af dens identitet kaldes den mindste eller hovedunderring af ringen . En sådan underring er indeholdt i enhver underring af ringen [13] $R,$ $R.$ $R.$

Idealer

Definitionen og rollen af idealet om en ring svarer til definitionen af en normal undergruppe i gruppeteori [14] .

En ikke- tom delmængde af en ring kaldes et venstreideal, hvis: $jeg$ $R$

$jeg$ er en additiv undergruppe af ringen, det vil sige summen af vilkårlige to elementer fra tilhører og $jeg$ $jeg$ $a\in I\Rightarrow -a\in I.$

$jeg$ er lukket under multiplikation til venstre af et vilkårligt element i ringen, det vil sige, for enhver er sand . $i jeg,$ $r\in R$ $regn I$

Den første egenskab indebærer også, at den er lukket under multiplikation i sig selv, så det er en subring. $jeg$ $jeg$

Et retsideal, der er lukket under multiplikation med et element i ringen til højre, defineres på samme måde.

Et tosidet ideal (eller bare et ideal) af en ring er enhver ikke-tom undergruppe, der er både et venstre- og et højreideal. $R$

Idealet om en ring kan også defineres som kernen i en eller anden homomorfi [15] . $R$ $f:R\to R'$

Hvis er et element i ringen , så kaldes sættet af elementer i formen (henholdsvis ) det venstre (henholdsvis højre) hovedideal genereret af . Hvis ringen er kommutativ, falder disse definitioner sammen, og det genererede hovedideal angives . For eksempel danner mængden af alle lige tal et ideal i ringen af heltal, dette ideal genereres af elementet 2. Det kan bevises, at alle idealer i ringen af heltal er principielle [16] . $x$ $R$ $Rx$ $xR$ $x$ $R$ $x,$ $(x).$

Et ideal om en ring, der ikke falder sammen med hele ringen, kaldes simpelt , hvis kvotientringen ved dette ideal ikke har nogen nuldelere. Et ideal om en ring, der ikke falder sammen med hele ringen og ikke er indeholdt i noget større ideal, der ikke er lig med ringen, kaldes maksimal [17] .

Homomorfisme

En ringhomomorfisme (ringhomomorfisme) er en kortlægning, der bevarer additions- og multiplikationsoperationerne. Nemlig en ring - til-ring homomorfi er en funktion sådan, at $R$ $S$ $f:R\to S,$

$f(a + b) = f(a) + f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R$ .

I tilfælde af ringe med identitet er betingelserne [18] [19] også nogle gange påkrævet . $f(1) = 1$

En ringhomomorfi kaldes en isomorfi, hvis der eksisterer en omvendt ringhomomorfi. Enhver bijektiv ringhomomorfi er en isomorfisme. En automorfi er en homomorfi fra en ring ind i sig selv, hvilket er en isomorfi. Eksempel: identitetskortlægningen af en ring på sig selv er en automorfi [20] .

Hvis er en ringhomomorfi, kaldes det sæt af elementer, der forsvinder, for kernen (benævnt med ). Kernen i enhver homomorfi er et tosidet ideal [21] . På den anden side er billedet ikke altid et ideal, men er en underring [15] (betegnet med ). $f:R\til S$ $R,$ $f$ $\mathrm{ker} f$ $f$ $S$ $\mathrm{im}f$

Faktor ring

Definitionen af en kvotientring af et ideal svarer til definitionen af en kvotientgruppe . Mere præcist er kvotientringen af en ring ved et tosidet ideal sættet af cosets af en additiv gruppe af en additiv undergruppe med følgende operationer: $R$ $jeg$ $R$ $jeg$

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ ,
$(a+I)(b+I)=(ab)+I$ .

I lighed med tilfældet med grupper er der en kanonisk homomorfi givet af . Kernen er det ideelle . $p: R \til R/I$ $x \mapsto x + I$ $jeg$

I lighed med gruppehomomorfi-sætningen er der en ringhomomorfi-sætning: lad så være isomorf til en kvotientring med hensyn til homomorfikernen [22] . $f:R\to R',$ $\mathrm{Im}f$ $\mathrm {Im} f\simeq R/\mathrm {Ker} f$

Nogle specielle klasser af ringe

En ring med enhed , hvor hvert ikke-nul element er inverterbart, kaldes en ring [23] . $1\neq 0$
En kommutativ krop kaldes et felt [24] ; med andre ord er feltet en kommutativ ring med identitet, der ikke har ikke-trivielle idealer [8] [25] .
En kommutativ ring uden nuldelere kaldes et integritetsdomæne (eller integral ring) [26] . Ethvert felt er et integritetsområde, men det modsatte er ikke sandt [27] .
En integralring , der ikke er et felt, kaldes euklidisk , hvis der er givet en norm på ringen , således at: $R$ ${\displaystyle N\colon R\to Z_{+))$
1. for enhver ikke-nul er det sandt, at ; $a, b \i R$ $N(a)\leq N(ab)$
2. for enhver ikke-nul eksisterer der sådan, at og eller
[26] . $a, b \i R$ $q,r \i R$ $a = qb + r$ $r=0$ $N(r) < N(b)$
En integreret ring, hvor ethvert ideal er principielt, kaldes ringen af principielle idealer ; hver euklidisk ring og hvert felt er principielle ideelle ringe [12] .
En ring, hvis elementer er tal, og hvis operationer er addition og multiplikation af tal kaldes en talring , for eksempel er sættet af lige tal en talring, men intet system af negative tal vil være en ring, da deres produkt er positivt [28] .

Eksempler

$\{0\}$ er en triviel ring bestående af et nul. Dette er den eneste ring, hvor nul er et multiplikativt et [5] . Det er nyttigt at betragte dette trivielle eksempel som en ring ud fra kategoriteoriens synspunkt , da der i dette tilfælde opstår et terminalobjekt i kategorierne af ringe .
$\mathbb {Z}$ - heltal (med sædvanlig addition og multiplikation). Dette er det vigtigste eksempel på en ring, da enhver ring kan ses som en algebra over . Det er også startobjektet i kategorien Ring af enhedsringe. [29] [30] $\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} _{n}$ er en endelig restring modulo et naturligt tal n . Dette er klassiske eksempler på ringe fra talteorien. En restring er et felt, hvis og kun hvis n er primtal . [31] De tilsvarende felter er udgangspunktet for at konstruere teorien om endelige felter . Restringe er også vigtige i studiet af strukturen af endeligt genererede abelske grupper og kan også bruges til at konstruere p -adiske tal .
$\mathbb {Q}$ er ringen af rationelle tal , som er et felt. Dette er det enkleste felt med karakteristisk 0. Det er hovedobjektet for undersøgelsen i talteori. At udfylde det i henhold til forskellige ikke-ækvivalente normer giver felter med reelle tal og p -adiske tal, hvor p er et vilkårligt primtal [32] . $\mathbb {R}$ $\Q_p,$
For en arbitrær kommutativ ring kan man konstruere en polynomialring i n variable med koefficienter i [11] Især en polynomialring med heltalskoefficienter er en universel polynomialring, i den forstand at alle polynomialringe er udtrykt som en tensor produkt : $R$ $R[x_1,x_2,\prikker,x_n]$ $R.$ $R[x][y]=R[x,y].$ $R[x_1,\dots,x_n] = R \nogle gange \venstre(\Z[x_1,\prikker,x_n]\højre).$
Ringen af delmængder af et sæt er en ring, hvis elementer er delmængder i . Operationen af addition er en symmetrisk forskel , og multiplikation er skæringspunktet mellem mængder : $x$ $x$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \kop (B \setminus A),

A \cdot B = A \cap B.

Ringaksiomer er let verificerede. Nulelementet er et tomt sæt, enheden er alt. Alle elementer i ringen er idempotente, det vil sige, Ethvert element er dets inverse desuden: Ringen af delmængder er vigtig i teorien om boolske algebraer og målteori , især i konstruktionen af sandsynlighedsteori [5] .

x.

A\cdot A = A.

A+A=0.

Konstruktioner

Direkte produkt

Produktet af ringe og kan udstyres med den naturlige ringstruktur: til enhver , : $R\ gange S$ $R$ $S$ $r_1,r_2\i R$ $s_{1},s_{2}\in S$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

En lignende konstruktion findes for produktet af en vilkårlig familie af ringe (addition og multiplikation er givet komponentmæssigt) [33] .

Lad være en kommutativ ring og være parvise coprime idealer i den (idealer kaldes coprime, hvis deres sum er lig med hele ringen). Den kinesiske restsætning siger, at en kortlægning: $R$ $\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n$

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a }_n)

er surjektiv, og dens kerne er ( produkt af idealer , skæringspunkt mellem idealer ) [18] . $\prod \mathfrak{a}_i = \cap \mathfrak{a}_i$

Ring of endomorphisms

Sættet af endomorfismer af en abelsk gruppe danner en ring, betegnet med . Summen af to endomorfismer defineres komponentmæssigt: , og produktet er defineret som en sammensætning: . Hvis er en ikke-abelsk gruppe, så er , generelt set, ikke lig med , mens addition i en ring skal være kommutativ [34] . $(A,+)$ $\operatorname {End} (A)$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(fg)(x)=f(g(x))$ $(A,+)$ $f+g$ $g+f$

Felt af menige og ring af menige

For en integreret ring er der en konstruktion, der gør det muligt at konstruere det mindste felt, der indeholder den. Feltet med partielle ringe er sættet af ækvivalensklasser af formelle brøker i henhold til følgende ækvivalensrelation : $R$ $R$ $p/q,\; p,q\in R$

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}

hvis og kun hvis

{p_1q_2}={p_2q_1},

ved normal drift: ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.$

Det er ikke helt indlysende, at den givne relation virkelig er en ækvivalensrelation: for beviset skal man bruge ringens integritet. Der er en generalisering af denne konstruktion til vilkårlige kommutative ringe. Nemlig et multiplikativt lukket system i en kommutativ ring (det vil sige en delmængde, der indeholder en og ikke indeholder nul; produktet af vilkårlige to elementer fra delmængden hører igen til den). Så er ringen af kvotienter sættet af ækvivalensklasser af formelle brøker med hensyn til ækvivalensrelationen: $S$ $R$ $S^{-1}R$ $r/s,\; r\in R, s\in S$

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}

hvis og kun hvis eksisterer sådan

s'\i S

s'({r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1)))=0.

Denne konstruktion kaldes også lokaliseringen af ringen (fordi den i algebraisk geometri gør det muligt at studere manifoldens lokale egenskaber på dets individuelle punkt). Eksempel: ring af decimaler - lokalisering af ringen af heltal i henhold til det multiplikative system $S=\{10^n|n\geqslant 0\}.$

Der er en naturlig kortlægning Dens kerne består af sådanne elementer , som der eksisterer sådan, at . Især for en integreret ring er dette kort injektiv [35] [36] . $R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.$ $r$ $s\i S$ $rs=0$

Kategorisk beskrivelse

Ringe danner sammen med ringhomomorfismer en kategori , normalt betegnet (nogle gange betegnes kategorien ringe med enhed på denne måde, og kategorien af almindelige ringe betegnes med ). Kategorien af enhedsringe har mange nyttige egenskaber: især er den komplet og cocomplet . Det betyder, at alle små grænser og kogrænser findes i den (for eksempel produkter , biprodukter , kerner og kokkerne ). Kategorien af ringe med enhed har et initialobjekt (ring ) og et terminalobjekt (nulring). $\mathbf {Ring}$ ${\mathbf {Rng}}$ $\mathbb {Z}$

Man kan give følgende kategoriske definition af en ring: en associativ ring med en enhed er en monoid i kategorien Abelske grupper (Abelske grupper danner en monoidal kategori med hensyn til tensorproduktoperationen ) . Virkningen af en ring R på en Abelsk gruppe (en ring behandlet som en monoid ved multiplikation) gør en Abelsk gruppe til et R - modul . Begrebet et modul generaliserer konceptet om et vektorrum : groft sagt er et modul "et vektorrum over en ring." [29] [30]

Særlige klasser af ringe

Artins ring
Dedekind ring
fordelingsring
differentialring
Ring af store idealer
Euklidisk ring
Ring af Bezu
Ring af Lee
ende ring
lokal ring
Noethersk ring
Integritetsområde
Hovedidealernes rige
primær ring
Semilokal ring
semi-primær ring
Halvsimpel ring
Halvkædet ring
simpel ring
faktoriel ring
kædering

Generaliseringer - ikke-associativ ring , semiring , nærring .

Strukturer over ringe

Noter

↑ Vinberg, 2011 , s. 17-19.
↑ Belsky A., Sadovsky L. Rings // Kvant . - 1974. - Nr. 2 .
↑ Erich Reck. Dedekinds bidrag til matematikkens grundlag // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. — 2012-01-01. Arkiveret fra originalen den 2. december 2013.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 , s. 9.
↑ 1 2 3 4 Vinberg, 2011 , s. 18-19.
↑ Kurosh, 1968 , s. 273-275.
↑ 1 2 Van der Waerden, 1975 , s. 51-53.
↑ 1 2 Atiyah, Macdonald, 1972 , s. elleve.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 359.
↑ Vinberg, 2011 , s. 407.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , s. 110-111.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , s. 21.
↑ Kulikov, 1979 , s. 437.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 64.
↑ 1 2 Feis, 1977 , s. 153.
↑ Kulikov, 1979 , s. 430-431.
↑ Vinberg, 2011 , s. 406.
↑ 1 2 Feis, 1979 , s. ti.
↑ Vinberg, 2011 , s. 388.
↑ Kulikov, 1979 , s. 107-108.
↑ Kulikov, 1979 , s. 432.
↑ Vinberg, 2011 , s. 387-390.
↑ Vinberg, 2011 , s. 523.
↑ Face, 1977 , s. 152.
↑ Kulikov, 1979 , s. 430.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , s. 118.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 .
↑ Kurosh, 1968 , s. 266.
↑ 1 2 Face, 1977 .
↑ 1 2 Face, 1979 .
↑ Vinberg, 2011 , s. 28-34.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 509-512.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 33.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 173.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 450-452.
↑ Kurosh, 1968 , s. 305-311.

Litteratur

M. Atiyah , I. MacDonald. Introduktion til kommutativ algebra. - M . : Mir, 1972. - 160 s.
Belsky A., Sadovsky L. Rings. // Kvante nr. 2, 1974.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M . : Mir, 1975. - 623 s.
Vinberg E. B. Algebra kursus. - Ny udgave, revideret. og yderligere .. - M . : MTSNMO, 2011. - 592 s.
Glazer G. I. Matematikkens historie i skolen: IX-X klasse. Lærervejledning - Ny udgave, revideret. og yderligere .. - M . : Uddannelse, 1983. - 351 s.
Matematik i det 19. århundrede. Matematisk logik. Algebra. Talteori. Sandsynlighedsteori / Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (red.). — M .: Nauka, 1978. — 255 s.
Kulikov L. Ya. Algebra og talteori: Proc. manual for pædagogiske institutioner. - M . : Højere. skole, 1979. - 559 s.
Kurosh A. G. Course of Higher Algebra .. - M . : Nauka, 1968. - 431 s.
Ansigt K. Algebra. Ringe, moduler, kategorier. - M . : Mir, 1977. - T. 1. - 688 s.
Ansigt K. Algebra. Ringe, moduler, kategorier. - M . : Mir, 1979. - T. 2. - 464 s.
Herstein I. Ikke-kommutative ringe. - M . : Mir, 1972. - 190 s.

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNE : XX531097 BNF : 131630283 GND : 4128084-2 J9U : 987007538867405171 LCCN : sh85114140 NKC : ph126754