Generaliseret egenvektor

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. oktober 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En generaliseret egenvektor til en matrix er en vektor , der opfylder visse kriterier, der er svagere end kriterierne for (almindelige) egenvektorer [1] . $n\ gange n$ $EN$

Lad være -dimensionelle vektorrum . Lade være en lineær afbildning til , sættet af alle lineære afbildninger fra til sig selv. Lad være matrixrepræsentationen af kortlægningen for et ordnet grundlag . $V$ $n$ $\phi$ $L(V)$ $V$ $EN$ $\phi$

Der er muligvis ikke et komplet sæt af lineært uafhængige egenvektorer af matrixen , der danner et komplet grundlag for . Det vil sige, at matrixen ikke kan diagonaliseres [2] [3] . Dette sker, når den algebraiske multiplicitet af mindst én egenværdi er større end dens geometriske multiplicitet ( graden af degeneration af matrixen eller dimensionen af dens kerne). I dette tilfælde kaldes en defekt egenværdi , og selve matrixen kaldes en defekt matrix [4] . $n$ $EN$ $V$ $EN$ $\lambda _{i}$ $(A-\lambda _{i}E)$ $\lambda _{i}$ $EN$

Den generaliserede egenvektor svarende til , danner sammen med matricen en Jordan-kæde af lineært uafhængige generaliserede egenvektorer, som danner grundlag for rummets invariante underrum [5] [6] [7] . $x_{i}$ $\lambda _{i}$ $(A-\lambda _{i}E)$ $V$

Ved at bruge generaliserede egenvektorer kan sættet af lineært uafhængige matrixegenvektorer om nødvendigt udvides til et komplet grundlag for [8] . Dette grundlag kan bruges til at definere en "nær-diagonal matrix" i Jordan normal form som matrix , som bruges til at beregne visse matrixfunktioner fra [1] . Matrixen bruges også til at løse et system af lineære differentialligninger , hvor den ikke nødvendigvis er diagonaliserbar [9] [3] . $EN$ $V$ $J$ $EN$ $EN$ $J$ $\mathbf {x} '=A\mathbf {x}$ $EN$

Dimensionen af det generaliserede egenrum svarende til den givne egenværdi er lig med den algebraiske multiplicitet [8] . $\lambda$ $\lambda$

Oversigt og definition

Der er flere ækvivalente måder at definere en almindelig egenvektor [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] . Til vores formål er egenvektoren , forbundet med egenværdien af matricen , en vektor, der ikke er nul, for hvilken , hvor er identitetsmatrixen , og er en vektor med nullængde [12] . Det vil sige, er kernen i transformationen . Hvis den har lineært uafhængige egenvektorer, ligner den en diagonal matrix . Det vil sige, at der eksisterer en ikke -singular matrix, således at den kan diagonaliseres ved en lighedstransformation [18] [19] . Matrixen kaldes matrixens spektrale matrix [ . Matrixen kaldes den modale matrix matricen [20] . Diagonaliserbare matricer er af særlig interesse, da matrixfunktioner derfra let kan beregnes [21] . $\mathbf u$ $\lambda$ $n\ gange n$ $EN$ $(A-\lambda E)\mathbf {u} =\mathbf {0}$ $E$ $n\ gange n$ ${\mathbf 0}$ $n$ $\mathbf u$ $(A-\lambda E)$ $EN$ $n$ $EN$ $D$ $M$ $EN$ $D=M^{-1}AM$ $D$ $EN$ $M$ $EN$

På den anden side, hvis matricen ikke har nogen lineært uafhængige egenvektorer tilknyttet, så er den ikke diagonaliserbar [18] [19] . $EN$ $n$ $EN$

Definition: En vektor er en generaliseret egenvektor af matrixrang, svarende til en egenværdi , hvis: ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ $m$ $EN$ $\lambda$

(A-\lambda E)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} ~,

men

(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} ~.

[1] .

En generaliseret egenvektor af rang 1 er en almindelig egenvektor [22] . Enhver matrix har lineært uafhængige generaliserede egenvektorer forbundet med sig, og den kan påvises at ligne en "nær-diagonal" matrix i Jordans normalform [23] . Det vil sige, at der er en inverterbar matrix sådan, at [24] . Matrixen i dette tilfælde kaldes den generaliserede modale matrix matricen [25] . Hvis er en egenværdi med algebraisk multiplicitet , så vil den have lineært uafhængige generaliserede egenvektorer svarende til [8] . Disse resultater giver igen en metode til at beregne visse matrixfunktioner fra [26] . $n\ gange n$ $EN$ $n$ $J$ $M$ $J=M^{-1}AM$ $M$ $EN$ $\lambda$ $\mu$ $EN$ $\mu$ $\lambda$ $EN$

Bemærk : For at en matrix over et felt kan udtrykkes på Jordans normalform, skal alle matrixegenværdier være i . Det vil sige, at det karakteristiske polynomium skal dekomponeres fuldstændigt i lineære faktorer. Et alternativt eksempel: hvis matricen består af reelle elementer, kan det vise sig, at egenværdierne og egenvektorkomponenterne vil indeholde imaginære værdier [4] [27] [3] . $n\ gange n$ $EN$ $F$ $EN$ $F$ $f(x)$ $EN$

Det lineære spænd for alle generaliserede egenvektorer for en given danner et generaliseret egenrum for [3] . $\lambda$ $\lambda$

Eksempler

Et par eksempler til at illustrere begrebet generaliserede egenvektorer. Nogle detaljer vil blive beskrevet nedenfor.

Eksempel 1

Den type matrix, der præsenteres nedenfor, bruges ofte i lærebøger [3] [28] [2] . Lad os tage en matrix

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}~.

Så er der kun én egenværdi, , og dens algebraiske multiplicitet . $\lambda =1$ $m=2$

Bemærk, at denne matrix har en Jordan-normalform, men ikke er diagonal . Derfor er denne matrix ikke diagonaliserbar. Da superdiagonalen indeholder ét element, er der én generaliseret egenvektor med rang større end 1 (bemærk at vektorrummet har dimension 2, så der kan højst være én generaliseret egenvektor med rang større end 1). Du kan også beregne dimensionen af matrixkernen , som er lig med , så er der generaliserede egenvektorer af rang større end 1. $V$ $A-\lambda E$ $p=1$ $mp=1$

Den almindelige egenvektor beregnes efter standardmetoden (se artiklen Eigenvektor ). Ved at bruge denne egenvektor bestemmes den generaliserede egenvektor ved at løse ligningen: $\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}~.

Udskrivning af værdierne:

\left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_ {21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end {pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}~.

Dette udtryk forenkler til:

v_{22}=1~.

Elementet har ingen begrænsninger. Den generaliserede egenvektor af rang 2 er så , hvor kan have en hvilken som helst skalarværdi. Valget er normalt det enkleste. $v_{21}$ $\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}$ $-en$ $a=0$

Hvori:

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix ))={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1}~,

det samme er en generaliseret egenvektor, ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$

(A-\lambda E)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)){\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix ))={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ~,

så er en almindelig egenvektor, og og er lineært uafhængige, og danner derfor grundlag for vektorrummet . ${\displaystyle \mathbf {v} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{2))$ $V$

Eksempel 2

Det følgende eksempel er noget mere kompliceret end eksempel 1 , men også lille [29] . Matrix

A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix))

har egenværdier og med algebraisk multiplicitet og , men den geometriske multiplicitet vil være lig med og . $\lambda _{1}=1$ $\lambda _{2}=2$ $\mu _{1}=2$ $\mu _{2}=3$ $\gamma _{1}=1$ $\gamma _{2}=1$

Det generaliserede egenunderrum af matrixen beregnes nedenfor. er den sædvanlige egenvektor forbundet med . er den generaliserede egenvektor forbundet med . er den generaliserede egenvektor forbundet med . og er generaliserede egenvektorer forbundet med . $EN$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1))$ $\lambda_2$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{3))$ $\lambda_2$

(A-1E)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix{) \\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf { 0}~,

(A-1E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix{) \\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}= \mathbf {x} _{1}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix pmatrix}0\\0\\0\\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y}_{1}~,

(A-2E)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\ mathbf {y} _{2}~.

Vi får et grundlag for hvert af de generaliserede egenrum i matricen . Sammen udfylder lineære kombinationer af to kæder af generaliserede egenvektorer rummet af alle 5-dimensionelle søjlevektorer: $EN$

\left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\ \9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\}~,\left\{ \mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\ 0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\ 1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}~.

En "næsten diagonal" matrix i Jordan normal form , som f.eks ., opnås som følger: $J$ $EN$

M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2} &\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{p }}~,

J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}}~,

hvor er den generaliserede modale matrix matricen , søjlerne i matricen er det kanoniske grundlag matricen , og [30] . $M$ $EN$ $M$ $EN$ $AM=MJ$

Jordan kæder

Definition: Lade være en generaliseret rang egenvektor svarende til matrix og egenværdi . En kæde dannet af en vektor er et sæt vektorer defineret af udtrykket: ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ $m$ $EN$ $\lambda$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\))$

$\mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{m}~,$
$\mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda E)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ m-1}~,$
$\mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda E)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ m-2}~,$

\vprikker

$\mathbf {x} _{1}=(A-\lambda E)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{ 2}~.$

(en)

Derefter:

\mathbf {x} _{j}=(A-\lambda E)^{mj}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda E)\mathbf {x} _{j+ 1 }\qquad (j=1,2,\dots ,m-1)~.

(2)

Vektoren givet ved formlen ( 2 ) er en generaliseret egenvektor af rang svarende til egenværdien . Kæden er et sæt lineært uafhængige vektorer [6] . ${\displaystyle \mathbf {x} _{j))$ $j$ $\lambda$

Kanonisk grundlag

Definition: Et sæt lineært uafhængige generaliserede egenvektorer er et kanonisk grundlag, hvis sættet udelukkende består af Jordan-kæder. $n$

Således, hvis den generaliserede egenvektor af rang er i det kanoniske grundlag, så er vektorerne i Jordan-kæden dannet af også i det kanoniske grundlag [31] . $m$ $m-1$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m))$

Lade være en egenværdi af en matrix med algebraisk multiplicitet . Find (matrix) rækkerne af matricerne . Et heltal er defineret som det første tal , som det har rang for (her lig med antallet af rækker eller kolonner i matrixen , dvs. matrixen har størrelse ). $\lambda_i$ $EN$ ${\displaystyle \mu _{i))$ $(A-\lambda _{i}E),(A-\lambda _{i}E)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}E)^{m_{i }}$ $m_i$ $(A-\lambda _{i}R)^{m_{i))$ ${\displaystyle n-\mu _{i))$ $n$ $EN$ $EN$ $n\ gange n$

Dernæst definerer vi:

\rho _{k}=\operatørnavn {rang} (A-\lambda _{i}E)^{k-1}-\operatørnavn {rang} (A-\lambda _{i}E)^ {k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i})~.

Variablen angiver antallet af lineært uafhængige generaliserede egenvektorer af rang svarende til egenværdien , der vil optræde i det kanoniske grundlag af matricen . Hvori: ${\displaystyle \rho _{k))$ $k$ $\lambda_i$ $EN$

\operatørnavn {rang} (A-\lambda _{i}E)^{0}=\operatørnavn {rang} (E)=n

[32] .

Beregning af generaliserede egenvektorer

De foregående afsnit præsenterede teknikker til opnåelse af lineært uafhængige generaliserede kanoniske basisegenvektorer for vektorrummet associeret med matrixen . Disse teknikker kan samles i en procedure: $n$ $V$ $n\ gange n$ $EN$

Vi løser matrixens karakteristiske polynomium for at opnå egenværdierne og deres algebraiske multipliciteter ;

EN

\lambda_i

{\displaystyle \mu _{i))

For hver :

\lambda_i

Vi definerer ;

{\displaystyle n-\mu _{i))

Vi definerer ;

m_i

Vi definerer for ;

{\displaystyle \rho _{k))

(k=1,\ldots ,m_{i})

Vi definerer hver Jordan-kæde for .

\lambda _{i}

Eksempel 3

Matrix

A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}

har en egenværdi med algebraisk multiplicitet og en egenværdi med algebraisk multiplicitet , mens . For hver udføres :. $\lambda _{1}=5$ $\mu _{1}=3$ $\lambda _{2}=4$ $\mu _{2}=1$ $n=4$ $\lambda _{1}$ $n-\mu _{1}=4-3=1$

(A-5E)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatorname {rank} (A-5E)= 3~.

(A-5E)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatørnavn {rang} (A -5E)^{2}=2~.

(A-5E)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}~,\qquad \operatørnavn {rang} (A -5E)^{3}=1~.

Det første heltal , som har rang , er . $m_1$ $(A-5E)^{m_{1}}$ $n-\mu _{1}=1$ $m_{1}=3$

Dernæst definerer vi:

\rho _{3}=\operatørnavn {rang} (A-5E)^{2}-\operatørnavn {rang} (A-5E)^{3}=2-1=1~,

\rho _{2}=\operatørnavn {rang} (A-5E)^{1}-\operatørnavn {rang} (A-5E)^{2}=3-2=1~,

\rho _{1}=\operatørnavn {rang} (A-5E)^{0}-\operatørnavn {rang} (A-5E)^{1}=4-3=1~.

Derfor vil der være tre lineært uafhængige generaliserede egenvektorer, en hver af rang 3, 2 og 1. Da det svarer til en kæde af tre lineært uafhængige generaliserede egenvektorer, er der en generaliseret egenvektor af rang 3 svarende til , sådan at: $\lambda _{1}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$ $\lambda _{1}$

(A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} ~,

(3)

men:

(A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} ~.

(fire)

Udtryk ( 3 ) og ( 4 ) repræsenterer et lineært system , der kan løses relativt . Lade ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}~.

Derefter:

(A-5E)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\ start{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34} \\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}

(A-5E)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\ start{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\ 4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}~.

Derefter er det nødvendigt at have og for at opfylde betingelser ( 3 ) og ( 4 ) . Der er ingen begrænsninger på og . Ved at vælge får vi: $x_{34}=0$ $x_{33}\neq 0$ $x_{31}$ $x_{32}$ $x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1$

\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\\1\\0\end{pmatrix}}~,

som en generaliseret egenvektor af rang 3 svarende til . Det er muligt at opnå uendeligt mange andre generaliserede egenvektorer af rang 3 ved at vælge andre værdier af , og for . Valget er dog det enkleste [33] . $\lambda _{1}=5$ $x_{31}$ $x_{32}$ ${\displaystyle x_{33))$ $x_{33}\neq 0$

Nu, ved at bruge lighederne ( 1 ), opnår vi og som generaliserede egenvektorer af henholdsvis rang 2 og 1, hvor: ${\displaystyle \mathbf {x} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1))$

\mathbf {x} _{2}=(A-5E)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix} }

\mathbf {x} _{1}=(A-5E)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix)) ~.

Den ikke-multiple egenværdi kan beregnes ved hjælp af standardteknikker og svarer til den sædvanlige egenvektor: $\lambda _{2}=4$

\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}~.

Det kanoniske grundlag for matricen vil være: $EN$

\left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\} =\venstre\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\\0\\0\end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\} ~.

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2))$ og vil være de generaliserede egenvektorer forbundet med , mens er den sædvanlige egenvektor forbundet med . ${\displaystyle \mathbf {x} _{3))$ $\lambda_1$ ${\displaystyle \mathbf {y} _{1))$ $\lambda_2$

Dette er et ret simpelt eksempel. Generelt vil antallet af lineært uafhængige generaliserede rangegenvektorer ikke altid være det samme. Det vil sige, at der kan være kæder med forskellige længder af de tilsvarende egenværdier [34] . ${\displaystyle \rho _{k))$ $k$

Generaliseret modal matrix

Lad være en matrix. En generaliseret modal matrix for er en matrix, hvis kolonner, behandlet som vektorer, danner det kanoniske grundlag for matricen og optræder i henhold til følgende regler: $EN$ $n\ gange n$ $M$ $EN$ $n\ gange n$ $EN$ $M$

Alle Jordan-kæder bestående af en enkelt vektor (det vil sige en vektor lang) vises i den første kolonne af matricen . $M$
Alle vektorer i en kæde vises sammen i tilstødende søjler i matrixen . $M$
Hver streng vises i rækkefølge efter stigende rang (dvs. en generaliseret rang 1 egenvektor vises før en generaliseret rang 2 egenvektor af samme streng, denne vektor vises før en generaliseret rang 3 egenvektor af samme streng osv.) [25] . $M$

Jordan normal form

Lad være -dimensionelt vektorrum. Lade være en lineær afbildning fra ) , sættet af alle lineære afbildninger fra til sig selv. Lad være en matrixrepræsentation for et ordnet grundlag. Det kan vises, at hvis det karakteristiske polynomium af matrixen er opdelt i lineære faktorer, så det har formen: $V$ $n$ $\phi$ $L(V$ $V$ $EN$ $\phi$ $f(\lambda)$ $EN$ $f(\lambda)$

f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1))(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2} }\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}}~,

hvor er distinkte egenværdier , så er hver en algebraisk multiplicitet af den tilsvarende egenværdi , og ligner en matrix i Jordan normalform , hvor hver vises gange fortløbende på diagonalen. Desuden er elementet umiddelbart over hver (det vil sige på superdiagonalen ) enten 0 eller 1 - elementerne over den første forekomst af hver er altid 0; alle andre elementer på superdiagonalen er lig med 1. Desuden er alle andre elementer uden for diagonalen og superdiagonalen lig med 0. Matricen er tættest på diagonaliseringen af matricen . Hvis matrixen er diagonaliserbar, er alle indgange over diagonalen nul [35] . Bemærk, at i nogle bøger er enhederne placeret på subdiagonalen, det vil sige direkte under hoveddiagonalen, og ikke på superdiagonalen. Egenværdierne forbliver på hoveddiagonalen [36] [37] . ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r))$ $EN$ $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$ $EN$ $J$ $\lambda _{i}$ $\mu _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $J$ $EN$ $EN$

Enhver matrix svarer til en matrix i Jordan normal form, som opnås ved lighedstransformationer , hvor er den generaliserede modale matrix af matrixen [38] (Se note ovenfor). $n\ gange n$ $EN$ $J$ $J=M^{-1}AM$ $M$ $EN$

Eksempel 4

Lad os finde en matrix i Jordan normal form, som ligner:

A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}~.

Løsning: Den karakteristiske ligning for matricen - er derfor en egenværdi med algebraisk multiplicitet tre. Ved at følge proceduren fra forrige afsnit finder vi, at: $EN$ $(\lambda -2)^{3}=0$ $\lambda =2$

\operatørnavn {rang} (A-2E)=1

\operatørnavn {rang} (A-2E)^{2}=0=n-\mu ~.

Så og , hvorfra det følger, at det kanoniske grundlag for matricen vil indeholde en lineært uafhængig generaliseret egenvektor af rang 2 og to lineært uafhængige generaliserede egenvektorer af rang 1, eller tilsvarende: en kæde af to vektorer og en kæde af vektorer . Som betegnelse får vi: $\rho _{2}=1$ $\rho _{1}=2$ $EN$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\))$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\))$ $M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix))$

M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}}

J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}~,

hvor er den generaliserede modale matrix af matrixen , søjlerne i matrixen er det kanoniske grundlag for matrixen , og [39] . Da de generaliserede egenvektorer i sig selv ikke er unikke, og da nogle af søjlerne i matricerne og kan udveksles, følger det, at både matrixen og ikke er unikke [40] . $M$ $EN$ $M$ $EN$ $AM=MJ$ $M$ $J$ $M$ $J$

Eksempel 5

I eksempel 3 blev der fundet et kanonisk grundlag af lineært uafhængige generaliserede egenvektorer for matrixen . Den generaliserede modale matrixmatrix er: $EN$ $EN$

M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}~.

En matrix i Jordan normal form, ligesom matrix , er: $EN$

J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}}~,

så . $AM=MJ$

Ansøgninger

Matrixfunktioner

De tre hovedoperationer, der kan udføres på kvadratmatricer , er matrixaddition, skalar multiplikation og matrixmultiplikation [41] . Det er præcis de operationer, der er nødvendige for at bestemme polynomiefunktionen af en matrix [42] . Mange funktioner kan repræsenteres som en Maclaurin-serie , og derfor kan mere generelle funktioner af matricer defineres [43] . Hvis matrixen er diagonaliserbar, det vil sige: $n\ gange n$ $EN$ $EN$

D=M^{-1}AM~,

Med

D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0& \cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}~,

derefter:

D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}~,

og summeringen af Maclaurin-serien af funktionen er meget forenklet [44] . For at opnå en hvilken som helst grad k af matricen behøver man for eksempel kun at beregne ved at gange matricen til venstre med og derefter til højre med [45] . $EN$ $EN$ $D^{k}$ $D^{k}$ $M$ $M^{-1}$

Ved at bruge generaliserede egenvektorer kan man opnå Jordan-normalformen af en matrix , og disse resultater kan generaliseres for at opnå en direkte metode til beregning af funktioner fra ikke-diagonaliserbare matricer [46] (Se Jordan-nedbrydning .) $EN$

Differentialligninger

Overvej problemet med at løse et system af lineære ordinære differentialligninger:

\mathbf {x} '=A\mathbf {x} ~,

(5)

hvor:

\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix)) ~,\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\ ende{pmatrix}}~,

A=(a_{ij})~.

Hvis matrixen er diagonaliserbar, så for , reduceres system ( 5 ) til et ligningssystem, der har formen: $EN$ $a_{ij}=0$ $i \ne j$ $n$

$x_{1}'=a_{11}x_{1}$
$x_{2}'=a_{22}x_{2}$

\vprikker

$x_{n}'=a_{nn}x_{n}~.$

(6)

I dette tilfælde er den generelle løsning givet af udtrykkene:

{\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t))

{\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t))

\vprikker

x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}~.

I det generelle tilfælde bør man diagonalisere matricen og reducere systemet ( 5 ) til et system af formen ( 6 ) som angivet nedenfor. Hvis matricen er diagonaliserbar, har vi , hvor er matricens modale matrix . Efter substitution bliver lighed ( 5 ) , eller: $EN$ $EN$ $D=M^{-1}AM$ $M$ $EN$ $A=MDM^{-1}$ $M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )$

\mathbf {y} '=D\mathbf {y} ~,

(7)

hvor:

\mathbf {x} =M\mathbf {y} ~.

(otte)

Løsningen til ligning ( 7 ) vil være:

{\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t))

{\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t))

\vprikker

y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}~.

Løsningen af systemet ( 5 ) opnås derefter ved hjælp af relationen ( 8 ) [47] . $\mathbf {x}$

På den anden side, hvis matricen ikke er diagonaliserbar, vælger vi som matrix en generaliseret modal matrix for matricen , så det er Jordan-normalformen af matricen . Systemet ser sådan ud: $EN$ $M$ $EN$ $J=M^{-1}AM$ $EN$ $\mathbf {y} '=J\mathbf {y}$

${\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1} '&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n}~ ,\end{aligned}}$

(9)

hvor værdierne er egenværdierne fra matrixens hoveddiagonal , og værdierne er etaller og nuller fra matricens superdiagonal . System ( 9 ) er ofte lettere at løse end ( 5 ), for eksempel ifølge følgende skema: $\lambda_i$ $J$ $\epsilon _{i}$ $J$

Løsning af den sidste lighed i ( 9 ) med hensyn til, opnår vi . Substituerer vi den opnåede værdi i den næstsidste lighed i ( 9 ), løser vi den med hensyn til . Lad os fortsætte denne proces og gennemgå alle lighederne ( 9 ) fra den sidste til den første, og derved løse hele ligningssystemet. Løsningen fås så ud fra relationerne ( 8 ) [48] . $y_{n}$ ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t))$ $y_{n}$ ${\displaystyle y_{n-1))$ $\mathbf {x}$

Noter

↑ 1 2 3 Bronson, 1970 , s. 189.
↑ 1 2 Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 310.
↑ 1 2 3 4 5 Nering, 1970 , s. 118.
↑ 1 2 Golub, Van Loan, 1996 , s. 316.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 319.
↑ 12 Bronson , 1970 , s. 194-195.
↑ Golub, Van Loan, 1996 , s. 311.
↑ 1 2 3 Bronson, 1970 , s. 196.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 316-318.
↑ Anton, 1987 , s. 301-302.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 266.
↑ 1 2 Burden, Faires, 1993 , s. 401.
↑ Golub, Van Loan, 1996 , s. 310-311.
↑ Harper, 1976 , s. 58.
↑ Herstein, 1964 , s. 225.
↑ Kreyszig, 1972 , s. 273.684.
↑ Nering, 1970 , s. 104.
↑ 1 2 Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 270-274.
↑ 12 Bronson , 1970 , s. 179-183.
↑ Bronson, 1970 , s. 181.
↑ Bronson, 1970 , s. 179.
↑ Bronson, 1970 , s. 190,202.
↑ Bronson, 1970 , s. 189,203.
↑ Bronson, 1970 , s. 206-207.
↑ 12 Bronson , 1970 , s. 205.
↑ Bronson, 1970 , s. 189,209-215.
↑ Herstein, 1964 , s. 259.
↑ Herstein, 1964 , s. 261.
↑ Nering, 1970 , s. 122.123.
↑ Bronson, 1970 , s. 189-209.
↑ Bronson, 1970 , s. 196.197.
↑ Bronson, 1970 , s. 197.198.
↑ Bronson, 1970 , s. 190-191.
↑ Bronson, 1970 , s. 197-198.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 311.
↑ Cullen, 1966 , s. 114.
↑ Franklin, 1968 , s. 122.
↑ Bronson, 1970 , s. 207.
↑ Bronson, 1970 , s. 208.
↑ Bronson, 1970 , s. 206.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 57-61.
↑ Bronson, 1970 , s. 104.
↑ Bronson, 1970 , s. 105.
↑ Bronson, 1970 , s. 184.
↑ Bronson, 1970 , s. 185.
↑ Bronson, 1970 , s. 209-218.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 274-275.
↑ Beauregard, Fraleigh, 1973 , s. 317.

Litteratur

Anton Howard. Elementær lineær algebra. — 5. - New York: Wiley , 1987. - ISBN 0-471-84819-0 .
Sheldon Axler. Lineær algebra udført rigtigt. — 2. - Springer, 1997. - ISBN 978-0-387-98258-8 .
Raymond A. Beauregard, John B. Fraleigh. Et første kursus i lineær algebra: med valgfri introduktion til grupper, ringe og felter . — Boston: Houghton Mifflin Co. , 1973. - ISBN 0-395-14017-X .
Richard Bronson. Matrixmetoder: en introduktion . — New York: Academic Press , 1970.
Richard L. Burden, J. Douglas Faires. Numerisk Analyse . — 5. — Boston: Prindle, Weber og Schmidt , 1993. — ISBN 0-534-93219-3 .
Charles G. Cullen. Matricer og lineære transformationer . — Læsning: Addison-Wesley , 1966.
Joel N. Franklin. Matrix teori. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall , 1968.
Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix beregninger. — 3. - Baltimore: Johns Hopkins University Press , 1996. - ISBN 0-8018-5414-8 .
- Oversat af J. Golub, C. Van Lone. Matrixberegninger. - M . : "Mir", 1999. - ISBN 5-03-002406-9 .
Charlie Harper. Introduktion til matematisk fysik . - New Jersey: Prentice-Hall , 1976. - ISBN 0-13-487538-9 .
Herstein IN emner i algebra. - Waltham: Blaisdell Publishing Company , 1964. - ISBN 978-1114541016 .
Erwin Kreyszig. Avanceret teknisk matematik . — 3. - New York: Wiley , 1972. - ISBN 0-471-50728-8 .
Evar D. Nering. Lineær algebra og matrixteori. — 2. — New York: Wiley , 1970.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet

Matematik

Portal "Science"

Grundlaget for matematik mængdeteori matematisk logik logikkens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementær algebra	Ligningsløsning
Lineær algebra	Vektorregning matricer Tensorregning Multilineær algebra
Generel algebra	Kommutativ algebra Repræsentationsteori Differentiel algebra Homologisk algebra Universal Algebra Kategori teori

Analyse
Klassisk analyse	Differentialregning Integralregning
Funktionsteori	Harmonisk analyse Kvaternion Analyse Kompleks analyse måle teori Teori om funktioner af en reel variabel funktionel analyse Variationsberegning
Differential- og integralligninger	Dynamiske systemer og ergodisk teori Differentialligninger almindelig i partielle derivater Integralligninger
Vektoranalyse Global Analyse Katastrofe teori Tilpasset analyse Glat infinitesimal analyse

Geometri og topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Ikke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Generel topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri og topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Anvendt matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriske metoder matematisk økonomi finansiel matematik Sandsynlighedsteori Operationsforskning Spilteori

Portal "Matematik"
Kategori "Matematik"