Funktionsvektor

En vektorfunktion er en funktion, hvis værdier er vektorer i et vektorrum med to, tre eller flere dimensioner. Funktionsargumenter kan være: $\mathbb {V}$

en skalarvariabel - så bestemmes værdierne af vektorfunktionen i en eller anden kurve ; $\mathbb {V}$
m skalarvariable - så dannes værdierne af vektorfunktionen i , generelt set, en m -dimensionel overflade; $\mathbb {V}$
vektorvariabel - i dette tilfælde betragtes vektorfunktionen normalt som et vektorfelt på . $\mathbb {V}$

Vektorfunktion af en skalarvariabel

For klarhedens skyld begrænser vi os yderligere til tilfældet med et tredimensionelt rum, selvom udvidelsen til det generelle tilfælde ikke er vanskelig. En vektorfunktion af en skalarvariabel kortlægger et eller andet interval af reelle tal til et sæt rumlige vektorer (intervallet kan også være uendeligt). ${\mathbf {r}}(t)$ ${\displaystyle t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2))$

Efter at have valgt koordinatvektorerne kan vi dekomponere vektorfunktionen i tre koordinatfunktioner x ( t ) , y ( t ), z ( t ): $\mathbf {\hat {i)) ,\mathbf {\hat {j)) ,\mathbf {\hat {k))$

\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i)) +y(t)\mathbf {\hat {j)) +z(t)\mathbf {\hat { k}}

Betragtet som radiusvektorer danner værdierne af vektorfunktionen en bestemt kurve i rummet, for hvilken t er en parameter.

En vektorfunktion siges at have en grænse ved et punkt, hvis (her og nedenfor betegner vi vektorens modul ). Grænsen for en vektorfunktion har de sædvanlige egenskaber: ${\mathbf {r}}(t)$ $\mathbf {r_{0}}$ $t=t_{0}$ $\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0$ $|\mathbf {v} |$ $\mathbf{v}$

Grænsen for summen af vektorfunktioner er lig med summen af vilkårenes grænser (forudsat at de eksisterer).
Grænsen for skalarproduktet af vektorfunktioner er lig med skalarproduktet af faktorers grænser.
Grænsen for vektorproduktet af vektorfunktioner er lig med vektorproduktet af faktorernes grænser.

Kontinuiteten af en vektorfunktion defineres traditionelt.

Afledt af en vektorfunktion i forhold til en parameter

Lad os definere den afledede af vektorfunktionen med hensyn til parameteren: ${\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\to 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Hvis der findes en afledt i et punkt, siges vektorfunktionen at være differentierbar på det punkt. Koordinatfunktionerne for den afledede vil være . $t$ $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$

Egenskaber for den afledte af en vektorfunktion (overalt antages det, at der findes afledte):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ - den afledte sum er summen af de afledte
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — her er f(t) en differentierbar skalarfunktion.
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - differentiering af det skalære produkt .
${\frac {d}{dt))[{\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t)]=\venstre[{\frac {d{\mathbf {r_{1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)\right]+\venstre[{\mathbf {r_{1}}}(t){\ frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}\right]$ — differentiering af vektorproduktet .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\venstre({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\right)$ er differentieringen af det blandede produkt .

For anvendelser af vektorfunktioner af en skalarvariabel i geometri, se: differentialgeometri af kurver .

Vektorfunktion af flere skalarvariable

For klarhedens skyld begrænser vi os til tilfældet med to variable i det tredimensionelle rum. Vektorfunktionens værdier (deres hodograf ) danner generelt set en todimensionel overflade, hvorpå argumenterne u, v kan betragtes som interne koordinater for overfladepunkterne. $\mathbf {r} (u,v)$

I koordinater ser ligningen sådan ud: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$

x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)

På samme måde som tilfældet med én variabel kan vi definere afledte af vektorfunktionen, som nu vil være to: . En del af overfladen vil være ikke-degenereret (det vil sige i vores tilfælde todimensionel), hvis den ikke forsvinder identisk på den. $\frac{\partial\mathbf{r)) {\partial u}, \frac{\partial\mathbf{r)) {\partial v}$ $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)),{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

Kurverne på denne overflade er bekvemt defineret som:

u = u(t);\ v = v(t)

hvor t er kurveparameteren. Afhængighederne antages at være differentierbare, og i den pågældende region må deres derivater ikke samtidig forsvinde. En særlig rolle spilles af koordinatlinjer , som danner et gitter af koordinater på overfladen: $u(t),\ v(t)$

u=t;\ v=const

- den første koordinatlinje.

u=const;\ v=t

er den anden koordinatlinje.

Hvis der ikke er enkeltpunkter på overfladen ( forsvinder ikke nogen steder), så passerer præcis to koordinatlinjer gennem hvert punkt på overfladen. $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u)),{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v))\right]$

For mere om geometriske anvendelser af vektorfunktioner af flere skalarvariable, se: Overfladeteori .

Litteratur

Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalyse og principper for tensorregning. 3. udg. Moskva: Højere skole, 1966.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Vektoranalyse. Nauka, 1978, 160 s. (2. udgave URSS, 2002)
Kochin N. E. Vektorregning og begyndelsen af tensorregning. Arkiveret 14. november 2007 på Wayback Machine 9. udg. Moskva: Nauka, 1965.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet