Pseudo-euklidisk rum

Et pseudo-euklidisk rum er en endelig -dimensionel reel vektor eller affint rum med et ikke-degenereret ubestemt skalarprodukt , som også kaldes en ubestemt metrik . En ubestemt metrik er ikke en metrik i betydningen definitionen af et metrisk rum , men er et specialtilfælde af en metrisk tensor .

Et pseudo-euklidisk rum er defineret af et par heltalsparametre - den maksimale dimension af et underrum med positive og negative bestemte metrikker; parret kaldes rummets signatur. Signaturrum er normalt betegnet med eller . Det vigtigste eksempel på et pseudo-euklidisk rum er Minkowski-rummet . $(m,n)$ $(m,n)$ $(m,n)$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{m,n))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m,n))$ $\mathbb {E} ^{m,1}$

Pseudo-euklidisk rumsignatur

Ved at vælge et passende grundlag for et vektor pseudo-euklidisk rum , kan man altid sikre, at det ubestemte skalarprodukt af dette rum har formen $L$

\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{m}y_{m}-x_{{m+1}}y_{{m+1}}-\ldots -x_ {n}y_{n},

hvor og er rumvektorer . Især har det skalære kvadrat af en vektor formen $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$ $y=(y_{1},\ldots,y_{n})$ $L$

\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}-x_{{m+1}}^{2}-\ldots -x_{n}^ {2},

og kan være både et positivt og negativt tal, såvel som nul (selv for en vektor, der ikke er nul ). I overensstemmelse hermed er længden af vektoren defineret af ligheden $x$ $x$

\|x\|={\sqrt {\langle x,\;x\rangle )),

er enten et positivt reelt tal, et rent imaginært tal eller nul.

På samme måde kan man ved at vælge en ramme altid sikre, at afstanden mellem punkter i det n-dimensionelle affine pseudo-euklidiske rum med koordinater og skrives som $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $(y_{1},\ldots,y_{n})$

d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{{ m+1}}-y_{{m+1}})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.

Baser og rammer med denne egenskab kaldes ortonormale .

Et par tal (der angiver antallet af basisvektorer af henholdsvis reel og rent imaginær længde) afhænger ikke af valget af en ortonormal basis eller ramme (Sylvesters inertilov) og kaldes den pseudo-euklidiske rumsignatur . $(m, nm)$

Pseudo-euklidiske rum med forskellige signaturer er ikke isometriske for hinanden. Et mellemrum med en signatur kan dog forvandles til et mellemrum med en signatur ved at ændre fortegn for det skalære produkt, og derfor er der normalt ingen skelnen mellem sådanne rum: Især er Minkowski-rummet defineret i forskellige kilder som både signatur rum og signaturrum . Således svarer hver dimension til (hvor de direkte parenteser betyder at tage heltalsdelen) forskellige -dimensionelle pseudo-euklidiske rum. $(m, nm)$ $(nm,m)$ $(1.3)$ $(3.1)$ $n$ $\venstre[n/2\højre]$ $n$

Isotropiske vektorer, retninger, kegler

Et vigtigt træk ved rum med en ubestemt metrik er tilstedeværelsen af ikke-nul vektorer af nul længde. Sådanne vektorer (såvel som de linjer, som de leder vektorer af) kaldes isotrope eller lyslignende (sidstnævnte navn bruges oftere i fysik, det er forbundet med Minkowski-rummet ). Et underrum af et vektorpseudo-euklidisk rum kaldes isotropisk , hvis det udelukkende består af isotrope vektorer.

Sættet af alle isotrope vektorer i et pseudo-euklidisk vektorrum kaldes den isotrope kegle (eller lyskegle ) i dette rum. Signaturrummets lyskegle indeholder ikke "ansigter", det vil sige isotrope underrum med dimension større end 1 [1] . $(1,n-1)$

Sættet af alle isotropiske vektorer i et pseudo-euklidisk affint rum, plottet fra et vilkårligt fast punkt, kaldes den isotrope kegle (eller lyskegle ) i det rum i det givne punkt. Dette sæt er faktisk en kegle (i den generelle betydning af dette koncept) med et toppunkt på et givet punkt. Isotropiske kegler af et pseudo-euklidisk affint rum med hjørner på forskellige punkter opnås fra hinanden ved hjælp af parallel translation .

Især et pseudo-euklidisk vektorplan har præcis to isotrope retninger. På en ortonormal basis, hvor vektorens skalære kvadrat har form af isotrope retninger - består lige linjer og en isotrop kegle af foreningen af disse to linjer. $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}-x_{2}^{2},$ $x_{1}\pm x_{2}=0,$

Et tredimensionelt pseudo-euklidisk vektorrum har et uendeligt antal isotrope retninger. I en ortonormal basis, hvor skalarkvadraten af en vektor har form af isotropiske retninger, er disse alle mulige linjer, der ligger på en isotrop kegle , som i dette tilfælde er en reel kegle . $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2},$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,$

Underrum af et pseudo-euklidisk rum

Et underrum af et pseudo-euklidisk rum med en signatur er ikke nødvendigvis et pseudo-euklidisk rum med det samme antal ; desuden kan det også være et euklidisk rum. For eksempel, i et tredimensionelt pseudo-euklidisk rum med signatur, kan planet enten være pseudo-euklidisk med signatur eller euklidisk eller have et degenereret skalarprodukt. Geometrisk er disse tre tilfælde bestemt af planets placering i forhold til den isotrope kegle (se figur). Et plan er nemlig pseudo-euklidisk, hvis det skærer en isotrop kegle i to forskellige rette linjer (isotropiske retninger); begrænsningen af det skalariske produkt til planet er degenereret, hvis det rører en isotrop kegle, det vil sige, det skærer med det langs en enkelt lige linje; Endelig er et plan euklidisk, hvis det har et enkelt punkt til fælles med en isotrop kegle (keglens toppunkt). $(nm,m)$ $m$ $(2.1)$ $\Pi$ $(1.1)$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

Cirkler og kugler

Fra synspunktet om geometrien af det pseudo-euklidiske plan er cirkler med vilkårlig ikke-nul (virkelig eller rent imaginær) radius hyperbler . Tilsvarende i signaturens tredimensionale pseudo-euklidiske rum er sfærer med reel radius ikke-nul et-ark hyperboloider , og sfærer med ikke-nul rent imaginær radius er to- ark hyperboloider . Tilsvarende i rum med flere dimensioner, for eksempel i den firedimensionelle signatur (3,1). $(2.1)$

Med hensyn til dets geometriske egenskaber er hver af de to "halvdele" af en hypersfære med imaginær radius i signaturens -dimensionelle pseudo-euklidiske rum et -dimensionelt Lobachevsky-rum . Dimensionsunderrum (fra til ) i dette Lobachevsky-rum svarer til dimensionsunderrum af det oprindelige pseudo-euklidiske rum, der passerer gennem oprindelsen og skærer hypersfæren af imaginær radius, og dets bevægelser svarer til Lorentz-transformationer . $n+1$ $(n,1)$ $n$ $k$ $0$ $n-1$ $k+1$

Omvendt Cauchy-Bunyakovsky ulighed

I et pseudo-euklidisk rum med en signatur for alle vektorer af imaginær længde, gælder følgende ulighed : [1] $(n-1,1)$

\langle x,x\rangle <0,\ \langle y,y\rangle <0\ \Rightarrow \ \langle x,y\rangle ^{2}\geqslant \langle x,x\rangle \cdot \ langle y,y\rangle .

Ansøgninger i fysik

Det vigtigste specialtilfælde af et pseudo-euklidisk rum er Minkowski-rummet , brugt i speciel relativitet som rumtid , hvor signaturmetrikken (1,3) er Lorentz-invariant (kun en pseudo-euklidisk metrik kan være Lorentz-invariant ), og for tidsligheden af et par begivenheder, længden (i betydningen af en sådan metrik) af kurven, der forbinder disse begivenheder og også overalt er tidslignende, er der tiden mellem dem, målt med uret, hvis bevægelse er beskrevet i denne kurves rum-tid. Isotropiske retninger er retningerne for lysudbredelse og kaldes også nul eller lyslignende.

Hilbert-rum med en ubestemt metrik bruges i kvanteelektrodynamik til den matematiske beskrivelse af kvantiseringen af det elektromagnetiske felts længde- og skalaroscillationer [2] .

Teoretisk fysik betragter pseudo-euklidiske rum og andre dimensioner, men som regel har metrikken i dem signaturen , det vil sige, disse er rum med en tidskoordinat og n rumlige. $(1,n)$

Se også

Noter

↑ 1 2 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineær algebra og geometri, kap. VII, stk. 7, - Fizmatlit, Moskva, 2009.
↑ Akhiezer A.I. , Berestetsky V.B. Quantum electrodynamics. - M., Nauka, 1969. - s. 63

Litteratur

Walter Noll (1964) "Euklidisk geometri og Minkowskisk kronometri", American Mathematical Monthly 71:129-44.
Poincaré , Science and Hypothesis 1906, refereret til i bogen B. A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (engelsk oversættelse) s.266.
Szekeres, Peter. Et kursus i moderne matematisk fysik : grupper, Hilbert-rum og differentialgeometri . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0521829607 .
Alexandrov P. S., Markushevich A. I., Khinchin A. Ya. - Encyklopædi af elementær matematik. Bind V. Geometri
Rashevsky PK Riemann geometri og tensoranalyse. - Enhver udgave.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. — M.: Fizmatlit, 2009.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderne geometri (metoder og applikationer). - Enhver udgave.
Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Forelæsninger om klassisk differentialgeometri. — M.: Logos, 2009.

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet