Ortogonalt grundlag

En ortogonal (ortonormal) basis er et ortogonalt ( ortonormalt ) system af elementer i et lineært rum med et skalært produkt , der har fuldstændighedsegenskaben .

Finit-dimensional case

En ortogonal basis er en basis sammensat af parvise ortogonale vektorer . Et ortonormalt grundlag opfylder også betingelsen om enhed af normen for alle dens elementer. Det vil sige, at det er et ortogonalt grundlag med normaliserede elementer.

Sidstnævnte er bekvemt skrevet ved hjælp af Kronecker-symbolet :

(e_{i},e_{j})=\delta _{ij},

det vil sige, at prikproduktet af hvert par af basisvektorer er nul, når de ikke er ens ( ), og er lig med én, når indekset er det samme, det vil sige, når prikproduktet af enhver basisvektor med sig selv tages . $i\neq j$

Mange ting er skrevet på et ortogonalt grundlag meget lettere end på et vilkårligt grundlag, derfor forsøger de meget ofte at bruge netop sådanne baser, hvis det er muligt, eller brugen af et særligt ikke-ortogonalt grundlag giver ikke særlige specielle bekvemmeligheder. Eller hvis de ikke opgiver det til fordel for et grundlag af generel form af almene grunde.

Et ortonormalt grundlag er selv-dual ( dets dobbelte grundlag falder sammen med sig selv). Derfor er det muligt ikke at skelne mellem øvre og nedre indekser i den, og f.eks. kun bruge lavere indekser (som det normalt er tilfældet, medmindre der naturligvis kun bruges ortonormale baser i dette tilfælde).

Lineær uafhængighed følger af ortogonalitet, det vil sige, at den opnås automatisk for et ortogonalt system af vektorer.

Koefficienter i ekspansion af en vektor på en ortogonal basis:

\\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n} }

kan findes sådan her:

\ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}} ) }}.

Fuldstændigheden af et ortonormalt system af vektorer svarer til Parsevals lighed : for enhver vektor er kvadratet af vektorens norm lig med summen af kvadraterne af koefficienterne for dens ekspansion i basis: ${\mathbf {a}}$

({\mathbf {a}},{\mathbf {a}})=\sum _{i}({\mathbf {a}},{\mathbf {e_{i}}})^{2},

Lignende relationer gælder også for det uendelig-dimensionelle tilfælde (se nedenfor).

Uendelig dimensionel kasus

En ortogonal basis er et system af parvise ortogonale elementer i et Hilbert-rum, således at ethvert element entydigt kan repræsenteres som en normkonvergerende serie $e_{1},e_{2},...,e_{n},...$ $x$ $x\i X$

x=\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n},

kaldet Fourier-rækken af et element i systemet . $x$ $\{e_{n}\}$

Ofte er grundlaget valgt sådan , og så kaldes det ortonormalt grundlag . I dette tilfælde er tallene , kaldet Fourier-koefficienterne for et grundstof på ortonormal basis , af formen $\{e_{n}\}$ $|e_{n}|=1$ $a_n$ $x$ $\{e_{n}\}$

a_{n}=(x,e_{n})

En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at et ortonormalt system kan danne grundlag er Parsevals lighed . $\{e_{n}\}$

Et Hilbert-rum, der har en ortonormal basis, kan adskilles , og omvendt har hvert adskilleligt Hilbert-rum en ortonormal basis.

Hvis et vilkårligt system af tal er givet således , at i tilfælde af et Hilbert-rum med en ortonormal basis , konvergerer rækken i norm til et eller andet element . Dette etablerer isomorfien af ethvert adskilleligt Hilbert-rum til rummet ( Riesz -Fischer-sætningen). $\{a_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty$ $\{e_{n}\}$ $\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}e_{n}$ $x\i X$ $l_{2}$

Eksempler

Standardgrundlaget i det n -dimensionelle euklidiske rum Rn er ortonormalt. $e_{1}=(1,0,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}}},e_{2}=(0,1,\ldots ,0)^{{\mathrm {T}} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots ,1)^{{\mathrm {T))}$

Sættet danner et ortonormalt grundlag i . $\{f_{n}={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}e^{{inx}},n\in {\mathbb {Z}}\}$ $L^{2}([-\pi ,\pi ])$

Litteratur

Gelfand I. M. Forelæsninger om lineær algebra, Moskva: Nauka, 1971.
Moren K. Hilbert rummetoder. M.: Mir, 1965.

Se også

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet