Egenvektor

En egenvektor er et koncept i lineær algebra , defineret for en vilkårlig lineær operator som en ikke-nul vektor , hvor anvendelsen af operatoren giver en collineær vektor - den samme vektor ganget med en skalarværdi (som kan være lig med 0) . Den skalar, som egenvektoren multipliceres med med operatoren, kaldes egenværdien (eller egenværdien ) af den lineære operator svarende til den givne egenvektor. En repræsentation af en lineær operator er en kvadratisk matrix , så egenvektorer og egenværdier er ofte defineret i forbindelse med brug af sådanne matricer [1] [2] .

Begreberne egenvektor og egenværdi [3] er et af nøglebegreberne i lineær algebra; mange konstruktioner er bygget på deres grundlag. Dette skyldes, at mange relationer forbundet med lineære operatorer er væsentligt forenklet i et koordinatsystem bygget på basis af operatorens egenvektorer. Sættet af egenværdier af en lineær operator (operatorspektrum ) karakteriserer vigtige egenskaber for operatoren uden reference til noget bestemt koordinatsystem. Af disse grunde er egenvektorer af stor praktisk betydning. Så for eksempel findes egenvektorer ofte i mekanik, kvanteteori og så videre. Især spin-projektionsoperatoren på en vilkårlig akse har to egenværdier og deres tilsvarende egenvektorer.

Konceptet med et lineært vektorrum er ikke begrænset til "rent geometriske" vektorer og generaliserer til forskellige sæt af objekter, såsom funktionsrum (på hvilke lineære differential- og integraloperatorer virker). For sådanne rum og operatorer taler man om operatorernes egenfunktioner .

Sættet af alle egenvektorer af en lineær operator svarende til en given egenværdi, suppleret med en nulvektor , kaldes et egenunderrum [4] af denne operator.

Søgningen efter optimale algoritmer til beregning af egenværdier for en given lineær operator er et af de vigtige problemer i beregningsmatematik .

Definitioner

En egenvektor for en lineær transformation , hvor er et lineært rum over et felt , er en vektor , der ikke er nul , således at for nogle . $A\kolon L\til L$ $L$ $K$ $x\i L$ $\lambda \i K$ $\ax=\lambda x$

En egenværdi ( egenværdi ) af en lineær transformation er et tal , som der er en egenvektor for, det vil sige, at ligningen har en løsning, der ikke er nul . $EN$ $\lambda \i K$ $ax=\lambda x$ $x\i L$

Enkelt sagt er en egenvektor en hvilken som helst vektor, der ikke er nul, og som er afbildet til en vektor kolineært til den af operatoren , og den tilsvarende skalar kaldes operatorens egenværdi . $x$ $\lambda x$ $EN$ $\lambda$

Eget underrum (eller karakteristisk underrum ) af en lineær transformation for en given egenværdi (eller svarende til dette tal) er mængden af alle egenvektorer , der svarer til en given egenværdi, suppleret med en nulvektor. Lad os betegne det korrekte underrum svarende til egenværdien ved , og identitetsoperatoren med . Per definition er et korrekt underrum kernen af en operator , det vil sige det sæt af vektorer, der er afbildet af denne operator til en nulvektor: $EN$ $\lambda \i K$ $x\i L$ $\lambda$ $E_{\lambda }$ $jeg$ $A-\lambda \cdot I,$

E_{\lambda }=\ker(A-\lambda \cdot I)

Rodvektoren for en lineær transformation for en given egenværdi er en vektor, der ikke er nul, således at for et naturligt tal : $EN$ $\lambda \i K$ $x\i L$ $m$

(A-\lambda \cdot I)^{m}x=0

Hvis er det mindste af sådanne naturlige tal (dvs. ), så kaldes det højden af rodvektoren . $m$ $(A-\lambda \cdot I)^{m-1}x\neq 0$ $m$ $x$

Roddelrummet for en lineær transformation for en given egenværdi er mængden af alle rodvektorer svarende til den givne egenværdi, hvis dette sæt er suppleret med en nulvektor. Lad os betegne rodunderrummet svarende til egenværdien λ med . Per definition: $EN$ $\lambda \i K$ $x\i L$ $V_{\lambda }$

V_{\lambda }=\bigcup _{m=1}^{\infty }\ker(A-\lambda \cdot I)^{m}=\bigcup _{m=1}^{\infty }V_{m,\lambda }

Historie

Egenværdier introduceres normalt i sammenhæng med lineær algebra, men historisk set opstod de i studiet af andengradsformer og differentialligninger .

I det XVIII århundrede opdagede Euler , der studerede rotationsbevægelsen af et absolut stift legeme , betydningen af hovedakserne, og Lagrange viste, at hovedakserne svarer til inertimatricens egenvektorer . I begyndelsen af det 19. århundrede brugte Cauchy Eulers og Lagranges arbejde til at klassificere andenordens overflader og generalisere resultaterne til højere ordener. Cauchy opfandt også udtrykket "karakteristisk rod" ( fransk: racine caractéristique ) for egenværdi. Dette udtryk er blevet bevaret i sammenhæng med det karakteristiske polynomium i en matrix [5] [6] .

I begyndelsen af det 20. århundrede var Hilbert engageret i studiet af egenværdier af integraloperatorer, idet han betragtede sidstnævnte som matricer af uendelig størrelse [7] . I 1904 begyndte Hilbert at bruge begreberne egenværdier og egenvektorer til at henvise til egenværdier og egenvektorer , baseret på det tyske ord eigen ( egen ) [8] . Efterfølgende blev disse termer også overført til det engelske sprog og erstattede de tidligere brugte "korrekt værdi" og "korrekt vektor" [9] .

Egenskaber

Generel sag

Et underrum kaldes et invariant underrum af en lineær transformation ( -invariant underrum ), hvis: $V\undersæt L$ $EN$ $EN$

AV\subseteq V

Egenunderrum , rodunderrum og underrum af en lineær operator er -invariante. $E_{\lambda }$ $V_{\lambda }$ $V_{m,\lambda }$ $EN$ $EN$

Egenvektorer er rod (højder 1): ; $E_{\lambda }\subseteq V_{\lambda }$

Rodvektorer er muligvis ikke egenvektorer: for eksempel at transformere et todimensionelt rum givet af en matrix:

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

(AE)^{2}=0

, og alle vektorer er rod, svarende til en egenværdi , men har en enkelt egenvektor (op til multiplikation med et tal).

en

EN

For forskellige egenværdier har rod (og derfor egenværdier) underrum et trivielt (nul) skæringspunkt:

V_{\lambda }\bigcap V_{\mu }=\{0\}

hvis .

\lambda \neq \mu

Metoden til at finde egenværdier for selvtilgrænsende operatorer og finde ental værdier for en normal operator er givet af Courant-Fisher-sætningen .

Finitdimensionelle lineære rum

Ved at vælge en basis i det dimensionelle lineære rum kan man associere en kvadratisk matrix med en lineær transformation og bestemme det karakteristiske polynomium for matricen for den : $n$ $L$ $A\kolon L\til L$ $n\ gange n$

{\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda \cdot I)=\sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\lambda ^{k))

Det karakteristiske polynomium afhænger ikke af grundlaget i . Dens koefficienter er operatorinvarianter . Især, afhænger ikke af valget af grundlaget. $L$ $EN$ $a_{0}=\det \,A$ $a_{n-1}=\operatørnavn {tr} \,A$

Egenværdierne, og kun dem, er rødderne til matrixens karakteristiske polynomium. Antallet af distinkte egenværdier kan ikke overstige størrelsen af matrixen. Hvis vi vælger operatørens egenvektorer som basisvektorer, vil matrixen i en sådan basis blive diagonal , og operatørens egenværdier vil være på diagonalen. Bemærk dog, at ikke hver matrix tillader et grundlag af egenvektorer (den generelle struktur er beskrevet af den normale Jordan-form ). For en positiv-definitiv symmetrisk matrix er proceduren til at finde egenværdier og egenvektorer intet andet end at finde retningerne og længderne af halvakserne af den tilsvarende ellipse . $EN$ $EN$

Hvis talfeltet er algebraisk lukket (er f.eks. feltet med komplekse tal ), så dekomponeres det karakteristiske polynomium til et produkt af lineære faktorer: $n$

P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})

hvor er egenværdier; nogle af dem kan være lige. Egenværdiens multiplicitet er antallet af faktorer, der er ens i udvidelsen af det karakteristiske polynomium til lineære faktorer (også kaldet egenværdiens algebraiske multiplicitet ). $\lambda _{i}\;(i=1,\ldots ,n)$ $\lambda _{i}$ $\lambda _{i}$ $\lambda -\lambda _{i},$

Dimensionen af rodrummet er lig med multipliciteten af egenværdien. $V_{\lambda _{i}}$

Et vektorrum nedbrydes til en direkte sum af rodunderrum (ved Jordan - formsætningen ): $L$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}V_{\lambda _{i}}

hvor summeringen er over alle egenværdier .

\lambda _{i}

EN

Den geometriske multiplicitet af en egenværdi er dimensionen af det tilsvarende egenunderrum ; den geometriske multiplicitet af en egenværdi overstiger ikke dens multiplicitet, da $\lambda _{i}$ $E_{\lambda _{i}}$ $E_{\lambda _{i}}\subseteq V_{\lambda _{i}}$

Normale operatorer og deres underklasser

Alle rodvektorer af en normaloperator er egenvektorer. Egenvektorerne for den normale operator svarende til forskellige egenværdier er ortogonale, det vil sige hvis , og , så (dette er ikke sandt for en vilkårlig operator). $EN$ $ax=\lambda x$ $Ay=\mu y$ $\lambda \neq \mu$ $(x,y)=0$

Alle egenværdier for en selvadjoint operator er reelle, dem for en anti-Hermitian operator er imaginære, og alle egenværdier for en enhedsoperator ligger på enhedscirklen . $|\lambda |=1$

I det endelig-dimensionelle tilfælde er summen af dimensionerne af den normale operators egenunderrum svarende til alle egenværdier lig med dimensionen af matricen, og vektorrummet nedbrydes til en ortogonal sum af egenunderrum: ${\displaystyle A\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n))$

L=\bigoplus _{\lambda _{i}}E_{\lambda _{i}}

hvor summeringen er over alle egenværdier og er indbyrdes ortogonale for forskellige . Denne egenskab for en normal operator over i det finit-dimensionelle tilfælde er karakteristisk: operatoren er normal, hvis og kun hvis dens matrix har en diagonal form på en ortonormal basis . $\lambda _{i}$ $EN$ $E_{\lambda _{i}}$ $\lambda _{i}$ $\mathbb {C}$

Positive matricer

En kvadratisk reel matrix kaldes positiv, hvis alle dens elementer er positive: . $n\ gange n$ $A=(a_{{ij}})$ $a_{ij}>0$

Perrons sætning (et specialtilfælde af Perron-Frobenius-sætningen ): En positiv kvadratisk matrix har en positiv egenværdi , der har algebraisk multiplicitet 1 og strengt taget overstiger den absolutte værdi af enhver anden egenværdi af denne matrix. En egenværdi svarer til en egenvektor , hvis alle koordinater er strengt taget positive. En vektor er den eneste egenvektor (op til multiplikation med et tal), der har ikke-negative koordinater. $EN$ $r$ $r$ $e_{r}$ $e_{r}$ $EN$

Egenvektoren kan beregnes gennem direkte iterationer : en vilkårlig startvektor med positive koordinater vælges, det efterfølgende element er givet af den rekursive formel: $e_{r}$ $v_{0}$

v_{k+1}={\frac {Av_{k}}{\|Av_{k}\|}}

der opnås en sekvens, der konvergerer til en normaliseret egenvektor . $v_{{k}}$ $e_{r}/\|e_{r}\|$

Et andet anvendelsesområde for den direkte iterationsmetode er søgningen efter egenvektorer af positive-definite symmetriske operatorer.

Egenværdiuligheder

Schurs ulighed : for matrix egenværdier : ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n))$ $A=(a_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}$

\sum _{i=1}^{n}|\lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|a_{ij}|^ {2}=\|A\|_{F}^{2}

desuden opnås lighed, hvis og kun hvis er en normal matrix [10] . $EN$

For egenværdierne af matricen , hvor matricerne er hermitiske , har vi: $\lambda _{1},...,\lambda _{n}$ $A=B+iC$ $B,C$

\sum _{i=1}^{n}|\Re \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|b_{ij} |^{2}

og [11] .

\sum _{i=1}^{n}|\Im \lambda _{i}|^{2}\leqslant \sum _{i,j=1}^{n}|c_{ij} |^{2}

For hermitiske matricer og deres egenværdier, ordnet i stigende rækkefølge: giv: ved og ved [11] . $A,B$ $C=A+B$ $\alpha _{1}\leqslant ...\leqslant \alpha _{n},\beta _{1}\leqslant ...\leqslant \beta _{n},\gamma _{1}\leqslant .. .\leqslant \gamma _{n}$ $\gamma _{i}\geqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+1}$ $i\geqslant j$ $\gamma _{i}\leqslant \alpha _{i}+\beta _{i-j+n}$ $i\leqslant j$

Noter

↑ Herstein (1964 , s. 228.229)
↑ Nering (1970 , s. 38)
↑ Synonyme termer bruges nogle gange: karakteristisk vektor og karakteristisk nummer for operatøren.
↑ Må ikke forveksles med et egentligt underrum af et lineært vektorrum - et hvilket som helst andet underrum end de trivielle underrum , det vil sige fra selve dette rum og fra nulrummet.
↑ Kline, 1972 , s. 807-808.
↑ Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations linéaires" (Memoir om integration af lineære ligninger), Comptes rendus , 8 : 827-830, 845-865, 889-907, 931-97. s. 827: Arkiveret 7. juni 2019 på Wayback Machine "On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale les racines d'une suree equation que j'appellerai l' équation caractéristique , le degré de cette équation étant précisément l'order de l'équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer."
↑ Kline, 1972 , s. 1063.
↑ David Hilbert (1904). Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. (Erste Mitteilung)" Arkiveret 5. november 2018 på Wayback Machine , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse , pp. 49-91.
↑ Aldrich, John (2006), "Eigenværdi, egenfunktion, egenvektor og relaterede termer", i Jeff Miller (red.), Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Arkiveret 23. december 2017 på Wayback Machine
↑ Problemer og sætninger af lineær algebra, 1996 , s. 206.
↑ 1 2 Problemer og sætninger af lineær algebra, 1996 , s. 207.

Litteratur

Gantmakher F. R. . Matrix teori. —M.: Nauka, 1966. — 576 s. — ISBNISBN 5-9221-0524-8.
Wilkinson D. H. Algebraisk egenværdiproblem. — M .: Nauka, 1970. — 564 s. — ISBN 978-5-458-25464-9 .
Gelfand I. M. . Forelæsninger om lineær algebra. -M.: Dobrosvet, KDU, 2009. - 320 s. -1000 eksemplarer. -ISBN 978-5-98227-625-4.
Faddeev D.K. Forelæsninger om algebra. -M.: YOYO Media, 2012. - 416 s. -ISBN 978-5-458-25543-1.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineær algebra og geometri. -M.: Fizmatlit, 2009. - 512 s. -ISBN 978-5-9221-1139-3.
Prasolov VV Problemer og sætninger af lineær algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .
Ikramov Kh. D. Asymmetrisk egenværdiproblem. — M .: Nauka, 1991. — 240 s. — ISBN 5-02-014462-2 .
Herstein, IN (1964), Topics In Algebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
Horn, Roger A. & Johnson, Charles F. (1985), Matrixanalyse , Cambridge University Press, ISBN 0-521-30586-1
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2. udgave), New York: Wiley
Kline, Morris (1972), Matematisk tankegang fra oldtiden til moderne tid , Oxford University Press, ISBN 0-19-501496-0

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet