QR-nedbrydning

$QR$ -nedbrydning af en matrix - en repræsentation af en matrix som et produkt af en enheds (eller ortogonal matrix ) og en øvre trekantet matrix . QR-nedbrydning er grundlaget for en af metoderne til at finde egenvektorer og matrixtal — QR-algoritmen [1] .

Definition

Størrelsesmatrixen , hvor , med komplekse elementer kan repræsenteres som $EN$ $n \ gange m$ $n\geqslant m$

A=QR,

hvor er en matrix af størrelse med ortonormale søjler og er en øvre trekantet matrix af størrelse . For , matrixen er enhedsmæssig . Hvis derudover er ikke- degenereret , så er -nedbrydningen unik, og matrixen kan vælges således, at dens diagonale elementer er positive reelle tal. I et bestemt tilfælde, når matricen består af reelle tal , matricerne og kan også vælges til at være reelle, desuden er den ortogonal [ 2] . $Q$ $n \ gange m$ $R$ $m \ gange m$ $n=m$ $Q$ $EN$ $QR$ $R$ $EN$ $Q$ $R$ $Q$

I analogi, hvis er en matrix af størrelse , hvor , så kan den dekomponeres som $EN$ $n \ gange m$ $n\leqslant m$

A=LP,

hvor rækkefølgematricen er lavere trekantet og størrelsesmatrixen har ortonormale rækker [1] . $L$ $n$ $P$ $n \ gange m$

Algoritmer

$QR$ -nedbrydning kan opnås ved forskellige metoder. Det kan lettest beregnes som et biprodukt af Gram-Schmidt-processen [2] . I praksis bør den modificerede Gram-Schmidt-algoritme bruges , da den klassiske algoritme har dårlig numerisk stabilitet [3] .

Alternative algoritmer til beregning af -udvidelsen er baseret på Householder-refleksioner og Givens-rotationer [4] . $QR$

Et eksempel på en QR-nedbrydning

Overvej matrixen :

${\mathsf {\mathrm {A} }}=$ ${\begin{pmatrix}1&2&4\\3&3&2\\4&1&3\end{pmatrix}}$

Betegn med kolonnevektorerne i den givne matrix. Vi opnår følgende sæt vektorer: $a_{1},a_{2},a_{3}$ ${\mathsf {\mathrm {A} )).$

$a_{1}={\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix)),$ $a_{2}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix)),$ $a_{3}={\begin{pmatrix}4\\2\\3\end{pmatrix}}$

Dernæst anvender vi Gram-Schmidt ortogonaliseringsalgoritmen og normaliserer de resulterende vektorer, vi får følgende sæt:

$e_{1}={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}\\{ \frac {4{\sqrt {26}}}{26}}\end{pmatrix}},$ $e_{2}={\begin{pmatrix}{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}\\{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}} \\-{\frac {34{\sqrt {3614}}}{3614}}\end{pmatrix}},$ $e_{3}={\begin{pmatrix}{\frac {9{\sqrt {139}}}{139}}\\-{\frac {7{\sqrt {139}}}{139} }\\{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}$

Fra de opnåede vektorer komponerer vi matrixen Q ved kolonner fra nedbrydningen: $e_{1},e_{2},e_{3}$

$Q={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {26}}{26}}&{\frac {37{\sqrt {3614}}}{3614}}&{\frac {9{ \sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {3{\sqrt {26}}}{26}}&{\frac {33{\sqrt {3614}}}{3614}}&- {\frac {7{\sqrt {139}}}{139}}\\{\frac {4{\sqrt {26}}}{26}}&-{\frac {34{\sqrt {3614}} }{3614}}&{\frac {3{\sqrt {139}}}{139}}\end{pmatrix}}.$ Den resulterende matrix er ortogonal , hvilket betyder, at $Q^{-1}=Q^{T}.$

Lad os finde matrixen ud fra udtrykket : $R$ $R=Q^{-1}A=Q^{T}A$

$R={\begin{pmatrix}{\sqrt {26}}&3{\sqrt {\frac {2}{13}}}+{\frac {9}{\sqrt {26}}}&11{ \sqrt {\frac {2}{13}}}\\0&20{\sqrt {\frac {2}{1807}}}+{\frac {99}{\sqrt {3614}}}&56{\sqrt { \frac {2}{1807}}}\\0&0&{\frac {31}{\sqrt {139}}}\end{pmatrix}}$ er den ønskede øvre trekantede matrix .

Fik en split . $A = QR$

Noter

↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , s. 114.
↑ 1 2 Horn, Johnson, 1990 , s. 112.
↑ Horn og Johnson, 1990 , s. 116.
↑ Horn og Johnson, 1990 , s. 117.

Litteratur

Horn, R.A. , Johnson CR Matrixanalyse . - Cambridge University Press , 1990. - ISBN 0-521-30586-1 .

Vektorer og matricer

Vektorer

Basale koncepter	Vektor i geometri Basis Ortogonalt grundlag Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Lineær afhængighed Søjleplads
Slags vektorer	Enhedsvektor Aksial vektor isotrop vektor Normal Kolinearitet Nul vektor Radius vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalært produkt vektor produkt blandet produkt Pseudoskalært produkt Dobbelt kryds produkt
Rumtyper	vektor rum affint rum Euklidisk rum Pseudo-euklidisk rum Normeret rum Minkowski plads

matricer

Basale koncepter	Matrix multiplikation Transponeret matrix Hermitisk konjugeret matrix Symmetrisk matrix omvendt matrix Egenværdi Karakteristisk polynomium af en matrix
Særlige matricer	Identitetsmatrix Nul matrix Diagonal matrix lambda matrix
Matrix nedbrydninger	LU nedbrydning Kolesky nedbrydning QR-nedbrydning LUP nedbrydning singular værdi nedbrydning Spektral nedbrydning af en matrix

Andet