Alexandrovs sweep-sætning
Alexandrovs udfoldelsessætning er en teorem om eksistensen og unikheden af et lukket konveks polyeder med en given udfoldelse, bevist af Alexander Danilovich Aleksandrov . [1] Det unikke i denne sætning er en generalisering af Cauchys polyedre-sætning og har et lignende bevis.
Generaliseringen af denne teorem til vilkårlige metrikker på sfæren spillede en nøglerolle i dannelsen og udviklingen af Alexander geometri . Et andet bevis, baseret på deformationen af et tredimensionelt polyhedralt rum , blev foreslået af Yu. A. Volkov i sin 1955 ph.d.-afhandling. [2]
Ordlyd
En polyedrisk metrik på en kugle er isometrisk med overfladen af en konveks polyhedron, hvis og kun hvis summen af vinklerne ved nogen af dens toppunkter ikke overstiger . Desuden er et polyeder defineret af en metrik på dens overflade op til kongruens.
Det antages, at polyederet degenererer til en flad polygon, i dette tilfælde er polyederens overflade defineret som en fordobling af polygonen i dens grænse, det vil sige to kopier af polygonen limet sammen på de tilsvarende punkter af grænsen.
Noter
- I den oprindelige formulering bruger Alexandrov konceptet om en udvikling af et polyeder på et plan, det vil sige et sæt flade polygoner og reglerne for limning af disse polygoner til en polyhedral metrisk. En af sådanne udviklinger kan opnås fra sættet af alle flader af et polyeder med en naturlig limregel. Men generelt kan flade mønsterpolygoner overlappe med flere flader; se billede.
Variationer og generaliseringer
- (Aleksandrovs sætning) En iboende metrik på en kugle er isometrisk til overfladen af en konveks krop, hvis og kun hvis den har ikke-negativ krumning i Alexandrov-forstand . Det antages, at kroppen degenererer til en flad figur, i dette tilfælde er figurens overflade defineret som dens fordobling.
- (Pogorelovs sætning) Desuden er en konveks krop unikt defineret op til kongruens.
- (Olovyanishnikovs sætning) En komplet metrik på planet er kun isometrisk i forhold til overfladen af en konveks mængde , hvis den har ikke-negativ krumning i betydningen af Aleksandrov. Desuden kan keglen ved uendelig indstilles vilkårligt, forudsat at dens grænse er isometrisk med keglen ved uendelig .
Se også
Noter
- ↑ A. D. Alexandrov , konvekse polyedre . M.; L.: GITTL, 1950.
- ↑ Yu. A. Volkov. Eksistensen af et polyeder med en given udvikling // Zap. videnskabelig familie POMI. - 2018. - T. 476 . - S. 50-78 .
Litteratur
- N. Lebedeva og A. Petrunin. Aleksandrovs teorem om indlejring af polytoper .