Partiel differentialligning

En partiel differentialligning (specielle tilfælde er også kendt som ligninger af matematisk fysik , UMF ) er en differentialligning, der indeholder ukendte funktioner af flere variable og deres partielle afledninger .

Introduktion

Overvej en relativt simpel partiel differentialligning:

{\frac {\partial }{\partial y}}u(x,y)=0\,.

Det følger af denne relation , at værdien af funktionen ikke afhænger af . Vi kan sætte det lig med en vilkårlig funktion af . Derfor er den generelle løsning til ligningen følgende: $u(x,y)$ $y$ $x$

u(x,y)=f(x),

hvor er en vilkårlig funktion af variablen . En lignende almindelig differentialligning har formen: $f(x)$ $x$

{\frac {dv(x)}{dx}}=0

og hans beslutning

v(x)=c,

hvor c er en vilkårlig konstant (uafhængig af ). Disse to eksempler viser, at den generelle løsning til en almindelig differentialligning indeholder arbitrære konstanter, men den generelle løsning til en partiel differentialligning indeholder vilkårlige funktioner. Løsningen af en partiel differentialligning er generelt set ikke unik. I det generelle tilfælde er yderligere betingelser specificeret på grænsen af den pågældende region. For eksempel er løsningen af ovenstående ligning (funktion ) entydigt defineret, hvis den er defineret på linjen . $x$ $f(x)$ $u$ $y=0$

Historie

Historikere opdagede den første partielle differentialligning i Eulers artikler om teorien om overflader, der dateres tilbage til 1734-1735 (udgivet i 1740). I moderne notation så det sådan ud:

{\frac {\partial z}{\partial x}}=f(x,y)

Begyndende i 1743 sluttede d'Alembert sig til Eulers arbejde og opdagede en generel løsning på bølgeligningen for en strengs vibrationer. I de efterfølgende år udgav Euler og d'Alembert en række metoder og teknikker til at undersøge og løse visse partielle differentialligninger. Disse værker har endnu ikke skabt nogen fuldstændig teori.

Andet trin i udviklingen af dette tema kan dateres til 1770-1830. De dybtgående studier af Lagrange , Cauchy og Jacobi hører til denne periode . De første systematiske undersøgelser af partielle differentialligninger begyndte at blive udført af Fourier . Han anvendte en ny metode til løsningen af strengligningen - metoden til adskillelse af variabler , som senere fik hans navn.

En ny generel tilgang til emnet, baseret på teorien om kontinuerlige transformationsgrupper , blev foreslået i 1870'erne af Sophus Lie .

I slutningen af det 19. århundrede blev begrebet en partiel differentialligning generaliseret til tilfældet med et uendeligt sæt af ukendte variable ( partiel funktionel differentialligning ).

Problemer med at bevise eksistensen og finde løsninger på systemer af ikke-lineære partielle differentialligninger løses ved hjælp af teorien om glatte manifolds , differentialgeometri , kommutativ og homologisk algebra [1] . Disse metoder bruges i fysik i studiet af lagrangiansk og hamiltonsk formalisme, studiet af højere symmetrier og bevarelseslove [1] .

Klassifikation

Dimension

Ligesom antallet af uafhængige variable . Skal være mindst 2 (ved 1 opnås en almindelig differentialligning ).

Linearitet

Der er lineære og ikke-lineære ligninger. En lineær ligning kan repræsenteres som en lineær kombination af afledte af ukendte funktioner. Koefficienterne i dette tilfælde kan enten være konstante eller kendte funktioner.

Lineære ligninger er blevet grundigt undersøgt, og millioner af priser er blevet uddelt for at løse visse typer ikke-lineære ligninger ( millennium-problemer ).

Homogenitet

En ligning er ikke-homogen, hvis der er et led, der ikke afhænger af ukendte funktioner.

Bestil

Rækkefølgen af ligningen bestemmes af den maksimale rækkefølge af den afledte. Ordrer i alle variabler betyder noget.

Klassifikation af andenordens lineære ligninger

Andenordens lineære ligninger i partielle afledte er opdelt i parabolske , elliptiske og hyperbolske .

To uafhængige variabler

En andenordens lineær ligning indeholdende to uafhængige variable har formen:

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))+C{\ frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,

hvor er koefficienterne afhængig af variablerne og , og ellipsen betyder vilkårene afhængig af og førsteordens partielle afledte: og . Denne ligning ligner ligningen med keglesnit : $A,\;B,\;C$ $x$ $y$ $x,\;y,\;u$ ${\partial u}/{\partial x}$ ${\partial u}/{\partial y}$

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.

Ligesom keglesnit er opdelt i ellipser , parabler og hyperbler , afhængigt af fortegnet for diskriminanten , klassificeres andenordens ligninger på et givet punkt: $D=B^{2}-AC$

$D=B^{2}-AC\,>0$ - Hyperbolsk ligning ,
$D=B^{2}-AC\,<0$ - Elliptisk ligning ,
$D=B^{2}-AC\,=0$ — Parabolligning (her antages det, at koefficienterne på et givet punkt ikke forsvinder samtidig). $A,\;B,\;C$

I det tilfælde, hvor alle koefficienter er konstanter, har ligningen den samme type på alle punkter i variableplanet og . Hvis koefficienterne kontinuerligt afhænger af og , danner det sæt af punkter, hvor den givne ligning er af hyperbolsk (elliptisk) type, et åbent område på planet, kaldet hyperbolsk (elliptisk), og det sæt af punkter, hvor ligningen er af parabolsk type er lukket. En ligning kaldes blandet ( af blandet type ), hvis den er hyperbolsk på nogle punkter i planet og elliptisk på nogle punkter. I dette tilfælde har de parabolske punkter en tendens til at danne en linje kaldet typeændringslinjen eller degenerationslinjen . $A,\;B,\;C$ $x$ $y$ $A,\;B,\;C$ $x$ $y$

Mere end to uafhængige variabler

I det generelle tilfælde, når andenordensligningen afhænger af mange uafhængige variable:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1},\cdots ,x_{n }){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j))}+F\venstre(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{ \frac {\partial u}{\partial x_{1))},\cdots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n))}\right)=0,

det kan klassificeres [2] på et givet punkt i analogi med den tilsvarende kvadratiske form : $M_{0}(x_{1}^{0},\cdots,x_{n}^{0})$

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.

Ikke-degenereret lineær transformation

s_{i}=\sum _{{j=1}}^{{n}}A_{{ij}}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{{ ij}}\right\|\neq 0

den kvadratiske form kan altid reduceres til den kanoniske form:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\lambda _{i}s_{i}^{2}.

Desuden, ifølge inertisætningen, er antallet af positive, negative og nul koefficienter i den kanoniske form af en kvadratisk form en invariant og afhænger ikke af en lineær transformation. Baseret på dette foretages klassificeringen (på punktet ) af den betragtede ligning: $\lambda_i$ $M_{0}$

Hvis den andengradsform i kanonisk form på et punkt har alle koefficienterne af det samme tegn, så kaldes ligningen på dette tidspunkt en ligning af elliptisk type . $M_{0}$
Hvis den kvadratiske form i den kanoniske form har koefficienter med forskellige tegn, men de er alle forskellige fra , så kaldes ligningen på dette tidspunkt en ligning af hyperbolsk type . $M_{0}$ $0$
Hvis en andengradsform i kanonisk form har mindst én koefficient lig med et punkt, så kaldes ligningen på dette punkt parabolsk type ligning . $M_{0}$ $0$

I tilfælde af mange uafhængige variabler kan der udføres en mere detaljeret klassificering (hvor behovet ikke opstår i tilfælde af to uafhængige variabler):

Den hyperbolske type kan yderligere klassificeres i:
1. Normal hyperbolsk type, hvis en koefficient har et fortegn og resten et andet.
2. Ultrahyperbolisk type , hvis koefficienterne for både det ene tegn og det andet er mere end én.
Den parabolske type kan yderligere klassificeres i:
1. Elliptisk-parabolsk type , hvis kun én koefficient er nul, og resten er af samme fortegn.
2. Hyperbolsk-parabolsk type , hvis kun én koefficient er nul, og resten har forskellige fortegn. På samme måde som den hyperbolske type kan den opdeles i:
  1. Normal hyperbolsk-parabolsk type
  2. Ultrahyperbolsk-parabolsk type
3. Ultraparabolsk type, hvis mere end én koefficient er nul. Her er yderligere klassificering også mulig afhængigt af fortegnene for ikke-nul koefficienter.

Eksistens og unikhed af en løsning

Selvom svaret på spørgsmålet om eksistensen og unikheden af en løsning til en almindelig differentialligning har et fuldstændigt udtømmende svar ( Picard-Lindelöf-sætningen ), er der ikke noget entydigt svar på dette spørgsmål for en partiel differentialligning. Der er en generel sætning ( Cauchy-Kovalevskaya-sætningen ), som siger, at Cauchy-problemet for enhver partiel differentialligning, der er analytisk med hensyn til ukendte funktioner og deres afledte, har en unik analytisk løsning [3] . Der er dog eksempler på lineære partielle differentialligninger, hvis koefficienter har afledte af alle ordener og ikke har nogen løsning ( Levy [ 1957 ). Selvom løsningen eksisterer og er unik, kan den have uønskede egenskaber.

Overvej rækkefølgen af Cauchy-problemer (afhængigt af ) for Laplace-ligningen : $n$

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,

med startbetingelser :

u(x,0)=0,

{\frac {\partial u}{\partial y))(x,0)={\frac {\sin nx}{n)),

hvor er et heltal. Den afledede af funktionen med hensyn til variablen har ensartet tendens til med stigende , men løsningen til ligningen er $n$ $u$ $y$ $0$ $x$ $n$

u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2))}.

Løsningen har en tendens til uendelig, hvis ikke et multiplum af en værdi, der ikke er nul . Cauchy-problemet for Laplace-ligningen kaldes dårligt stillet eller forkert , da der ikke er nogen kontinuerlig afhængighed af løsningen af de oprindelige data. $nx$ $\pi$ $y$

For systemer med ikke-lineære partielle differentialligninger udføres beviser for eksistensen af løsninger og søgningen efter manifolds af alle løsninger ved hjælp af teorien om glatte manifolds , differentialgeometri , kommutativ og homologisk algebra [1] . Disse metoder bruges i fysik i studiet af lagrangiansk og hamiltonsk formalisme, studiet af højere symmetrier og bevarelseslove [1] .

Eksempler

Endimensionel varmeligning

Ligningen, der beskriver udbredelsen af varme i en homogen stang, er af paraboltypen og har formen

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))=\alpha ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))))

hvor er temperaturen, og er en positiv konstant, der beskriver hastigheden af varmeudbredelse. Cauchy-problemet er stillet som følger: $u(t,x)$ $\alfa$

$u(0,x)\,=f(x)$ ,

hvor er en vilkårlig funktion. $f(x)$

String vibrationsligning

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Ligningen er af den hyperbolske type. Her er forskydningen af strengen fra ligevægtspositionen, eller overskydende lufttryk i røret, eller størrelsen af det elektromagnetiske felt i røret, og er hastigheden af bølgeudbredelsen. For at formulere Cauchy-problemet i det indledende tidspunkt, bør man specificere forskydningen og hastigheden af strengen i det indledende tidspunkt: $u(t,x)$ $c$

u(0,x)=f(x),

{\dfrac {\partial u}{\partial t))(0,x)=g(x),

Todimensionel Laplace-ligning

Laplace-ligningen for en ukendt funktion af to variable har formen:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0$

Elliptisk type ligning. Dens løsninger kaldes harmoniske funktioner .

Forholdet til analytiske funktioner

De reelle og imaginære dele af enhver holomorf funktion af en kompleks variabel er konjugerede harmoniske funktioner: de opfylder begge Laplace-ligningen, og deres gradienter er ortogonale. Hvis , så angiver Cauchy-Riemann-betingelserne følgende: $f$ $z=x+iy$ $f=u+iv$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y)),\quad {\frac {\partial v}{\partial x))= -{\frac {\partial u}{\partial y)),

Tilføjes og trækkes ligningerne fra hinanden, får vi:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}=0 ,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2))}=0 .

Det kan også vises, at enhver harmonisk funktion er den reelle del af en analytisk funktion.

Grænseproblemer

Grænseproblemer er sat som følger: find en funktion , der opfylder Laplace-ligningen på alle interne punkter i regionen , og på grænsen af regionen - en bestemt betingelse. Afhængigt af tilstandstypen skelnes der mellem følgende grænseværdiproblemer: $u$ $S$ $\delvis S$

$u|_{{\partial S}}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ - Dirichlet problem
${\frac {\partial u}{\partial n)){\big |}_({\partial S))=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ — Neumann-problemet

Løsning af ligningerne for matematisk fysik

Der er to typer metoder til at løse denne type ligninger:

analytisk, hvor resultatet er udledt af forskellige matematiske transformationer;
numerisk, hvor det opnåede resultat svarer til det rigtige med en given nøjagtighed, men som kræver mange rutineberegninger og derfor kun kan udføres ved hjælp af computerteknologi (computer).

Analytisk løsning

Analytiske løsninger til matematisk fysiks ligninger kan opnås på forskellige måder. For eksempel:

Brug af Greens funktion ;
Brug af Fourier variabel separationsmetoden;
Ved hjælp af potentialteori ;
Ved hjælp af Kirchhoff-formlen .

Disse metoder er udviklet til forskellige typer ligninger og giver i nogle simple tilfælde mulighed for at opnå en løsning i form af en formel eller en konvergent serie, for eksempel for strengvibrationsligningen :

\Delta u=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}

u(x,t){\big |}_{{x=0}}=u(x,t){\big |}_{{x=L}}=0

u(x,t){\big |}_{{t=0}}=f(x),\ {\dfrac {\partial u}{\partial t}}(x,t){\big |} _{{t=0}}=g(x)

den analytiske løsning ved hjælp af Fourier-metoden har formen:

u(x,t)\,=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}\left[A_{n}\cos \left({\dfrac {a\pi n}{ L}}t\right)+B_{n}\sin \left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]\sin \left({\dfrac {\pi nx} {L}}\right)

A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{{0}}^{{L}}f(x)\sin \left({\dfrac {\pi nx}{L }}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{{0}}^{{L}}g(x)\sin \ venstre({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx

Numerisk løsning

Da det ikke altid er muligt at finde en analytisk løsning af selv en simpel ligning i et komplekst domæne, er der udviklet mange metoder til løsning af ligninger i matematisk fysik. Nogle af dem er baseret på tilnærmelse af differentialoperatoren ved nogle udtryk, andre reducerer problemet til en projektion eller variation og løser det, nogle af de ofte anvendte numeriske metoder er:

Hver af metoderne har sine egne karakteristika og sine egne klasser af opgaver, der skal løses. For eksempel kan en endelig differensløsning til oscillationsligningen opnås ved hjælp af følgende differensskema :

u_{i}^{{j+1}}={{\tau ^{2}a^{2} \over h^{2}}}\left(u_{{i+1}}^{j} -2u_{i}^{j}+u_{{i-1}}^{j}\right)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{{j-1}}

hvor er tidstrinnet og er rumtrinnet. $\tau$ $h$

Svage løsninger

Hvis en partiel differentialligning er repræsenteret i formen _ _ . _ _ $Lu=f$ $L$ $f$ $u(x)$ $\varphi$ $\int uL^{*}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx$ $L^{*}$

Viskositetsopløsning

Se også

Noter

↑ 1 2 3 4 Pommare, 1983 , s. 5.
↑ Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Kapitel II. Klassifikation af differentialligninger i partielle afledte af anden orden. // Forelæsninger om matematisk fysik. — 2. udg., rettet. og yderligere - M . : Forlag ved Moscow State University; Science, 2004. - S. 49. - 416 s. — ISBN 5-211-04899-7 .
↑ A.M. Nakhushev. Cauchy-Kovalevskaya-sætning (engelsk) (html). Springer Online (2001). — Cauchy-Kovalevskaya-sætningen. Dato for adgang: 9. januar 2010. Arkiveret fra originalen 12. februar 2012.
↑ L. Behrs, F. John, M. Schechter. Partielle differentialligninger . - M . : Mir, 1966. - S. 146.

Litteratur

Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Matematisk fysiks ligninger. - 7. udg. - M . : Forlag ved Moscow State University; Nauka, 2004. - 798 s. — ISBN 5-211-04843-1 .
Mizohata S. Teori om partielle differentialligninger. — M .: Mir, 1977. — 504 s.
Demidov S. S. Fremkomsten af teorien om differentialligninger med partielle derivater // Historisk og matematisk forskning . - M . : Nauka , 1975. - Nr. 20 . - S. 204-220 .
Pommare J. Systemer af partielle differentialligninger og Lie-pseudogrupper. — M .: Mir, 1983. — 400 s.
Trev J. Forelæsninger om lineære partielle differentialligninger med konstante koefficienter. - M . : Mir, 1965. - 296 s.
Matematisk fysik af ligninger / V. S. Vladimirov // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Links

Ordbøger og encyklopædier

I bibliografiske kataloger
BNF : 11931364s GND : 4044779-0 J9U : 987007552909105171 LCCN : sh85037912 LNB : 000087182 NDL : 00563088 NKC : ph123970

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner