Gruppeanalyse af differentialligninger

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Gruppeanalyse af differentialligninger er en gren af matematikken, der studerer differentialligningers symmetriegenskaber med hensyn til forskellige transformationer af afhængige og uafhængige variable. Det omfatter metoder og anvendte aspekter af differentialgeometri , teorien om Lie- grupper og algebraer , variationsregning og er til gengæld et effektivt forskningsværktøj i teorien om ODE'er , PDE'er og matematisk fysik .

Motivation

Hvis en differentialligning forvandler sig til sig selv efter en ændring af variabler (op til identiske transformationer), så transformerer denne ændring enhver løsning af ligningen tilbage til en løsning, generelt set, der ikke falder sammen med den oprindelige. Alle sådanne udskiftninger danner en gruppe, der kaldes differentialligningens symmetrigruppe , eller den gruppe, der indrømmes af differentialligningen. Kendskab til symmetrigruppen og nogle bestemte løsninger gør det således muligt at konstruere familier af løsninger opnået fra de oprindelige ved at anvende alle transformationer af gruppen. Derudover, hvis en løsning af ligningen er invariant med hensyn til gruppen (eller nogle af dens undergrupper ), pålægger dette faktum visse betingelser for dens form, hvilket giver os mulighed for at forvente en forenkling af den oprindelige ligning, når den er begrænset til sådanne invariante løsninger (især et fald i antallet af uafhængige variabler). Disse overvejelser fører til problemet med generelle metoder til at finde den tilladte gruppe af en given differentialligning. På den anden side, ifølge en given gruppe af transformationer, kan der i princippet konstrueres et sæt differentialligninger, der tillader det som deres symmetrigruppe, hvilket er særligt vigtigt for de grundlæggende sektioner af teoretisk fysik .

De veludviklede metoder til gruppeteori og differentialgeometri gør det muligt at give ovenstående overvejelser stringente formuleringer og konstruktivt løse en række relaterede problemer, og også betydeligt udvide arsenalet af værktøjer til at studere den kvalitative adfærd af løsninger af differentialligninger, numerisk integration mv.

Definitioner

Lad og betegne sæt af henholdsvis uafhængige og afhængige variabler af et eller andet system af differentialligninger af orden ${\displaystyle x=(x^{1},x^{2},...x^{n})\i X=R^{n))$ ${\displaystyle u=(u^{1},u^{2},...,u^{m})\i U=R^{m))$ $s$

F(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {s}{u}})=0,\qquad F=(F^{1},F ^{2},...,F^{m}),

(en)

a er mængden af alle mulige afledte orden . Ligningssystemet ( 1 ) definerer en delmanifold i rummet . ${\underset {k}{u}}\i {\underset {k}{U}}$ $k$ ${\underset {s}{Z}}=X\ gange U\ gange {\underset {1}{U}}\ gange ...\ gange {\underset {s}{U}}$ $M$

Lad Lie-gruppen handle i rummet af uafhængige og afhængige variable ved transformationer $G$ ${\underset {0}{Z}}\equiv Z=X\ gange U$

x'=\phi (x,u,g),\quad u'=\psi (x,u,g),\quad g\in G.

(2)

Ved at genberegne de afledte til de transformerede variable, udvides transformationerne ( 2 ) unikt til hele rummet : ${\underset {s}{Z))$

{u'}_{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }\equiv {\frac {\partial u'^{\alpha }}{\partial x'^{a_ {1}}...\partial x'^{a_{k}}}}=\psi _{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {k}{u}},g),\quad k=1,...,s.

En gruppe kaldes systemets symmetrigruppe ( 1 ), hvis manifolden er en invariant manifold af th fortsættelse af handlingen ( 2 ), det vil sige handlingen ( 2 ) udvidet til afledte til og med rækkefølgen. Handlingen af hver en-parameter undergruppe ( se eksponentiel mapping ) af gruppen i rummet genereres af et vektorfelt (her og nedenfor er Einsteins summeringsreglen underforstået ) $G$ $M$ $s$ $s$ ${\displaystyle e^{tA))$ $A\in {\mathcal {G}}=\mathrm {Lie} \,G$ $G$ $X\ gange U$

Y_{A}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\partial}{\partial x^{a))}+\eta ^{\alpha }(x,u){ \frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},\quad \xi ^{a}=\venstre.{\frac {d\phi ^{a}(x,u,e^{tA })}{dt))\right|_{t=0},\quad \eta ^{\alpha }=\venstre.{\frac {d\psi ^{\alpha }(x,u,e^{ tA})}{dt}}\right|_{t=0}.

(3)

Den tilsvarende generator af undergruppehandlingen udvides til rummet , $g(t)$ ${\underset {s}{Z))$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{A))}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{a))}+\ eta ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha ))}+\sum \limits _{|I|=1}^{s}\theta _{ I}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}}){\frac {\partial }{\partial u_{I}^{\alpha }}},\quad \theta _{I}^{\alpha }=\venstre.{\frac {d\psi _{I}^{\alpha }(x,u, {\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}},e^{tA})}{dt}}\right|_{t=0},

(fire)

hvor er multi-indekset , kaldes den th fortsættelse af generatoren . Analogt, ved formelt at tilføje til rækken ( 4 ) et ubegrænset antal led med afledte af højere ordener, introduceres begrebet uendelig fortsættelse . I dette tilfælde opstår spørgsmålet om denne series konvergens ikke, da man i praksis altid skal beskæftige sig med funktioner, der afhænger af afledte af en endelig orden. $jeg$ $s$ $Y_{A}$ ${\displaystyle {\underset {\infty \ \ \ }{Y_{A))))$

Vigtigste bestemmelser og resultater

Koefficienter for fortsatte generatorer

Den eksplicitte form af koefficienterne for den fortsatte generator findes ved at differentiere begrænsningerne

d{u'}^{\alpha }={u'}_{a}^{\alpha }d{x'}^{a},\quad d{u'}_{a}^{ \alpha }={u'}_{ab}^{\alpha }d{x'}^{b}

osv., overlejret på koordinaterne i rummet , ifølge transformationsparameteren ved . For at finde koefficienterne ved for eksempel overveje relationerne ${\underset {s}{Z))$ $t$ $t = 0$ $\partial /\partial u_{a}^{\alpha }$

d{u'}^{\alpha }=\left({\frac {\partial {u'}^{\alpha }}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial {u'}^{\alpha }}{\partial u^{\beta }}}u_{a}^{\beta}\right)dx^{a}={u'}_{a}^{\ alpha }d{x'}^{a}={u'}_{b}^{\alpha }\left({\frac {\partial {x'}^{b)){\partial x^{a ))}+{\frac {\partial {x'}^{b}}{\partial u^{\beta }}}u_{a}^{\beta}\right)dx^{a}.

At sidestille koefficienterne ved og differentiere dem med hensyn til at under hensyntagen til de udtryk ( 3-4 ) vi har ${\displaystyle dx^{a))$ $t$ $t = 0$

{\frac {\partial \eta ^{\alpha }}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial \eta ^{\alpha }}{\partial u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }=\theta _{a}^{\alpha }+u_{b}^{\alpha }\left({\frac {\partial \xi ^{b)) {\partial x^{a))}+{\frac {\partial \xi ^{b)){\partial u^{\beta ))}u_{a}^{\beta}\right),

hvor

\theta _{a}^{\alpha }=D_{a}\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b},

hvor notationen

D_{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a))}+u_{a}^{\beta }{\frac {\partial }{\partial u^{\beta ))}+u_{ab}^{\beta }{\frac {\partial }{\partial u_{b}^{\beta }}}+...

for den samlede afledte operator med hensyn til koordinaten . På lignende måde kan generelle tilbagevendende og eksplicitte udtryk for koefficienter af vilkårlig rækkefølge findes: $x^{a}$

\theta _{aI}^{\alpha }=D_{a}\theta _{I}^{\alpha }-u_{bI}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b} ,\quad \theta _{I}^{\alpha }=D_{I}\left(\eta ^{\alpha}-u_{b}^{\alpha}\xi ^{b}\right)+\ xi ^{b}u_{bI}^{\alpha }.

Det infinitesimale kriterium for systemets invarians ( 1 ) er betingelsen

\left.{\underset {s\ \ \ }{Y_{A))}F\right|_{F=0}=0,

som skal gælde for ethvert element fra et kvarter med nul i Lie-algebraen . Da denne betingelse ikke kun indeholder variabler og , som generatorens koefficienter afhænger af , men også afledte, generelt set, op til rækkefølgen inklusive, som i dette tilfælde optræder som uafhængige variabler, for alle værdier, hvoraf betingelsen skal være opfyldt, så bryder det op i et system, som regel omdefinerede lineære differentialligninger for koefficienterne , . Efter at have løst dette system, kan man i princippet genoprette gruppens (lokale) handling i rummet , og så også i . $EN$ ${\cal {G}}$ $x$ $u$ $Y$ $s$ ${\displaystyle \xi ^{a))$ ${\displaystyle \eta ^{\alpha ))$ $G$ $X\ gange U$ ${\underset {s}{Z))$

Differentielle invarianter

Den differentielle invariant af rækkefølgen $s$ af en gruppe er en differentierbar funktion på , afhængigt af afledte af rækkefølgen , og invariant under th fortsættelse af handlingen af denne gruppe. Differentialordens invarianter opfylder systemet af førsteordens lineære ligninger $G$ ${\underset {s}{Z))$ $k$ $s$ $s$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{i))}J=0,\qquad i=1,...,\dim G,

hvor er grundlaget for generatorerne af gruppen på . Det følger af den generelle teori om sådanne systemer, at en vilkårlig invariant kan udtrykkes i form af et bestemt minimumssæt af funktionelt uafhængige invarianter, hvor er antallet af uafhængige variable og er antallet af uafhængige ligninger i systemet, som er lig med den maksimale rang af dens koefficientmatrix. $Y_{i}$ $G$ $Z$ $Nr$ ${\displaystyle N=n+m\,C_{s}^{n+s))$ $r$

En væsentlig del af anvendelserne af gruppeanalyse er baseret på følgende teorem.

Kendskab til differentialinvarianter gør det således muligt at finde den generelle form for ligninger, der er invariante i forhold til en given gruppe, og analyse af strukturen af Lie-algebraen af symmetrigruppen gør det muligt at vælge en ændring af variable, der reducerer den givne ligning til den enklest mulige form, for eksempel at tillade reduktion af rækkefølgen (se afsnittet " Bilag ").

Invariant differentiering

En operator for invariant differentiering af en gruppe er en differentialoperator, som, når den handles på en differentiel invariant af denne gruppe, giver en differentialinvariant af højere orden. Det følger af definitionen, at en operatør er en operatør af invariant differentiering af en gruppe, hvis og kun hvis den pendler med en hvilken som helst generator af denne gruppes fortsatte handling: $G$ $\delta$ $G$ ${\underset {\infty }{Y}}$

\left[\delta ,\,{\underset {\infty }{Y}}\right]=0.

(5)

For enhver gruppe af rumtransformationer er der førsteordens invariante differentieringsoperatorer, der er lineært uafhængige over feltet af invarianter i den givne gruppe. Disse invarianter har formen og opfylder under hensyntagen til ( 5 ) ligningssystemet $G$ $Z=X\ gange U$ $n=\dim X$ $\delta =\lambda ^{a}D_{a}$

{\underset {\kappa \ \ }{Y_{i))}\lambda ^{a}=\lambda ^{b}D_{b}\xi _{i}^{a},\qquad i =1,...,\dim G.

Tallet er den mindste rækkefølge af fortsættelse af gruppen, hvis rang er maksimal, det vil sige lig med . Feltet af differentielle invarianter har et endeligt sæt af generatorer i den forstand, at en vilkårlig differentiel invariant kan opnås ved et endeligt antal handlinger, herunder funktionelle operationer og anvendelsen af førsteordens invariante differentieringsoperatorer, fra et grundlag af ordens differentialinvarianter . $\kappa$ $G$ $\dim G$ $\kappa +1$

Ansøgninger

Almindelige differentialligninger

For (systemer af) almindelige differentialligninger etablerer gruppeanalyse tilstrækkelige betingelser for integrerbarhed i kvadraturer og giver, hvis de er opfyldt, en algoritme til at konstruere en generel løsning. Hvis disse betingelser ikke er opfyldt, gør kendskab til symmetrigruppen det muligt at sænke rækkefølgen af en ligning eller et system, det vil sige at udtrykke deres løsninger i form af løsninger til en lavere ordens ligning eller system med et mindre antal ligninger .

Nedenfor er de vigtigste resultater af gruppeanalysen i forhold til ODE.

Nedgradering

Hvis en almindelig differentialligning

F(x,u',...,u^{(s)})=0

indrømmer en en-parameter symmetrigruppe med generator

Y=\xi (x,u){\frac {\partial }{\partial x))+\eta (x,u){\frac {\partial }{\partial u)),

(6)

så ved at gå videre til variabler, der retter vektorfeltet ( 6 ), kan dets rækkefølge reduceres med én. Især førsteordensligningen, løst med hensyn til den afledede, er integreret i kvadraturer under denne betingelse.

Det sidste udsagn kan formuleres alternativt i form af en integrerende faktor.

Integrationsfaktor

Almindelig differentialligning i totale differentialer

P(x,u)\,dx+Q(x,u)\,du=0

tillader en en-parameter symmetrigruppe med generator ( 6 ), hvis og kun hvis funktionen

\mu ={\frac {1}{P\,\xi +Q\,\eta }}

er en integrerende faktor for denne ligning .

Løgnens sætning

Ovenstående resultater er generaliseret af følgende sætning.

I lyset af overensstemmelsen mellem ordensligninger og systemer af førsteordensligninger, er en lignende sætning også gyldig for én ordensligning . $s$ $s$ $s$

Partielle differentialligninger

Litteratur

L. V. Ovsyannikov. Gruppeanalyse af differentialligninger. - M . : Videnskab. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1978. - 400 s.
P. Olver. Anvendelser af Lie-grupper til differentialligninger. Om. fra engelsk - M . : Mir, 1989. - 639 s. — ISBN 5-03-001178-1 .
N. Kh. Ibragimov. Grupper af transformationer i matematisk fysik. - M . : Videnskab. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1983. - 280 s.