Bølgeligning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. juni 2021; checks kræver 20 redigeringer .

Bølgeligningen i fysik er en lineær hyperbolsk partiel differentialligning, der specificerer små tværgående vibrationer af en tynd membran eller streng , såvel som andre oscillerende processer i kontinuerlige medier ( akustik , for det meste lineær: lyd i gasser, væsker og faste stoffer) og elektromagnetisme ( elektrodynamik ). Det finder også anvendelse i andre områder af teoretisk fysik, for eksempel i beskrivelsen af gravitationsbølger. Det er en af de grundlæggende ligninger i matematisk fysik .

Ligningstype

I det flerdimensionale tilfælde skrives den homogene bølgeligning som

\Delta u={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}

hvor er Laplace-operatoren , er en ukendt funktion, er tid, er en rumlig variabel, er fasehastigheden . $\Delta$ $u=u(x,t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $v$

Konklusion for den tredimensionelle sag.

Ovenstående beregninger kan naturligvis også generaliseres til flerdimensionale tilfælde. Så.

Lad planbølgeligningen være givet:

A({\vec {r)),t)=A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\ ret),

hvor

$A(x,t)$ er størrelsen af forstyrrelsen på et givet punkt i rum og tid ; $x$ $t$
$A_{0}$ er bølgeamplituden ;
$\omega$ - cirkulær frekvens ;
${\vec {k}}$ er bølgevektoren lig med $k{\vec {n))$

hvor

$k$ er bølgetallet ;
${\vec {n}}$ er enhedsnormalvektoren tegnet til bølgefronten

${\vec {r}}\venstre(x,y,z\højre)$ er radiusvektoren for punktet med koordinater og ; $x,y$ $z$
$({\vec {k)],{\vec {r)))$ er skalarproduktet af vektorer og . Her og nedenfor vil det skalære produkt blive betegnet på denne måde; $\vec{k}$ ${\vec {r))$
$\varphi_{0}$ er den indledende fase af svingninger .

Vi adskiller det med hensyn til , med hensyn til , med hensyn til og med hensyn til . Vi får fire ligninger: $x$ $y$ $z$ $t$

\venstre\{{\begin{matrix}{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2))}=-\omega ^{2 }A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-\omega ^{2}A( {\vec {r)),t)\qquad \left(1\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{ 2))}=-k_{x}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0} \right)=-k_{x}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(2\right)\\{\cfrac {\partial ^{2}A({\ vec {r}},t)}{\partial y^{2}}}=-k_{y}^{2}A_{0}cos\left(\omega t-({\vec {k}}, {\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{y}^{2}A({\vec {r)),t)\qquad \left(3\right)\ \{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2))}=-k_{z}^{2}A_{0}cos\ venstre(\omega t-({\vec {k)),{\vec {r)))+\varphi _{0}\right)=-k_{z}^{2}A({\vec {r }},t)\qquad \left(4\right)\end{matrix}}\right.

Tilføj og $\venstre(2\højre),\venstre(3\højre)$ $\venstre(4\højre):$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial y^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2)) }=-(k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2})A({\vec {r}},t)=-{\vec {k }}^{2}\cdot A({\vec {r}},t)

Fra den opnåede ligning og udskiftning af ligningen får vi det $\venstre(1\højre),$ ${\cfrac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\cfrac {1}{v^{2}}},$

{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial x^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial y^{2))}+{\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial z^{2)) }={\cfrac {1}{v^{2))}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\partial t^{2)) }\Leftrightarrow \Delta A({\vec {r)),t)={\cfrac {1}{v^{2}}}\cdot {\cfrac {\partial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\partial t^{2))}

I det endimensionelle tilfælde kaldes ligningen også strengvibrationsligningen eller stangens længdevibrationsligning og skrives som

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}={\frac {1}{v^{2))}{\frac {\partial ^{2}u}{ \partial t^{2}}}

Denne ligning kan fortolkes som følger. Den anden afledede af koordinaten med hensyn til tid, kraften (Newtons anden lov), er proportional med krumningen af strengen (den anden afledede med hensyn til koordinaten). Med andre ord, jo højere krumningen af "puklerne" på strengen er, jo større kraft virker på denne sektion af strengen.

D'Alembert operatør

Forskellen kaldes d'Alembert-operatøren og betegnes som (forskellige kilder bruger forskellige tegn). Ved at bruge d'Alembert (dalambertian) operatoren skrives den homogene bølgeligning som $\Delta -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$ $\firkant$

\firkantet u=0

Inhomogen ligning

Det er også muligt at overveje den inhomogene bølgeligning

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=v^{2}\Delta u+f

hvor er en given funktion af en ydre handling (ydre kraft). $f=f(x,t)$

Den stationære version af bølgeligningen er Laplace-ligningen ( Poissons ligning i det inhomogene tilfælde).

Problemet med at finde normale oscillationer af et system beskrevet af en bølgeligning fører til et egenværdiproblem for Laplace-ligningen , det vil sige at finde løsninger på Helmholtz-ligningen , opnået ved at erstatte

$u(x,t)=v(x)e^{{i\omega t}}\$ eller . $u(x,t)=v(x)\,{\mathop {{\rm {cos))))\,(\omega t)\$

Løsning af bølgeligningen

Der er en analytisk løsning til en hyperbolsk partiel differentialligning. I et euklidisk rum af vilkårlig dimension kaldes det Kirchhoff-formlen. Særlige tilfælde: for strengvibration ( ) — d'Alemberts formel , for membranvibration ( ) — Poissons formel . ${\mathbb {R}}^{1}$ $\mathbb {R} ^{2}$

D'Alemberts formel

Løsning af den endimensionelle bølgeligning (her fasehastigheden) $v=a$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)\quad

(funktion svarer til at drive ekstern kraft)

f(x,t)

med startbetingelser

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

har formen

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a))\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{{xa(t-\tau )}}^{{x+a(t-\tau )}}f(s,\tau )dsd\tau

Det er interessant at bemærke, at løsningen af det homogene problem

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

med følgende form:

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _{{x -at))^{{x+at)){\psi (\alpha )d\alpha }

kan præsenteres i formularen

u(x,t)=f_{1}(x+at)+f_{2}(x-at)

hvor

f_{1}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{0}}^{{x}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

f_{2}(x)={\frac {\varphi (x)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{{x}}^{{0}}{ \psi (\alpha )d\alpha }

I dette tilfælde siger vi, at løsningen er repræsenteret som summen af vandrende bølger, og funktionerne og er profilerne af de bølger, der bevæger sig henholdsvis til venstre og højre. I det pågældende tilfælde ændres bølgeprofilerne ikke med tiden. $f_1(x)$ $f_{2}(x)$

I det multidimensionelle tilfælde kan løsningen af Cauchy-problemet også dekomponeres i vandrende bølger, men ikke i en sum, men i et integral, da der er uendeligt mange retninger. Dette gøres elementært ved hjælp af Fourier-transformationen

Problem på halvlinjen

Overvej den homogene ligning af oscillationer på halvlinjen $[0;+\infty )$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

med fast ende:

u(0,t)=0

og startbetingelser

u(x,0)=\varphi (x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi (x)

For at problemet skal have en løsning, skal startbetingelserne og randbetingelsen være konsistente, nemlig:

\varphi (0)=0,\qquad \psi (0)=0

Problemet på halvlinjen kan nemt reduceres til problemet på linjen, efter at vi fortsætter startbetingelserne antisymmetrisk:

\varphi (-x)=-\varphi (x),\qquad \psi (-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,+\infty )

På grund af det faktum, at startbetingelserne er ulige funktioner, er det logisk at forvente, at løsningen også vil være en ulige funktion. Dette kan verificeres direkte ved at overveje løsningen i form af d'Alembert-formlen. Derfor vil den resulterende løsning u(x, t) opfylde startbetingelserne og randbetingelsen (sidstnævnte følger af funktionens uligehed). $\varphi(x),\psi(x)$ $u(x, t)$ $u(0,t)=0$

Den viste teknik er meget brugt (ikke kun til bølgeligningen) og kaldes refleksionsmetoden . For eksempel kan man betragte bølgeligningen på en halvlinje, men med en grænsebetingelse af den anden slags i slutningen : $x=0$

u_{x}(0,t)=0

Fysisk betyder tilstanden, at den venstre ende af stangen (hvis vi betragter systemet som langsgående vibrationer af stangen) er fri, det vil sige, at der ikke virker nogen kraft på den.

Løsningsmetoder i et begrænset endimensionelt domæne

Refleksionsmetode

Overvej en endimensionel homogen bølgeligning på segmentet $[0,a]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

med homogene randbetingelser af den første art (det vil sige med faste ender)

u(0,t)=0\qquad u(a,t)=0

og startbetingelser

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]

Ved hjælp af refleksionsmetoden kan problemet igen reduceres til et problem på en lige linje. I dette tilfælde vil et uendeligt antal refleksioner være påkrævet, som et resultat vil de fortsatte startbetingelser blive bestemt som følger:

\varphi (2na+x)=\varphi (x)\qquad \psi (2na+x)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

\varphi (2na-x)=-\varphi (x)\qquad \psi (2na-x)=-\psi (x)\qquad \forall x\in [0,a]\quad \forall n\in Z

Når man betragter den inhomogene bølgeligning:

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}+f(x,t)

præcis de samme overvejelser bruges, og funktionen fortsætter på samme måde. $f(x,t)$

Fourier-metoden

Overvej igen den endimensionelle homogene bølgeligning på intervallet $[0,l]$

u_{{tt}}=a^{2}u_{{xx}}

med homogene randbetingelser af den første slags

u(0,t)=0\qquad u(l,t)=0

og startbetingelser

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)\qquad \forall x\in [0,l]

Fouriermetoden er baseret på at repræsentere løsningen som en (uendelig) lineær kombination af simple løsninger på formproblemet

X(x)T(t)

, hvor begge funktioner kun afhænger af én variabel.

Derfor er det andet navn på metoden metoden til adskillelse af variabler.

Det er let at vise, at for at funktionen skal være en løsning på svingningsligningen og opfylde randbetingelserne, er det nødvendigt, at betingelserne $u(x,t)=X(x)T(t)$

X(0)=0\qquad X(l)=0

a^{2}X''(x)=-\lambda X(x)

T''(t)=-\lambda T(t)

Løsningen af Sturm-Liouville-problemet fører ikke til svaret: $X(x)$

X_{n}(x)=\sin \left({\frac {\pi nx}{l))\right)\qquad n\in \mathbf {N}

og deres egne værdier $\lambda _{n}=\left({\frac {\pi na}{l}}\right)^{2}$

Deres tilsvarende funktioner ser ud $T$

T_{n}(t)=\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda}}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda }}_{n}t).

Deres lineære kombination (forudsat at serien konvergerer) er således en løsning på det blandede problem

u(x,t)=\sum _{n=1}^{+\infty }X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum _{n=1}^{+ \infty }\left(\alpha _{n}\sin({\sqrt {\lambda }}_{n}t)+\beta _{n}\cos({\sqrt {\lambda}}_{n }t)\right)\sin {\frac {\pi nx}{l)).

Ved at udvide funktionerne i en Fourier-serie kan man få de koefficienter , som løsningen vil have sådanne startbetingelser for. $\varphi(x),\psi(x)$ $\alpha _{n},\beta _{n}$

Wave regnskabsmetode

Overvej igen den endimensionelle homogene bølgeligning på intervallet $[0,a]$

u_{{tt}}=u_{{xx}},

men denne gang sætter vi homogene startbetingelser

u(x,0)\equiv 0,\quad u_{t}(x,0)\equiv 0\qquad \forall x\in [0,a]

og inhomogen grænse. For eksempel vil vi antage, at afhængigheden af positionen af enderne af stangen på tid er givet (grænsebetingelsen af den første slags)

u(0,t)=\mu (t)\qquad u(a,t)=\nu (t)

Løsningen skrives som

u(x,t)=\sum _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\mu (tx-2ka)-\mu (t+x-(2k+2) a){\biggr ]}+\sum _{{k=0}}^{{+\infty }}{\biggl [}\nu (t+x-(2k+1)a)-\nu (tx -(2k+1)a){\biggr ]}

Det faktum, at det opfylder ligningen og de indledende grænsebetingelser, kan verificeres direkte. En interessant fortolkning er, at hvert led i løsningen svarer til en vis refleksion af en af grænsebølgerne. For eksempel genererer den venstre grænsebetingelse en bølge af formen

\mu (tx),

som når den rigtige ende i tid a , afspejles og giver et bidrag

\mu (t+x-2a),

efter en tid reflekteres a igen og bidrager

\mu (tx-2a),

Denne proces fortsætter i det uendelige og opsummerer bidragene fra alle bølger, og vi får den angivne løsning. Hvis vi er interesseret i en løsning på intervallet , så kan vi begrænse os til kun de første termer. $[0,T]$ $\lceil T/a\rceil$

Plan elektromagnetisk bølgeligning

Vi skriver Maxwells ligninger i differentialform:

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operatørnavn {div} \mathbf {B} =0$

$\operatørnavn {div} \mathbf {D} =\rho$

$\mathbf {B} =\mu \mu _{0}\mathbf {H}$

$\mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {E}$ er vektoren for elektrisk feltstyrke

$\mathbf {H}$ er magnetfeltstyrkevektoren

$\mathbf {B}$ er den magnetiske induktionsvektor

$\mathbf {D}$ er den elektriske induktionsvektor

$\mu$ — magnetisk permeabilitet

$\mu_{0}$ - magnetisk konstant

$\varepsilon$ — elektrisk permeabilitet

$\varepsilon_{0}$ - elektrisk konstant

$\mathbf {j}$ er strømtætheden

$\rho$ - ladningstæthed

$\operatørnavn{rot}$ — rotor , differentialoperatør, $\operatorname {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k } \\{\frac {\partial }{\partial x))&{\frac {\partial }{\partial y))&{\frac {\partial }{\partial z))\\E_{x} &E_{y}&E_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}} \right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right) \mathbf {k}$

$\operatørnavn {div}$ - divergens , differential, $\operatorname {div} \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial E_{ y}}{\partial y}}+{\frac {\partial E_{z}}{\partial z}}$

$\Delta$ - Laplace-operatør, , [1] $\Delta \mathbf {E} =\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k}$ $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

For en elektromagnetisk bølge , derfor: $\mathbf {j} =0$ $\rho =0$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\operatørnavn {div} \mathbf {D} =\varepsilon \varepsilon _{0}\operatørnavn {div} \mathbf {E} =0$

Ifølge egenskaben af vektorfeltkrøllen . Ved at erstatte her og , får vi: $\operatørnavn {rot} \operatørnavn {rot} \mathbf {E} =\mathbf {\operatørnavn {grad} } (\operatørnavn {div} \mathbf {E} )-\Delta E$ $\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\operatørnavn {div} \mathbf {E} =0$

$\operatorname {rot} \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-\Delta \mathbf {E}$

$\Delta \mathbf {E} =\operatørnavn {rot} {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {\partial }{\partial t))\operatørnavn {rot} \mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\operatørnavn {rot} \mathbf {H}$ erstatter vi her fra Maxwells ligninger , får vi: $\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}{\partial ^{2}\mathbf {D} \over \partial t^{2))$

$\Delta \mathbf {E} =\mu \mu _{0}\varepsilon \varepsilon _{0}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2))$ [2]

${\displaystyle c=1/{\sqrt {\mu \mu _{0}\epsilon \epsilon _{0))))$

$\Delta E_{x}\mathbf {i} +\Delta E_{y}\mathbf {j} +\Delta E_{z}\mathbf {k} ={\frac {1}{c^{2 ))}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

Vektoren svinger i et plan vinkelret på aksen , så . $\mathbf {E}$ $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\Delta E_{y}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{ 2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{ 2}E_{y} \over \partial t^{2}}$

Bølgen forplanter sig langs aksen og er derfor ikke afhængig af koordinaterne og : $x$ $\mathbf {E}$ $y$ $z$

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$

Et lignende udtryk kan opnås for : $\mathbf {H}$

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}( {\partial ^{2}E_{y} \over \partial t^{2)))\\{\frac {\partial ^{2}H_{z)){\partial x^{2))}= {\frac {1}{c^{2}}}({\partial ^{2}H_{z} \over \partial t^{2}})\end{cases}}$ (en)

Den enkleste løsning på disse ligninger vil være funktionerne [3] :

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$k$ - bølgetal . Lad os finde det ved at erstatte ligning (2) i den første ligning (1) :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

Herfra finder vi det $k={\frac {\omega }{c))$

Forholdet mellem amplituderne af de elektriske og magnetiske komponenter i en elektromagnetisk bølge

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial \ mathbf {H} }{\partial t))$

$\left({\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =-\mu \mu _ {0}{\frac {\partial }{\partial t))(H_{x}\mathbf {i} +H_{y}\mathbf {j} +H_{z}\mathbf {k} )$

Bølgen bevæger sig langs aksen , så de afledte med hensyn til og er lig med nul. $X$ $\partial x$ $\partial z$

$\mathbf {E}$ forplanter sig derfor vinkelret i planet $XY$ $X$ $E_{x}=E_{z}=0$

$\mathbf {H}$ forplanter sig derfor vinkelret i planet $XZ$ $X$ $H_{x}=H_{y}=0$

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

$\operatorname {rot} \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf { E} }{\partial t))$

$\left({\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} + \left({\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left( {\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} =\varepsilon \varepsilon _{ 0}{\frac {\partial }{\partial t))(E_{x}\mathbf {i} +E_{y}\mathbf {j} +E_{z}\mathbf {k} )$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Der er to ligninger:

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=-\mu \mu _{0}{\frac {\partial H_{z}}{\partial t}}$

${\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}=-\varepsilon \varepsilon _{0}{\frac {\partial E_{y}}{\partial t}}$

Erstat løsningen i dem:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

Vi får:

$E_{m}k\sin(\omega t-kx)=\mu \mu _{0}H_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$H_{m}k\sin(\omega t-kx)=\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega \sin(\omega t-kx)$

$E_{m}k=\mu \mu _{0}H_{m}\omega$

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}\omega =H_{m}k$

Lad os gange den ene med den anden:

$\varepsilon \varepsilon _{0}E_{m}^{2}k\omega =\mu \mu _{0}H_{m}^{2}k\omega$

${\frac {E_{m}}{H_{m}}}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=={\sqrt { \frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi c^{2}10^{7} )}}={\sqrt {(4\pi 10^{-7})(4\pi 9\cdot 10^{16}10^{-7})))={\sqrt {(4\pi ) (4\pi 900)}}=120\pi \ca. 377$ [3]

Se også

Noter

↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher School". MPI Publishing House 1984. Artikel "Laplace-operatør" og "Vektorfeltrotor".
↑ I.V. Savelyev "Course of General Physics" Bind II afsnit "Wave Equation" s. 398 formel (109.8)
↑ 1 2 I.V. Savelyev "Course of General Physics" bind II afsnit "Plane electromagnetic wave"

Links

Bølgeligning // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Matematisk fysiks ligninger: Lærebog .. - 6. udgave, Rev. og yderligere .. - M . : Publishing House of Moscow State University, 1999. - 798 s. — ISBN 5-211-04138-0 .
I.V. Savelyev "Course of General Physics" bind II
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher Education". MPI Publishing House 1984

Matematisk fysik

Typer af ligninger

Grænsebetingelser

Matematisk fysiks ligninger

Diffusion og konvektion	Varme ligning Diffusionsligning Mason-Weaver ligning
Hydrodynamik	Overførselsligning Navier-Stokes ligninger Euler ligning Gromeka-lam ligning Vortex ligning Burgers ligning Lavt vand ligninger Korteweg-de Vries ligning
Elektromagnetisme	Maxwells ligninger Helmholtz ligning Landau-Lifshitz ligning Screenet Poisson-ligning
Kvantemekanik	Schrödinger ligning Heisenberg ligning Rarita-Schwinger ligning Hartrees ligning Dirac ligning Klein-Gordon ligning
Generelle modeller	Kontinuitetsligning bølgeligning Fokker-Planck ligning Poisson ligning

Løsningsmetoder

Metoder til løsning af differentialligninger

Gittermetoder

Finite element metoder	Finite element metode Galerkin metode Diskontinuerlig Galerkin-metode Flerskala Finite Element-metode Multigrid metode
Andre metoder	Endelig forskelsmetode Endeligt volumen metode Godunovs metode Grænseelementmetode

Ikke-grid metoder

Studie af ligninger

relaterede emner