Blandet ligning

Blandede ligninger (blandede ligninger) er en klasse af andenordens partielle differentialligninger, der er hyperbolske i et område af det variable rum og elliptiske i et andet. Disse områder er adskilt af en linje (i tilfælde af to uafhængige variable) eller en overflade (i tilfælde af tre eller flere uafhængige variable), på hvis punkter ligningen er parabolsk eller udefineret. Denne linje (overflade) kaldes typeskiftelinien (overfladen) eller degenerationslinien (overfladen) .

I tilfælde af to uafhængige variable er degenerationslinjen diskriminantkurven for den karakteristiske ligning. En bred klasse af disse ligninger kan repræsenteres som: [1]

Sammenlignet med ligninger af hyperbolske, elliptiske og parabolske typer har teorien om blandede ligninger en relativt kort historie. Blandede ligninger med to uafhængige variable blev først systematisk undersøgt af de italienske matematikere F. Tricomi og M. Cibrario . I USSR blev ligninger af blandet type undersøgt af mange matematikere, især de fik stor opmærksomhed i skolerne til M. A. Lavrentiev og A. V. Bitsadze . Blandede ligninger har fundet adskillige anvendelser, for eksempel i problemer relateret til transonisk gasdynamik.

Tricomis ligning

Det enkleste eksempel på en blandet ligning er Tricomi-ligningen (nogle gange også kaldet Euler-Tricomi-ligningen ):

,

relateret til den hyperbolske type i regionen og til den elliptiske type i regionen. Ændringslinjen for typen af ​​Tricomi-ligningen falder sammen med y -aksen , og karakteristikaens ligning falder sammen med den såkaldte Cibrario-normalform . Karakteristikaene danner en familie af semikubiske paraboler , der ligger i et hyperbolsk område med spidspunkter på typeskiftelinjen .

Se også

• Gaz Trikomi

Noter

1. ↑ Trikomi, 1947 , s. 6.

Litteratur

• Tricomi F. På lineære partielle differentialligninger af anden orden af ​​blandet type. - M. : OGIZ, 1947. - 191 s.
• Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, - Rend. Lombardo 65 (1932), s. 889-906.
• Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrali delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, - Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
• Lavrentiev M. A., Bitsadze A. V. Om problemet med ligninger af blandet type, Dokl. AN 70:3 (1950), 373-376.
• Bitsadze A. V. Ligninger af blandet type, - Enhver udgave.
• Smirnov M. M. Ligninger af blandet type, - Enhver udgave.
• Kuzmin A. G. Ikke-klassiske ligninger af blandet type og deres anvendelser på gasdynamik, Izd. Leningrad State University, 1990.
• FG Tricomi. Correnti fluide transoniche ed equazioni a derivat parziali di tipo misto, Univ. Politec. Torino, Rend. Sem. Måtte. 12 (1953), 37-52.
• C. Ferrari, FG Tricomi. Transsonic Aerodynamics, Academic Press, New York, 1968.
• Richard von Mises . Matematisk teori om komprimerbare væskestrømme, Moskva, 1961.
• Lipman Bers . Matematiske aspekter af subsonisk og transonisk gasdynamik, Surveys in Applied Mathematics. 3. New York: John Wiley & Sons, Inc. XV, 278 s. (1958).