Kirchhoff formel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 5. januar 2021; checks kræver 13 redigeringer .

Kirchhoff-formlen er et analytisk udtryk for løsning af en hyperbolsk partiel differentialligning (den såkaldte "bølgeligning") i hele det tredimensionelle rum. Ved nedstigningsmetoden (dvs. dimensionalitetsreduktion) kan man opnå løsninger af de todimensionelle ( Poissons formel ) og endimensionelle ( D'Alemberts formel ) ligninger fra den.

Fuld ordlyd af problemet og svar

Overvej ligningen

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}-a^{2}\trekant u=f

, hvor funktionerne og er defineret på , og er Laplace-operatoren .

u=u(\mathbf {x} ,t)

f=f(\mathbf {x} ,t)

{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+))

\trekant

Denne ligning definerer udbredelsen af en vandrende bølge i et dimensionelt homogent medium med en hastighed til tider . $n$ $-en$ $t>0$

For at løsningen skal være entydig, er det nødvendigt at bestemme startbetingelserne. Indledende betingelser bestemmer rummets tilstand (eller, siger de, "indledende forstyrrelse") på tidspunktet for tiden : $t=0$

u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x))),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t))\right| _{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x)))

Så giver den generaliserede Kirchhoff-formel en løsning på dette problem i det tredimensionelle tilfælde:

u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial }{\partial t))\venstre[{\frac {1}{4\pi a^{2}t))\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t)) \iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2))}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y }

hvor overfladeintegralerne tages over kuglen . $S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at$

Kirchhoff selv overvejede kun det tredimensionelle tilfælde.

En simpel udledning af løsningen til hovedproblemet bruger Fourier-transformationen .

Fysiske konsekvenser

Lad der være en lokal forstyrrelse ( og/eller ) på et kompakt sæt på det første tidspunkt . Hvis vi er på et tidspunkt , vil vi, som det kan ses af formlen (integrationsområdet), føle forstyrrelsen efter tid . $t=0$ $M$ $\varphi _{0}\neq 0$ $\varphi _{1}\neq 0$ ${\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}$ $t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$

Uden for tidsintervallet , hvor , er funktionen lig nul. $\left[t_{1};t_{2}\right]$ $t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _({\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x} }_{0}\right|$ $u(x_{0},t)$

Således forårsager den indledende forstyrrelse, lokaliseret i rummet, ved hvert punkt i rummet en handling lokaliseret i tid, det vil sige, at forstyrrelsen forplanter sig i form af en bølge med førende og bagerste fronter, hvilket udtrykker Huygens princippet ). På flyet er dette princip overtrådt. Begrundelsen for dette er det faktum, at forstyrrelsesbæreren, som er kompakt ved , ikke længere vil være kompakt ved , men vil danne en uendelig cylinder, og som følge heraf vil forstyrrelsen være ubegrænset i tid (cylindriske bølger har ingen bagkant) . [en] $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Poisson - Parseval -formlen

Løsning af ligningen for vibrationer af membranen (todimensionelt rum)

u_{tt}=a^{2}\trekant u+f

(funktion svarer til at drive ekstern kraft)

f(x,t)

med startbetingelser

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

givet ved formlen:

u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{ 0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d \tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2}) ^{2))))+{\frac {\partial }{\partial t)){\frac {1}{2\pi a))\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2} -(y_{2}-x_{2})^{2))))+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi ( y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}- (y_{2}-x_{2})^{2}}}}

D'Alemberts formel

Løsning af den endimensionelle bølgeligning

u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad

(funktion svarer til at drive ekstern kraft)

f(x,t)

med startbetingelser

u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)

har formen [2]

u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2))+{\frac {1}{2a))\int \limits _ {x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _ {xa(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau

Når du bruger d'Alembert-formlen, skal det tages i betragtning, at løsningen nogle gange ikke er unik i hele det pågældende område . Løsningen af bølgeligningen er repræsenteret som summen af to funktioner: , det vil sige, at den er bestemt af to familier af karakteristika :. Eksemplet vist i figuren til højre illustrerer bølgeligningen for en semi-uendelig streng, og startbetingelserne i den er kun angivet på den grønne linje . Det kan ses, at både -karakteristika og -karakteristika kommer til domænet , mens der kun er -karakteristika i domænet. Det vil sige, at d'Alembert-formlen ikke virker i regionen. $\mathbb {R} ^{1}\ gange [0,T]$ $u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)$ $x+at=\xi ,\ x-at=\eta$ $x\ge 0$ $\mathrm {I}$ $\xi$ $\eta$ $\mathrm {II}$ $\xi$ $\mathrm {II}$

Anvendelse af formler

Generelt er Kirchhoff-formlen ret besværlig, og derfor er det normalt vanskeligt at løse problemer med matematisk fysik med dens hjælp. Man kan dog bruge lineariteten af bølgeligningen med begyndelsesbetingelser og lede efter en løsning i form af summen af tre funktioner: , som opfylder følgende betingelser: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2))}=a^{2}\trekant u+f({\bar {x)),t)$ $u({\bar {x)),0)=\varphi _{0}({\bar {x)),\ u_{t}({\bar {x)),0)=\ varphi _{1}({\bar {x)))$ $u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)$

{\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2))}=a^{2}\trekant A+f({\bar {x)),t),\qquad A({\bar {x)),0)=0,\ A_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2))}=a^{2}\trekant B,\qquad B({\bar {x)),0)= \varphi _{0}({\bar {x)),\ B_{t}({\bar {x)),0)=0;

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=a^{2}\trekant C,\qquad C({\bar {x)),0)= 0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).

I sig selv forenkler en sådan operation ikke brugen af Kirchhoff-formlen, men for nogle problemer er det muligt at vælge en løsning eller reducere et flerdimensionelt problem til et endimensionelt ved at ændre variabler. Lad f.eks . Så, efter udskiftningen , vil ligningen for opgave "C" have formen: ${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2))))$ $\xi =x+3y-2z$

{\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2))}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{ 2}}),\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2} }}.

Dermed kom vi til en endimensionel ligning, som betyder, at vi kan bruge d'Alemberts formlen:

C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}at}^{\ xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\ venstre(\operatørnavn {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}at)-\operatørnavn {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}at)\right).

På grund af pariteten af starttilstanden vil løsningen bevare sin form i hele regionen . $t>0$

Noter

↑ KIRCHHOFF FORMEL // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia (bd. 1-2); Great Russian Encyclopedia (bd. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ D'Alembert-formel Arkiveret 20. marts 2012 på Wayback Machine i Encyclopedia of Physics

Litteratur

Mikhailov V.P. , Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Samling af typiske opgaver til kurset Matematisk fysiks ligninger. — M.: MIPT, 2007. — ISBN 5-7417-0206-6 .