Cauchy-Riemann forhold

Cauchy-Riemann- betingelserne , også kaldet d'Alembert-Euler-betingelserne , er relationer, der forbinder de reelle og imaginære dele af enhver differentierbar funktion af en kompleks variabel . $u=u(x,y)$ $v=v(x,y)$ $w=f(z)=u+iv,\ z=x+iy$

Ordlyd

I kartesiske koordinater

For at en funktion, der er defineret i et område af det komplekse plan , kan differentieres i et punkt som en funktion af en kompleks variabel , er det nødvendigt og tilstrækkeligt , at dens reelle og imaginære dele og kan differentieres i et punkt som funktioner af reelle variable og og at desuden på dette tidspunkt var Cauchy-Riemann-betingelserne opfyldt: $w=f(z)$ $D$ ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0))$ $z$ $u$ $v$ $(x_{0},y_{0})$ $x$ $y$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.

Kompakt notation:

{\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}=0,

eller

{\frac {\partial f}{\partial x))={\frac {1}{i)){\frac {\partial f}{\partial y)).

Hvis Cauchy-Riemann-betingelserne er opfyldt, kan derivatet repræsenteres i en af følgende former: $f'(z)$

{\begin{aligned}f'(z)&={\frac {\partial u}{\partial x))+i{\frac {\partial v}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y))={\frac {\partial v}{\partial y))+i{\frac {\partial v}{\partial x))=\\&={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}.\\\end{aligned}}

Bevis

1. Nødvendighed

Ved sætningens hypotese er der en grænse

f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}},

uafhængig af måden at vende mod nul på. $\Deltaz$

Virkelig stigning. Lad os sætte og overveje udtrykket $\Delta z=\Delta x$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta x\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

Eksistensen af en kompleks grænse svarer til eksistensen af den samme grænse i enhver retning, inklusive. Derfor er der i punktet z 0 en partiel afledt af funktionen f ( z ) med hensyn til x , og formlen finder sted

\lim _{\Delta z\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))

\lim _{\Delta x\to 0}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta x)-f(z_{0})}{\Delta x)).

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac {\ delvis f(z_{0})}{\partial x_{0}}}.

Rent imaginært tilvækst. Forudsatat vi finder $\Delta z=i\Delta y$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))=\lim \limits _ {\Delta y\to 0}{\frac {f(z_{0}+i\Delta y)-f(z_{0})}{i\Delta y))={\frac {1}{i} }{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0))}.

Det betyder, at hvis funktionen er differentierbar, så er funktionernes afledte med hensyn til x og med hensyn til y nøjagtig de samme, det vil sige, at nødvendigheden af Cauchy-Riemann-betingelserne er bevist.

2. Tilstrækkelighed

Med andre ord er det nødvendigt at bevise i den modsatte retning - at hvis afledte af en funktion med hensyn til x og med hensyn til y faktisk er de samme, så viser funktionen sig generelt at være differentierbar i alle retninger.

Funktionsstigning

Efter definitionen af differentiabilitet kan stigningen af en funktion i et område af et punkt skrives som $f(z)$ $z_{0}$

f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}\Delta x+{ \frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0))}\Delta y+\xi (x,y),

hvor den komplekst værdisatte funktion fungerer som et "underordnet" led og har en tendens til nul ved hurtigere end og dvs. $\xi (x,y)$ $(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})$ $\Delta x$ $\Delta y,$

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z))=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {\xi (x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)}{\Delta z))=0.

Lad os nu sammensætte forskelsrelationen og transformere den til formen ${\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))$

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0} )}{\partial x_{0}}}\Delta x+{\frac {1}{i}}{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial y_{0}}}(i\ Delta y)+\xi (x,y)}{\Delta z)).

Differentieringstilstand

Nu, for at bevise tilstrækkeligheden af Cauchy-Riemann-betingelserne, erstatter vi dem i differensforholdet og opnår følgende:

{\frac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z))={\frac ({\frac {\partial f(z_{0} )}{\partial x_{0))}\Delta x+{\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}(i\Delta y)+\xi (x,y )}{\Delta z))={\frac {\partial f(z_{0})}{\partial x_{0))}+{\frac {\xi (x,y)}{\Delta z} }.

Bemærk, at da det har en tendens til nul, har det sidste led i denne formel en tendens til nul, mens det første forbliver uændret. Derfor er grænsen den samme i enhver stigningsretning og ikke kun langs den reelle og imaginære akse, hvilket betyder, at denne grænse eksisterer, hvilket beviser tilstrækkeligheden. $\Deltaz$ ${\tfrac {\partial f(z_{0})}{\partial z_{0))}=\lim _{\underset {\Delta z\in \mathbb {C} }{\Delta z\ til 0}}{\tfrac {f(z_{0}+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=f'(z_{0})$ $\Delta z,$

I polære koordinater

I det polære koordinatsystem ser Cauchy-Riemann-forholdene således ud: $(r,\varphi)$

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Kompakt notation:

{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {i}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}=0.

Polar Record Output

Vi repræsenterer den oprindelige funktion i formen

f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).

Udtryk af kartesiske koordinater i form af polære

\left\{{\begin{matrix}x=r\cos \varphi ;\\y=r\sin \varphi .\end{matrix}}\right.

Lad os skrive den afledede af funktionen $u(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {\partial u}{\partial x)){\frac {\partial x} {\partial r))+{\frac {\partial u}{\partial y)){\frac {\partial y}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\ partial x))+\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\{\frac {\partial u}{\partial \varphi ))={\frac {\partial u} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x))+r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y)).\end{matrix))\ ret.

på samme måde beregner vi funktionens afledte $v(x,y)$

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial v}{\partial r))={\frac {\partial v}{\partial x)){\frac {\partial x} {\partial r))+{\frac {\partial v}{\partial y)){\frac {\partial y}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial v}{\ partial x))+\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y));\\{\frac {\partial v}{\partial \varphi ))={\frac {\partial v} {\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \varphi } }=-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x))+r\cos \varphi {\frac {\partial v}{\partial y)).\end{matrix))\ ret.

Omgrupper og multiplicer

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial r))=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial x))+\sin \ varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\{\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ))=\cos \varphi {\ frac {\partial v}{\partial y))-\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial x));\end{matrix))\right.

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}=-r\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial x}}+ r\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial y));\\-r{\frac {\partial v}{\partial r))=-r\cos \varphi {\frac {\ delvis v}{\partial x}}-r\sin \varphi {\frac {\partial v}{\partial y}}.\end{matrix}}\right.

Ved at bruge Cauchy-Riemann-betingelserne i kartesiske koordinater
opnår vi ligheden af de tilsvarende udtryk, hvilket fører til resultatet

{\frac {\partial u}{\partial r))={\frac {1}{r)){\frac {\partial v}{\partial \varphi ));\quad {\frac {\partial u }{\partial \varphi }}=-r{\frac {\partial v}{\partial r}}.

Forholdet mellem modul og argument for en differentierbar kompleks funktion

Det er ofte praktisk at skrive en kompleks funktion i eksponentiel form:

f(z)=R(x,y)e^{i\Phi (x,y)}.

Derefter forbinder Cauchy-Riemann-betingelserne modulet og funktionsargumentet som følger: $R$ $\Phi$

{\frac {\partial R}{\partial x))=R{\frac {\partial \Phi}{\partial y));\quad {\frac {\partial R}{\partial y} }=-R{\frac {\partial \Phi }{\partial x)).

Og hvis funktionen og dens argument er udtrykt i det polære system på samme tid:

f(z)=R(r,\varphi )e^{i\Phi (r,\varphi )},

så bliver posten:

{\frac {\partial R}{\partial r))={\frac {R}{r)){\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi ));\quad R{\ frac {\partial \Phi }{\partial r))=-{\frac {\partial R}{r\partial \varphi ))

Den geometriske betydning af Cauchy-Riemann-betingelserne

Lad funktionen hvor være differentierbar. Overvej to familier af kurver (niveaulinjer) i det komplekse plan. $w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $z=x+iy,$ $(x, y)$

Første familie:

u(x,y)=konst.

Anden familie:

v(x,y)=konst.

Så betyder Cauchy-Riemann-betingelserne, at den første families kurver er ortogonale i forhold til den anden families kurver.

Algebraisk betydning af Cauchy-Riemann-betingelserne

Hvis vi betragter mængden af komplekse tal som et vektorrum over , så er værdien af den afledede af en funktion i et punkt en lineær afbildning fra et 2-dimensionelt vektorrum ind i sig selv ( -linearitet). Hvis vi betragter det som et endimensionelt vektorrum over , så vil den afledede i et punkt også være en lineær afbildning af det endimensionelle vektorrum ind i sig selv ( -linearitet), som i koordinater er en multiplikation med et komplekst tal . Det er klart, at hvert -lineært kort er -lineært. Da feltet (et-dimensionelt vektorrum) er isomorft i forhold til feltet af reelle matricer af formen med de sædvanlige matrixoperationer, pålægges Cauchy-Riemann-betingelserne elementerne i den jakobiske matrix af kortlægningen ved et punkt (mere præcist, kortlægningen ved et punkt ) er -linearitetsbetingelser , dvs. . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $f\colon {\mathbb {C}}\to {\mathbb {C}}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$ $f'(z)$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ $f$ $z$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon (x,y)\mapsto {\big (}u(x,y),v(x,y){\big )))$ $(x, y)$ $\mathbb {C}$ $f'(z)$ ${\tilde {f}}'(x,y)$

Historie

Disse forhold optrådte første gang i d'Alemberts værk ( 1752 ). I værket af Euler , rapporteret til St. Petersburg Academy of Sciences i 1777 , fik betingelserne for første gang karakter af et generelt kriterium for funktionernes analyticitet.

Cauchy brugte disse relationer til at konstruere en teori om funktioner, begyndende med en erindringsbog præsenteret for Paris Academy of Sciences i 1814 . Riemanns berømte afhandling om grundlaget for funktionsteorien går tilbage til 1851 .

Se også

Kompleks analyse

Litteratur

Evgrafov M. A. Analytiske funktioner. - 2. udg., revideret. og yderligere — M .: Nauka , 1968 . — 472 s.
Privalov II Introduktion til teorien om funktioner af en kompleks variabel: En manual for videregående uddannelse. - M. - L .: Statens Forlag, 1927 . — 316 s.
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka, 1974 . - 320 sek.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Pr. fra engelsk. - 2. udg., revideret. - M. : Nauka, 1980 . — 464 s.
Shabat BV Introduktion til kompleks analyse. — M .: Nauka, 1969 . — 577 s.
Cartan A. Differentialregning. differentielle former. — M .: Mir , 1971 . — 392 s.