Lineær algebraisk gruppe

En lineær algebraisk gruppe er en undergruppe af gruppen af inverterbare matricer (ved multiplikation ), der er defineret af polynomieligninger . Et eksempel er den ortogonale gruppe defineret af , hvor er den transponerede matrix M. $n\ gange n$ $M^{T}M=1$ $M^T$

Mange Lie-grupper kan ses som lineære algebraiske grupper over feltet af reelle eller komplekse tal. (For eksempel kan enhver kompakt Lie-gruppe betragtes som en lineær algebraisk gruppe over , ligesom mange ikke-kompakte grupper, såsom den simple Lie-gruppe .) Simple Lie-grupper blev klassificeret af Wilhelm Killing og Elie Joseph Cartan i 1880'erne og 1890'erne. På det tidspunkt tillagde de ingen betydning for, at strukturen af en gruppe kan defineres ved et polynomium , altså at der er tale om algebraiske grupper. Grundlæggerne af teorien om algebraiske grupper var Maurer $\mathbb {R}$ $SL(n,\mathbb {R} )$ ,Claude Chevalletog Kolchin[1]. I 1950'erneBoreldet meste af teorien om algebraiske grupper i sin moderne form.

En af de første anvendelser af teorien var definitionen af en gruppe af Lie type .

Eksempler

For en naturlig n er den fulde lineære gruppe GL ( n ) over feltet k , bestående af alle inverterbare matricer, en lineær algebraisk gruppe over k . Den indeholder undergrupper: $n\ gange n$

U\subset B\subset GL(n)

bestående af matricer af formen

\left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end {array}}\right)

og .

\left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)

Gruppen kaldes den multiplikative gruppe . Det vil sige, at gruppen er gruppen af k * ikke-nul elementer i feltet k ved multiplikation. Additivgruppen , med (ved addition), kan udtrykkes som en matrixgruppe, for eksempel som en undergruppe af U i GL (2): $G_{m}=GL(1)$ $G_{m}(k)$ $G_a$ $G_{a}(k)=k$

{\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.

Disse to grundlæggende eksempler på kommutative lineære algebraiske grupper, multiplikative og additive, opfører sig meget forskelligt med hensyn til deres lineære repræsentationer (som algebraiske grupper). Enhver repræsentation af en multiplikativ gruppe er en direkte sum af irreducerbare repræsentationer . (Deres irreducible repræsentationer er alle af dimension 1 og har formen for et heltal n .) I modsætning til den multiplikative gruppe er den eneste irreducible repræsentation af en additiv gruppe den trivielle repræsentation. Så enhver repræsentation (såsom 2D-repræsentationen ovenfor) er en itereret udvidelse trivielle repræsentationer, ikke en direkte sum (medmindre repræsentationen er triviel). Den strukturelle teori om lineære algebraiske grupper analyserer enhver lineær algebraisk gruppe i forhold til disse to grundlæggende grupper og deres generaliseringer, tori og unipotente grupper. $G_{m}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{n))$ $G_a$ $G_a$

Definitioner

For et algebraisk lukket felt k er en væsentlig del af strukturen af en algebraisk variant X over k kodet i dens mængde X ( k ), hvor k er rationelle punkter , hvilket tillader en elementær definition af en lineær algebraisk gruppe . Lad os først definere en funktion fra den abstrakte gruppe GL ( n , k ) til k som regulær , hvis den kan skrives som et polynomium i elementerne i matricen A og i 1/det( A ), hvor det betyder determinanten . Så er en lineær algebraisk gruppe G over et algebraisk lukket felt k en undergruppe G ( k ) af den abstrakte gruppe GL ( n , k ) for nogle naturlige n , således at G ( k ) defineres ved at tildele et sæt regulære funktioner til nul . $n\ gange n$

For et vilkårligt felt k defineres en algebraisk variation over k som et særligt tilfælde af skemaer over k . I dette sprog er en lineær algebraisk gruppe G over et felt k et glat lukket undergruppeskema af gruppen GL ( n ) over k for nogle naturlige n . Især er G defineret ved at tildele nul til et sæt regulære funktioner i GL ( n ) over k , og disse funktioner skal have den egenskab, at for enhver kommutativ k - algebra er RG ( R ) en undergruppe af den abstrakte gruppe GL ( n , R ). (En sådan algebraisk gruppe G over k er ikke bare en abstrakt gruppe G ( k ), men snarere en hel familie af grupper G ( R ) for kommutative k - algebraer R ; dette er filosofien om at beskrive et skema ved dets punktfunktion .)

På et andet sprog er der forestillingen om en homomorfi af lineære algebraiske grupper. For eksempel, hvis k er algebraisk lukket, er homomorfi fra til en abstrakt gruppe homomorfi , som er defineret af regulære funktioner på G. Dette tager lineære algebraiske grupper over k ind i kategorien . Dette definerer især, hvad det betyder, at to lineære algebraiske grupper er isomorfe . $G\subset GL(m)$ $H\subset GL(n)$ $G(k)\til H(k)$

I skemasproget er en lineær algebraisk gruppe G over et felt k især et gruppeskema over k , hvilket betyder skema over k , sammen med k -punktet og morfismer $1\in G(k)$

m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G

over k , der opfylder de sædvanlige multiplikationsaksiomer (associativitet, identitet, reversibilitet). Den lineære algebraiske gruppe er også glat og endelig over k , og den er affin (som et skema). Omvendt har ethvert affint gruppeskema G af finit type over et felt k en trofast repræsentation i GL ( n ) over k for nogle n [2] . Et eksempel er indlejring af en additivgruppe i GL (2) som nævnt ovenfor. Som et resultat kan man betragte lineære algebraiske grupper enten som matrixgrupper eller mere abstrakt som glatte affine gruppeskemaer over et felt. (Nogle forfattere bruger udtrykket "lineær algebraisk gruppe" for ethvert affint gruppeskema af endelig type over et felt.) $G_a$

For en fuldstændig forståelse af lineære algebraiske grupper kan man overveje mere generelle (ikke-glatte) gruppeskemaer. Lad f.eks. k være et algebraisk lukket felt med karakteristika p > 0. Så genererer homomorfien defineret af udtrykket en abstrakt gruppeisomorfi , men f er ikke en algebraisk gruppeisomorfi (fordi det ikke er en regulær funktion). I sproget med gruppeskemaer er grunden til, at f ikke er en isomorfi, klar - f er surjektiv, men har en ikke-triviel kerne , nemlig gruppeskemaet med pth- rødder til enhed. Dette problem opstår ikke, når karakteristikken er nul. Desuden er ethvert gruppeskema af endelig type over et felt k med karakteristisk nul glat over k [3] . Et gruppeskema af endelig type over et hvilket som helst felt k er glat over k , hvis og kun hvis det er geometrisk reduceret , hvilket betyder, at baseændringen er reduceret , hvor er den algebraiske lukning af feltet k [4] . ${\displaystyle f\colon G_{m}\to G_{m))$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p))$ ${\displaystyle k^{\ast }\to k^{\ast ))$ $x^{\tfrac {1}{p}}$ $\mu _{p}$ $G_{\overline {k))$ ${\overline {k))$

Da et affint skema X er defineret af dets ring O ( X ) af regulære funktioner, er skemaet for en affin gruppe G over et felt k defineret af ringen O ( G ) med dets Hopf-algebrastruktur (opstået fra multiplikation og inverse afbildninger på G ). Dette giver en kategoriækvivalens (inverterede pile) mellem gruppeskemaer over k og kommutative Hopf-algebraer over k . For eksempel er Hopf-algebraen, der svarer til den multiplikative gruppe , en Laurent-polynomiumring med comultiplication givet af $G_{m}=GL(1)$ $k[x,x^{-1}]$

x\mapsto x\nogle gange x.

Grundlæggende begreber

For en lineær algebraisk gruppe G over et felt k er identitetskomponenten G o ( den forbundne komponent, der indeholder punktet 1) en normal undergruppe med endeligt indeks . Så der er en gruppeudvidelse

1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1,

hvor F er en endelig algebraisk gruppe. (For en algebraisk lukket k kan F identificeres ved en abstrakt endelig gruppe.) I lyset af dette fokuserer studiet af algebraiske grupper mest på forbundne grupper.

Forskellige begreber fra abstrakt gruppeteori kan udvides til lineære algebraiske grupper. Det er let nok at definere, hvad det betyder, at en lineær algebraisk gruppe er kommutativ , nilpotent eller kan bestemmes i analogi med definitioner i abstrakt gruppeteori. For eksempel er en lineær algebraisk gruppe løsbar , hvis den har en sammensætningsserie af lineære algebraiske undergrupper, således at kvotientgrupperne er kommutative. Også normalisatoren , centret og centralisatoren af en lukket undergruppe H af en lineær algebraisk gruppe G forstås naturligvis som et lukket gruppeunderskema af gruppen G. Hvis de er glatte over k , så er de lineære algebraiske grupper som defineret ovenfor.

Man kan spørge, i hvilket omfang egenskaberne af en forbundet lineær algebraisk gruppe G over et felt k er bestemt af den abstrakte gruppe G ( k ). Et nyttigt resultat i denne retning er, at hvis feltet k er perfekt (f.eks. med karakteristisk nul), eller hvis gruppen G er reduktiv (som defineret nedenfor), så er G unirational over k . Så hvis derudover k er uendelig, er gruppen G ( k ) Zariski tæt i G [5] . For eksempel, under ovenstående antagelser, er G kommutativ, nilpotent eller kan bestemmes, hvis og kun hvis G ( k ) har den tilsvarende egenskab.

Forbindelsesantagelsen kan ikke udelades fra disse resultater. Lad os f.eks. sige, at G er gruppen af kubusrødder af enhed over rationelle tal . Så er G en lineær algebraisk gruppe, som ikke er Zariski tæt i G , fordi det er en gruppe af orden 3. $\mu _{3}\subset GL(1)$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $G(\mathbb {Q} )=1$ $G({\overline {\mathbb {Q} }})$

Over et algebraisk lukket felt er der et mere stringent resultat om algebraiske grupper som algebraiske varianter - enhver lineær algebraisk gruppe over et algebraisk lukket felt er en rationel variant [6] .

Løgnalgebra for en algebraisk gruppe

Lie-algebraen for en algebraisk gruppe G kan defineres på flere ækvivalente måder - som et tangentrum til et neutralt element eller som et rum med venstre-invariante differentialer . Hvis k er algebraisk lukket, er en differential over k af koordinatringen af G venstre-invariant, hvis $\mathfrak g$ $T_{1}(G)$ $1\in G(k)$ $D\colon O(G)\to O(G)$

D\lambda _{x}=\lambda _{x}D

for et hvilket som helst x fra G ( k ) hvor genereret ved venstre multiplikation med x . For et vilkårligt felt k defineres en venstre-invariant differential som en analog af ligheden mellem to lineære afbildninger [7] . Lie-parentesen af to differentialer er defineret som . $\lambda _{x}\colon O(G)\to O(G)$ $O(G)\to O(G)\nogle gange O(G)$ $[D_{1},D_{2}]=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}$

At gå fra G til er en differentieringsproces . For et element er den afledte i konjugationskortlægningen en automorfi , der giver den adjunkte repræsentation : $\mathfrak g$ $x\in G(k)$ $1\in G(k)$ ${\displaystyle G\to G,g\mapsto xgx^{-1))$ $\mathfrak g$

\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g))).

Over et felt med karakteristisk nul er en forbundet undergruppe H af en lineær algebraisk gruppe G entydigt bestemt af dens Lie-algebra [8] . Det er dog ikke alle Lie-subalgebraer, der svarer til en algebraisk undergruppe G , som det kan ses af eksemplet med en torus over . I positiv karakteristik kan der være mange forskellige forbundne undergrupper af G med den samme Lie-algebra (igen giver torus et eksempel). Af denne grund, selvom Lie-algebraen for en algebraisk gruppe er vigtig, kræver den strukturelle teori om algebraiske grupper mere globale midler. ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ $\mathfrak g$ $G=(G_{m})^{2}$ $\mathbb {C}$ $G=(G_{m})^{2}$

Halvsimple og unipotente elementer

For et algebraisk lukket felt k siges en matrix g fra GL ( n , k ) at være semisimpel , hvis den er diagonaliserbar og unipotent, hvis matrixen g −1 er nilpotent . Tilsvarende er g unipotent, hvis alle egenværdierne af g er 1. Det følger af Jordan-normalformen for matricer, at ethvert element g i GL ( n , k ) kan skrives unikt som et produkt , således at det er semisimpelt, unipotent , og desuden, og pendler med hinanden. ${\displaystyle g=g_{ss}g_{u))$ ${\displaystyle g_{ss))$ ${\displaystyle g_{u))$ ${\displaystyle g_{ss))$ ${\displaystyle g_{u))$

For ethvert felt k siges et element g af GL ( n , k ) at være semisimpelt, hvis det bliver diagonaliserbart over den algebraiske lukning af feltet k . Hvis feltet k er perfekt, så ligger de semisimple og unipotente dele af elementet g også i . Endelig, for enhver lineær algebraisk gruppe over et felt k , definerer vi et k -punkt i gruppen G som semisimple eller unipotent, hvis det er semisimple eller unipotent i . (Disse egenskaber er faktisk uafhængige af valget af en nøjagtig repræsentation af G .) Hvis feltet k er perfekt, så ligger de semisimple og unipotente dele af k -punktet i gruppen G automatisk i G . Det vil sige ( Jordan-nedbrydning ) ethvert element g i gruppen G ( k ) kan entydigt skrives som et produkt i G ( k ), således at elementet er semisimpelt, unipotent og desuden pendler [ 9] . Dette reducerer problemet med at beskrive konjugationsklasser i G ( k ) til semisimple og unipotente tilfælde. $GL(n,k)$ $G\subset GL(n)$ $GL(n,k)$ ${\displaystyle g=g_{ss}g_{u))$ ${\displaystyle g_{ss))$ ${\displaystyle g_{u))$ ${\displaystyle g_{ss))$ ${\displaystyle g_{u))$

Tora

En torus over et algebraisk lukket felt k betyder en gruppe, der er isomorf med produktet af n kopier af en multiplikativ gruppe over k for nogle naturlige n . For en lineær algebraisk gruppe G betyder udtrykket maksimal torus i G en torus i G , der ikke er indeholdt i nogen anden større torus. For eksempel er gruppen af diagonale matricer i GL ( n ) over k en maksimal torus i GL ( n ), isomorf . Hovedresultatet af teorien er, at enhver to maksimale tori i en gruppe G over et algebraisk lukket felt k er konjugeret af et eller andet element fra G ( k ) [10] . Udtrykket rang af en gruppe G betyder dimensionen af enhver maksimal torus. $(G_{m})^{n}$ $(G_{m})^{n}$

For et vilkårligt felt k betyder en torus T over k en lineær algebraisk gruppe over k , hvis base ændres til den algebraiske lukning af feltet k er isomorf over for nogle naturlige n . En split torus over k betyder en gruppe isomorf over k for nogle n . Et eksempel på en ikke-delt torus over reelle tal er $T_{\overline {k))$ $(G_{m})^{n}$ ${\overline {k))$ $(G_{m})^{n}$ $\mathbb {R}$

T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},

med gruppestrukturen givet af formlen for multiplikation af komplekse tal x + iy . Her er T en torus med dimension 1 over . Den er ikke-opdelt, da gruppen af reelle punkter er en cyklisk gruppe , som ikke er isomorf, selv som en abstrakt gruppe . $\mathbb {R}$ $T(\mathbb {R} )$ ${\displaystyle G_{m}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{\ast ))$

Ethvert punkt på torusen over feltet k er semisimpelt. Omvendt, hvis G er en forbundet lineær algebraisk gruppe, således at ethvert element er semisimpelt, så er G en torus [11] . $G({\overline {k)))$

For en lineær algebraisk gruppe G over et generelt felt k , kan man ikke forvente, at alle maksimale tori i G over k er konjugeret af et element fra G ( k ). For eksempel vises både den multiplikative gruppe Gm og den cykliske gruppe T ovenfor som maksimal tori i SL (2) over . Det er dog altid sandt, at enhver to maksimale opdelte tori i G over k (hvilket betyder opdelt tori i G , der ikke er indeholdt i større opdelte tori) er konjugeret af et eller andet element fra G ( k ) [12] . Som et resultat giver det mening at definere k - rangen eller opdelingsrangen for en gruppe G over k som dimensionen af enhver maksimal splittorus i G over k . $\mathbb {R}$

For enhver maksimal torus T i en lineær algebraisk gruppe G over et felt k viste Grothendieck, hvad der er en maksimal torus i [13] . Det følger af dette, at to maksimale tori i G over et felt k har samme dimension, selvom de måske ikke er isomorfe. $T_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

Unipotente grupper

Lade være en gruppe af øvre trekantede matricer i over et felt k med enhed diagonale indgange. Et gruppeskema over et felt k (såsom en lineær algebraisk gruppe) siges at være unipotent, hvis det er isomorft i forhold til et lukket gruppeunderskema for nogle n . Det er nemt at kontrollere, at gruppen er nilpotent. Som følge heraf er ethvert skema for en unipotent gruppe nilpotent. $U_{n}$ $GL(n)$ $U_{n}$ $U_{n}$

En lineær algebraisk gruppe G over et felt k er unipotent, hvis og kun hvis et element i gruppen er unipotent [14] . $G({\overline {k)))$

Gruppen af øvre trekantede matricer i er et halvdirekte produkt $B_{n}$ $GL(n)$

B_{n}=T_{n}\ltime U_{n},

hvor er en diagonal torus . Mere generelt er enhver forbundet opløselig lineær algebraisk gruppe et halvdirekte produkt af en torus og en unipotent gruppe [15] . $T_{n}$ $(G_{m})^{n}$ $T\ltime U$

En glat forbundet unipotent gruppe over et perfekt felt k (for eksempel et algebraisk lukket felt) har en sammensætningsserie med alle faktorgrupper isomorfe med additivgruppen [16] . $G_a$

Borel undergrupper

Borel-undergrupper er vigtige for den strukturelle teori om lineære algebraiske grupper. For en lineær algebraisk gruppe G over et algebraisk lukket felt k betyder Borel-undergruppen af G den maksimalt forbundne opløselige undergruppe. For eksempel er en af Borel-undergrupperne i gruppenundergruppen B i gruppen af øvre trekantede matricer (alle indgange under diagonalen er nul). $GL(n)$

Det grundlæggende resultat af teorien er, at alle to Borel-undergrupper af en forbundet gruppe G over et algebraisk lukket felt k er konjugeret af et eller andet element fra G ( k ) [17] . (Standardbeviset bruger Borel Fixed Point Theorem : Hvis en forbundet opløselig gruppe G virker på en korrekt variant X over et algebraisk lukket felt k , er der et k - punkt i X , der forbliver fast under handlingen af gruppen G. ) Konjugering af Borel-undergrupper i GL ( n ) er ækvivalent med Lie-Kolchin-sætningen — enhver glat forbundet opløselig undergruppe af GL ( n ) er konjugeret til en undergruppe af en øvre trekantet undergruppe i GL ( n ).

For et vilkårligt felt k er en Borel-undergruppe B i en gruppe G defineret som en undergruppe over k , således at over den algebraiske lukning af feltet k er en Borel-undergruppe af gruppen . Så kan gruppen G have eller ikke have en Borel-undergruppe over k . ${\overline {k))$ $B_{\overline {k))$ $G_{\overline {k))$

For et lukket gruppe underskema H i en gruppe G er kvotientrummet G / H et jævnt kvasiprojektivt skema over k [18] . En glat undergruppe P af en forbundet gruppe G siges at være parabolsk , hvis G / P er en projektiv varietet over k (eller tilsvarende, egentlig over k ). En vigtig egenskab ved en Borel-undergruppe B er, at G / B er en projektiv varietet, kaldet flagvarianten for gruppen G. Det vil sige, at Borel-undergrupper er parabolske undergrupper. Mere præcist, for et algebraisk lukket felt k , er Borel-undergrupperne nøjagtigt de minimale parabolske undergrupper af gruppen G. Omvendt er enhver undergruppe, der indeholder en Borel-undergruppe, parabolsk [19] . Man kan således optælle alle parabolske undergrupper af G (op til konjugation fra G ( k )) ved at optælle alle lineære algebraiske undergrupper af G , der indeholder en fast Borel-undergruppe. For eksempel inkluderer undergrupper over k , der indeholder Borel-undergruppen B af øvre trekantede matricer, selve undergruppen B , hele gruppen GL (3) og mellemliggende undergrupper $P\subset GL(3)$

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}

\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.

De tilsvarende projektive homogene rum er (henholdsvis): flagvarianten for alle kæder af lineære underrum $GL(3)/P$

{\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3))

med dimension i ; prik; det projektive rum af linjer (endimensionelle vektorunderrum ) i og det dobbelte projektive rum af planer i . $V_i$ $\mathbb {P} _{2}$ $A_{3}$ $\mathbb {P} _{2}$ $A_{3}$

Semisimple og reduktive grupper

En forbundet lineær algebraisk gruppe G over et algebraisk lukket felt siges at være semisimpel , hvis en glat forbundet opløselig normal undergruppe af G er triviel. Mere generelt siges en forbundet lineær algebraisk gruppe G over et algebraisk lukket felt at være reduktiv , hvis en glat forbundet unipotent normal undergruppe af G er triviel [20] . (Nogle forfattere kræver ikke, at reduktive grupper er forbundet.) En semisimpel gruppe er reduktiv. En gruppe G over et vilkårligt felt k kaldes semisimple eller reduktiv, hvis den er semisimple eller reduktiv. For eksempel er en matrixgruppe med determinant 1 over et hvilket som helst felt k semisimple, mens en ikke-trivial torus er reduktiv, men ikke semisimple. Tilsvarende er gruppen reduktiv, men ikke semisimpel (fordi dens centrum er en ikke-triviel glat forbundet opløselig normal undergruppe). $G_{\overline {k))$ $SL(n)$ $n\ gange n$ $GL(n)$ $G_{m}$

Enhver kompakt forbundet Lie-gruppe har en kompleksificering , som er en kompleks reduktiv algebraisk gruppe. Faktisk giver denne konstruktion en en-til-en overensstemmelse mellem kompakte forbundne Lie-grupper og komplekse reduktive grupper op til isomorfi [21] [22] .

En lineær algebraisk gruppe G over et felt k kaldes simpel (eller k - simpel ), hvis den er semisimple, ikke-triviel, og enhver glat forbundet normal undergruppe af G over k er triviel eller lig med G [23] . (Nogle forfattere kalder sådanne grupper "næsten simple".) Dette adskiller sig lidt fra abstrakte gruppers terminologi, idet en simpel algebraisk gruppe kan have et ikke-trivielt center (selvom centret skal være endeligt). For eksempel, for ethvert heltal n ikke mindre end 2 og ethvert felt k , er gruppen over k simpel, og dens centrum er gruppeskemaet for de n'te rødder til enhed. $SL(n)$ $\mu _{n}$

Enhver forbundet lineær algebraisk gruppe G over et perfekt felt k er (entydigt) en forlængelse af den reduktive gruppe R med hensyn til en glat forbundet unipotent gruppe U , kaldet det unipotente radikal i gruppen G :

1\to U\to G\to R\to 1.

Hvis k har karakteristisk nul, så er der en mere nøjagtig Levi-nedbrydning — enhver forbundet lineær algebraisk gruppe G over k er et halvdirekte produkt af en reduktiv gruppe og en unipotent gruppe [24] . $R\ltimes U$

Klassifikation af reduktive grupper

Reduktive grupper omfatter i praksis de vigtigste lineære algebraiske grupper såsom de klassiske grupper : , de ortogonale grupper SO ( n ) og de symplektiske grupper Sp ( 2n ). På den anden side er definitionen af reduktive grupper "negativ", og det er ikke klart, hvad der kan forventes af dem. Chevalley gav en komplet klassifikation af reduktive grupper over et algebraisk lukket felt - de bestemmes af roddata [25] . Især er simple grupper over et algebraisk lukket felt k klassificeret (op til en faktor ved endelige centrale gruppe-underskemaer) ved deres Dynkin-diagrammer . Påfaldende nok er denne klassifikation ikke afhængig af karakteristikken k . For eksempel kan exceptionelle Lie-grupper defineres i enhver karakteristik (og endda for ethvert gruppeskema over ). Klassifikationen af simple finite grupper siger, at de fleste finite simple grupper opstår som en gruppe af k - punkter i en simpel algebraisk gruppe over et endeligt felt k , eller som variationer af en sådan konstruktion. $GL(n),SL(n)$ ${\displaystyle G_{2},F_{4},E_{6},E_{7},E_{8))$ $\mathbb {Z}$

Enhver reduktiv gruppe over et felt er en faktor af det endelige centrale gruppeskema af produktet af en torus og nogle simple grupper. For eksempel,

GL(n)\cong (G_{m}\ gange SL(n))/\mu _{n}.

For et vilkårligt felt k siges en reduktiv gruppe G at være opdelt , hvis den indeholder en maksimal opdelt torus over k (det vil sige en opdelt torus i G , der forbliver maksimal over den algebraiske lukning af feltet k ). For eksempel er GL ( n ) en delt reduktiv gruppe over et hvilket som helst felt k . Chevalley viste, at klassificeringen af opdelte reduktive grupper er den samme over ethvert felt. I modsætning hertil kan klassificeringen af vilkårlige reduktive grupper være vanskelig afhængigt af det underliggende felt. For eksempel definerer enhver ikke-degenereret kvadratisk form q over et felt k en reduktiv gruppe SO ( q ), og enhver central simpel algebra A over k definerer en reduktiv gruppe . Som et resultat heraf involverer problemet med at klassificere reduktive grupper over k i det væsentlige problemet med at klassificere alle kvadratiske former over k eller alle centrale simple algebraer over k . Disse problemer er lette for en algebraisk lukket k , og de er forståelige for nogle andre felter, såsom talfelter , men der er mange åbne spørgsmål til felter af vilkårlig form. $SL_{1}(A)$

Ansøgninger

Repræsentationsteori

En grund til vigtigheden af reduktive grupper kommer fra repræsentationsteori. Enhver irreducerbar repræsentation af en umagt gruppe er triviel. Mere generelt, for enhver lineær algebraisk gruppe G skrevet som en forlængelse

1\to U\to G\to R\to 1

med unipotent U og reduktiv R passerer enhver irreducerbar repræsentation af gruppen G gennem R [26] . Dette fokuserer opmærksomheden på repræsentationsteorien for reduktive grupper. (For klarhedens skyld er de repræsentationer, der tages i betragtning her, repræsentationer af gruppen G som en algebraisk gruppe . Så for en gruppe G over et felt k , er repræsentationerne repræsentationer på k -vektorrum, og handlingerne af gruppen G er givet ved regulære En vigtig, men ganske anderledes opgave er klassificeringen af kontinuerte grupperepræsentationer for en reel reduktiv gruppe G og andre lignende problemer over andre felter.) $SL(2,\mathbb {R} )$

Chevalley viste, at irreducible repræsentationer af en delt reduktiv gruppe over et felt k har en endelig dimension og er indekseret af dominerende vægte [27] . Dette er nøjagtigt det samme som i repræsentationsteorien for kompakte forbundne Lie-grupper eller den finit-dimensionelle repræsentationsteori for komplekse semisimple Lie-grupper . For karakteristisk nul er alle disse teorier i det væsentlige ækvivalente. Især er enhver repræsentation af en reduktiv gruppe G over et felt med karakteristisk nul en direkte sum af irreducerbare repræsentationer, og hvis gruppen G er opdelt, er tegnene af de irreducible repræsentationer givet af Weil-formlen for tegn . Borel-Weil-sætningen giver en geometrisk konstruktion af irreducible repræsentationer af en reduktiv gruppe G med karakteristisk nul som mellemrum af sektioner af et linjebundt over flagvarianten G / B .

Repræsentationer af reduktive grupper (andre end tori) over et felt med positiv karakteristik p er meget mindre undersøgt. I denne situation er repræsentationen ikke nødvendigvis en direkte sum af irreducerbare repræsentationer. Og selvom irreducible repræsentationer er indekseret efter dominerende vægte, kendes dimensionerne og karaktererne af irreducible repræsentationer kun i nogle tilfælde. Andersen, Jantzen og Sörgel [28] definerede disse karakterer (beviser Lustigs formodning), når karakteristikken p er stor nok i forhold til gruppens Coxeter-tal . For små primtal p er der ikke engang en formodning.

Gruppehandlinger og geometrisk invariant teori

Virkningen af gruppeskemaet en lineær algebraisk gruppe G på en varietet (eller skema) X over et felt k er en morfisme

G\time _{k}X\to X

som opfylder gruppehandlingsaksiomerne . Som i andre typer gruppeteori er det vigtigt at studere gruppehandlinger, da grupper opstår naturligt som symmetrier af geometriske objekter.

En del af teorien om gruppehandlinger er teorien om geometriske invarianter , hvis mål er at konstruere en kvotientvariant X / G , der beskriver sættet af baner for en lineær algebraisk gruppe G på X som en algebraisk variant. Der opstår forskellige vanskeligheder. For eksempel, hvis X er en affin variant, kan man forsøge at konstruere X / G som spektret af den invariante ring . Masayoshi Nagata viste imidlertid, at den invariante ring ikke ville blive endeligt genereret som en k - algebra (og derfor ville ringens spektrum være et skema, ikke en sort), hvilket giver et negativt svar på Hilberts fjortende problem . I den positive retning genereres invariante ringe endeligt af Hebausch-sætningen , hvis G er reduktiv, som Hilbert og Nagata beviste i karakteristisk nul. ${\displaystyle O(X)^{G))$

Geometrisk invariant teori oplever yderligere subtile punkter, når en reduktiv gruppe G virker på en projektiv sort X. Især definerer teorien åbne delmængder af "stabile" og "semistabile" punkter fra X med en faktoriel morfisme kun defineret på sættet af semistabile punkter.

Relaterede begreber

Lineære algebraiske grupper tillader variation i flere retninger. Hvis vi udelader kravet om eksistensen af en invers mapping , får vi begrebet en lineær algebraisk monoid [29] . $i\colon G\to G$

Løgngrupper

For en lineær algebraisk gruppe G over feltet af reelle punkter er gruppen af reelle punkter en Lie-gruppe, hovedsagelig fordi de reelle polynomier, der beskriver multiplikation i G , er glatte funktioner . Tilsvarende er G over for en algebraisk gruppe en kompleks Lie-gruppe . Meget af teorien om algebraiske grupper er blevet udviklet i analogi med Lie-grupper. $\mathbb {R}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $C,SL(2,\mathbb {C} )$

Der er flere grunde til, at en Lie-gruppe måske ikke har strukturen som en lineær algebraisk gruppe over . $\mathbb {R}$

En Lie-gruppe med en uendelig gruppe af komponenter G/G o kan ikke realiseres som en lineær algebraisk gruppe.
En algebraisk gruppe G over kan forbindes som en algebraisk gruppe, mens en Lie-gruppe ikke er forbundet som for blot forbundne grupper. For eksempel er en algebraisk gruppe SL (2) simpelthen forbundet over et hvilket som helst felt, hvis Lie-gruppen har en fundamental gruppe , der er isomorf til heltal . Det dobbelte dæksel H af gruppen , kendt som den metaplektiske gruppe , er en Lie-gruppe, der ikke kan betragtes som en lineær algebraisk gruppe over . Mere strengt har H ikke en finitdimensional nøjagtig repræsentation. $\mathbb {R}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $\mathbb {Z}$ $SL(2,\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$
Anatoly I. Maltsev viste, at enhver simpel simpelt forbundet nilpotent Lie-gruppe kan betragtes som en unipotent algebraisk gruppe G over et unikt billede [30] . (Som en mangfoldighed er G isomorf til et affint rum af en eller anden dimension over .) I modsætning hertil er der simpelthen forbundne opløselige Lie-grupper, som ikke kan betragtes som rigtige algebraiske grupper. For eksempel har det universelle dæksel H af et semidirekte produkt et center isomorf til , som ikke er en lineær algebraisk gruppe, og derfor kan H ikke betragtes som en lineær algebraisk gruppe over . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\displaystyle S^{1}\ltimes \mathbb {R} ^{2))$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$

Abelske sorter

Algebraiske grupper , der ikke er affine, opfører sig meget forskelligt. Især kaldes et glat forbundet gruppeskema, der er en projektiv sort over et felt, en abelsk sort . I modsætning til lineære algebraiske grupper er enhver abelsk variant kommutativ. Imidlertid har Abelske sorter en rig teori. Selv tilfældet med elliptiske kurver (Abelske varianter af dimension 1) er centralt for talteori og har anvendelser, herunder beviset for Fermats sidste sætning .

Tannakian kategorier

Finitdimensionelle repræsentationer af en algebraisk gruppe G , sammen med tensorproduktet af repræsentationer, danner Tannakie-kategorien Rep G . Faktisk svarer Tannakian-kategorier med en "lagfunktion" over et felt til affine gruppeskemaer. (Ethvert affint gruppeskema over et felt k er proalgebraisk i den forstand, at det er den projektive grænse for affingruppeskemaer af finit type over k [31] ). For eksempel er Mumford-Tate-gruppen og den motiviske Galois-gruppe konstrueret ved hjælp af denne formalisme. Nogle egenskaber for en (pro-)algebraisk gruppe G kan fås fra dens kategori af repræsentationer. For eksempel, over et felt med karakteristisk nul er Rep G en semisimple kategori hvis og kun hvis identitetskomponenten i gruppen G er reducerbar [32] .

Se også

Lie type grupper er endelige simple grupper konstrueret ud fra simple algebraiske grupper over endelige felter.
Lengs sætning
Generaliseret flagmanifold , Bruhat-nedbrydning , Par (B, N) , Weil-gruppe , Cartan-undergruppe , adjoint type gruppe , Parabolisk induktion
Reel form (løgnteori) , Satake-diagram
Algebraisk gruppe af adeles , Weils formodning om Tamagawa-tal
Langlands Classification , Langlands Program , Langlands Geometric Program
Torsor , Ikke -abisk kohomologi , Specialgruppe , Kohomologisk invariant , Grunddimensioner , Kneser-Bytter formodning , Serra II formodning
Pseudo-reduktiv gruppe
Differential Galois teori

Noter

↑ Kolchin, 1948 .
↑ Milne, 2017 , s. Konsekvens 4.10.
↑ Milne, 2017 , s. Følge 8,39.
↑ Milne, 2017 , s. Proposition 1.26(b).
↑ Borel, 1991 , s. Sætning 18.2, konsekvens 18.4.
↑ Borel, 1991 , s. Note 14.14.
↑ Milne, 2017 , s. afsnit 10.e.
↑ Borel, 1991 , s. afsnit 7.1.
↑ Milne, 2017 , s. Sætning 9.18.
↑ Borel, 1991 , s. Konsekvens 11.3.
↑ Milne, 2017 , s. Følge 17.25.
↑ Springer, 1998 , s. Sætning 15.2.6.
↑ Borel, 1991 , s. 18.2(i).
↑ Milne, 2017 , s. Konsekvens 14.12.
↑ Borel, 1991 , s. Sætning 10.6.
↑ Borel, 1991 , s. Sætning 15.4(iii).
↑ Borel, 1991 , s. Sætning 11.1.
↑ Milne, 2017 , s. Sætningerne 7.18, 8.43.
↑ Borel, 1991 , s. Konsekvens 11.2.
↑ Milne, 2017 , s. Definition 6.46.
↑ Bröcker, tom Dieck, 1985 , s. afsnit III.8.
↑ Conrad, 2014 , s. afsnit D.3.
↑ Conrad, 2014 , s. Forslag 5.1.17.
↑ Conrad, 2014 , s. Forslag 5.4.1.
↑ Springer, 1998 , s. 9.6.2, 10.1.1.
↑ Milne, 2017 , s. Lemma 19.16.
↑ Milne, 2017 , s. Sætning 22.2.
↑ Andersen, Jantzen, Soergel, 1994 .
↑ Renner, 2006 .
↑ Milne, 2017 , s. Sætning 14.37.
↑ Deligne, Milne, 1982 , s. Konsekvens II.2.7.
↑ Deligne, Milne, 1982 , s. Bemærkning II.2.28.

Litteratur

Henning Haahr Andersen, Jens Carsten Jantzen, W. Soergel. Repræsentationer af kvantegrupper ved en rod af enhed og af halvsimple grupper i karakteristisk p : Uafhængighed af p . - Société Mathématique de France , 1994. - Vol. 220. - (Asterisque).
Armand Borel . Lineære algebraiske grupper. — 2. - New York: Springer-Verlag, 1991. - ISBN 0-387-97370-2 . 1969 genudgivelse
- A. Borel. Lineære algebraiske grupper. - Moskva: Mir, 1972.
Theodor Brocker, Tammo tom Dieck. Repræsentationer af Compact Lie Groups. - Springer Nature , 1985. - ISBN 0-387-13678-9 .
Brian Conrad. Reduktive gruppeordninger // Autour des schémas en groups . - Paris: Société Mathématique de France , 2014. - Vol. 1. - S. 93–444. - ISBN 978-2-85629-794-0 .
Pierre Deligne , James S. Milne. Tannakian-kategorier // Hodge-cyklusser, motiver og Shimura-varianter . - Springer Nature , 1982. - T. 900. - S. 101-228. — (Forelæsningsnotater i matematik). — ISBN 3-540-11174-3 .
James E. Humphreys. Lineære algebraiske grupper. - Springer, 1975. - ISBN 0-387-90108-6 .
Kolchin ER Algebraiske matrixgrupper og Picard-Vessiot-teorien om homogene lineære almindelige differentialligninger // Annals of Mathematics . - 1948. - T. 49 . — S. 1–42 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1969111 .
Milne J.S. Algebraic Groups: Theory of Group Schemes of Finite Type over a Field . - Cambridge University Press , 2017. - ISBN 978-1107167483 .
Tony A. Springer. Lineære algebraiske grupper. — 2. - New York: Birkhäuser, 1998. - ISBN 0-8176-4021-5 . 1981 genudgivelse
Lex Renner. Lineære algebraiske monoider. - Springer, 2006. - (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 3-540-24241-4 .

Yderligere læsning

Lineær algebraisk gruppe / Michiel Hazewinkel, red.. - Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - (Encyclopedia of Mathematics). - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation