Langlands Program

I matematik er Langlandsuddannelsen et netværk af vidtrækkende og indflydelsesrige hypoteser om sammenhængen mellem talteori og geometri . Det blev foreslået af Robert Langlands i 1967 og 1970. Det søger at relatere Galois-grupper i algebraisk talteori til automorfe former og repræsentationsteorien for algebraiske grupper over lokale felter og adeles . Langlands-programmet, bredt anset for at være det største projekt inden for moderne matematisk forskning, blev beskrevet af Edward Frenkelsom "den store forenede matematikteori" [1] .

Langlands modtog 2018 Abelprisen for Langlands-programmet.

Kontekst

Langlands-programmet er bygget på de ideer, der er udviklet tidligere: filosofien om parabolske former , formuleret et par år tidligere af Harish-Chandra og Israel Gelfand i 1963, Harish-Chandras arbejde med semisimple Lie-grupper , og i tekniske termer, Selberg-sporformlen , etc.

Hovednyheden i Langlands' arbejde bestod udover teknisk dybde i formodninger om en direkte sammenhæng mellem teorien om automorfe former og repræsentationsteori med talteori, især om overensstemmelsen mellem morfismer i disse teorier ( funktionalitet ).

For eksempel finder man i Harish-Chandras arbejde princippet om, at det, der kan gøres for en semisimple (eller reduktiv) Lie-gruppe , skal gøres for alle. Derfor, når først nogle lavdimensionelle Lie-gruppers rolle blev anerkendt, såsom i teorien om modulære former, og med bagklogskab i klassefeltteori , var vejen åben i det mindste for antagelsen om den generelle sag . $\mathrm {GL} (2)$ $\mathrm {GL} (1)$ $\mathrm {GL} (n)$ $n>2$

Ideen om spidsform kom fra spidser på modulære kurver , men havde også en betydning, set i spektralteorien som et diskret spektrum , i kontrast til det kontinuerlige spektrum fra Eisenstein-serien . Det bliver meget mere teknisk for store Lie-grupper, fordi parabolske undergrupper er flere.

I alle disse tilgange var der ingen mangel på tekniske metoder, ofte induktive af natur og baseret på Levy-nedbrydning blandt andet, men feltet var og forbliver meget krævende [3] .

På siden af modulære former var der eksempler som Hilberts modulære former , Siegels modulære former og theta-serien .

Objekter i hypotesen

Der er en række relaterede Langlands-hypoteser. Der er mange forskellige grupper inden for mange forskellige områder, som de kan angives for, og for hvert område er der flere forskellige hypoteser [2] . Nogle versioner af Langlands-formodningerne er ubestemte eller afhænger af enheder såsom Langlands-grupper , hvis eksistens ikke er blevet bevist, eller på en L - gruppe, som har flere ikke-ækvivalente definitioner. Desuden har Langlands' hypoteser udviklet sig siden Langlands først skitserede dem i 1967.

Der er forskellige typer objekter, som Langlands hypoteser kan formuleres for:

Repræsentationer af reduktive grupper over lokale felter (med forskellige undertilfælde svarende til arkimediske lokale felter, p - adiske lokale felter og færdiggørelser af funktionsfelter )
Automorfe former på reduktive grupper over lokale felter (med undersager svarende til talfelter eller funktionsfelter).
Slutfelter . Langlands overvejede oprindeligt ikke denne sag, men hans hypoteser har analoger til ham.
Mere generelle felter, såsom felterne af funktioner over feltet af komplekse tal.

Hypoteser

Der er flere forskellige måder at præsentere Langlands' hypoteser på, som er tæt beslægtede, men som ikke åbenlyst er ækvivalente.

Gensidighed

Udgangspunktet for programmet kan betragtes som Artins lov om gensidighed , som generaliserer den kvadratiske lov om gensidighed . Artins lov om gensidighed er gyldig i enhver Galois-udvidelse af et algebraisk talfelt, hvis Galois-gruppe er Abelian ; han tildeler nogle L - funktioner til endimensionelle repræsentationer af denne Galois-gruppe og hævder, at disse L - funktioner er identiske med nogle Dirichlet L -serier eller mere generelle serier konstrueret ud fra Hecke-karakterer (dvs. nogle analoger fra Riemann zeta-funktionen , såsom L -Hecke-funktioner ). Den nøjagtige overensstemmelse mellem disse forskellige slags L - funktioner udgør Artins lov om gensidighed.

For ikke-Abelske Galois-grupper og deres repræsentationer af dimension større end 1, kan L-funktioner også defineres på en naturlig måde: Artin L -funktioner .

Langlands' indsigt var at finde en ordentlig generalisering af Dirichlets L-funktioner, der ville tillade en generalisering af Artins formulering. Hecke havde tidligere forbundet Dirichlet L -funktioner med automorfe former ( holomorfe funktioner på det øvre halvplan , der opfylder visse funktionelle ligninger). Langlands generaliserede dem derefter til automorfe cuspidale repræsentationer , som er visse uendelig-dimensionelle irreducerbare repræsentationer af den generelle lineære gruppe over adele-ringen . (Denne ring holder styr på alle fuldførelser samtidigt , se p-adiske numre .) $\mathbb {C}$ $\mathrm {GL} (n)$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Langlands relaterede automorfe L-funktioner til disse automorfe repræsentationer og formodede, at enhver Artin L - funktion, der stammer fra en finitdimensional repræsentation af Galois-gruppen i et talfelt, er lig med en eller anden L -funktion, der stammer fra en automorf kuspidal repræsentation. Dette er kendt som hans gensidighedshypotese .

Groft sagt giver reciprocitetshypotesen en overensstemmelse mellem automorfe repræsentationer af en reduktiv gruppe og homomorfier fra Langlands-gruppen til L-grupper . Der er mange variationer på dette, blandt andet fordi definitionerne af en Langlands gruppe og en L - gruppe ikke er faste.

Dette forventes at give en parametrisering af L -pakker af tilladelige irreducerbare repræsentationer af en reduktiv gruppe over et lokalt felt. For eksempel over feltet af reelle tal er denne korrespondance Langlands-klassifikationen af repræsentationer af reelle reduktive grupper. Over globale felter skulle denne korrespondance give en parametrisering af automorfe former.

Funktionalitet

Funktionalitetsformodningen siger, at en passende L -gruppehomomorfi skal give en overensstemmelse mellem automorfe former (i det globale tilfælde) eller repræsentationer (i det lokale tilfælde). Groft sagt er Langlands Equivalence Conjecture et specialtilfælde af funktionalitetsformodningen, når en af de reduktive grupper er triviel.

Generaliseret funktionalitet

Langlands generaliserede ideen om funktionalitet: andre forbundne reduktive grupper kan bruges i stedet for den generelle lineære gruppe . Med en sådan gruppe konstruerer Langlands desuden en dobbeltgruppe , og derefter definerer han en L -funktion for hver automorf kuspidal repræsentation og enhver finitdimensional repræsentation . En af hans formodninger siger, at disse L - funktioner opfylder nogle funktionelle ligninger, der generaliserer de funktionelle ligninger for andre kendte L - funktioner . $\mathrm {GL} (n)$ $G$ $^{L}G$ $G$ $^{L}G$

Derefter formulerer han det meget generelle princip for funktionalitet . Givet to reduktive grupper og en (god) morfisme mellem de tilsvarende L -grupper, relaterer funktionsprincippet deres automorfe repræsentationer, så de er kompatible med deres L -funktioner. Mange andre eksisterende hypoteser følger heraf. Dette er arten af konstruktionen af den inducerede repræsentation , hvad der blev kaldt " løftning " i den mere traditionelle teori om automorfe former , kendt i særlige tilfælde og derfor kovariant (hvorimod den begrænsede repræsentation er kontravariant). Forsøg på at angive en direkte konstruktion har kun givet nogle betingede resultater.

Alle disse formodninger kan formuleres til mere generelle felter i stedet for : feltet for algebraiske tal (det oprindelige og vigtigste tilfælde), lokale felter og funktionsfelter (endelige udvidelser er felter med rationelle funktioner over et endeligt felt med elementer). $\mathbb {Q}$ $\mathbb {F} _{p}(t)$ $s$

Geometriske hypoteser

Det såkaldte geometriske Langlands-program, foreslået af Gerard Lomont efter Vladimir Drinfelds ideer , udspringer af en geometrisk omformulering af det sædvanlige Langlands-program. I simple tilfælde relaterer den -adiske repræsentationer af den étale fundamentale gruppe af en algebraisk kurve til objekter af den afledte kategori -adiske skiver på moduler af vektorbundter over kurven. $\ell$ $\ell$

Nuværende tilstand

Langlands' formodning for følger af (og svarer i det væsentlige til) klassefeltteori . $\mathrm {GL} (1,K)$

Langlands beviste Langlands-formodningerne for grupper over arkimedeanske lokale felter og , hvilket gav Langlands-klassificeringen af irreducible repræsentationer over disse felter. $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Lustigs klassificering af irreducible repræsentationer af grupper af Lie-type over endelige felter kan betragtes som en analog af Langlands-formodningerne for endelige felter.

Andrew Wiles' bevis på modulariteten af semistable elliptiske kurver over rationelle tal, givet af Andrew Wiles , kan ses som et eksempel på Langlands reciprocitetsformodning, da hovedideen er at relatere de Galois-repræsentationer, der opstår fra elliptiske kurver, til modulære former. Selvom Wiles' resultater er blevet væsentligt generaliseret i mange forskellige retninger, forbliver den fulde Langlands formodning for ubevist. $\mathrm {GL} (2,\mathbb {Q} )$

Laurent Lafforgue beviste Lafforgues teorem , Langlands formodning for den generelle lineære gruppe for funktionsfelter . Dette arbejde fortsatte Drinfelds tidligere arbejde, som beviste formodningen for sagen . $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$ $\mathrm {GL} (2,K)$

Lokale Langlands formodninger

Philip Kutsko i 1980 beviste de lokale Langlands-formodninger for den generelle lineære gruppe over lokale felter. $\mathrm {GL} (2,K)$

Gerard Lomon , Mikhail Rapoport , Ulrich Stüler i 1993 beviste de lokale Langlands-formodninger for den generelle lineære gruppe for lokale felter med positive karakteristika. Deres bevis bruger det globale argument. $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$

Richard Taylor , Michael Harris beviste i 2001 de lokale Langlands-formodninger for den generelle lineære gruppe for lokale felter med karakteristisk 0. Guy Henniart i 2000 gav endnu et bevis. Begge beviser bruger det globale argument. Peter Scholze i 2013 gav endnu et bevis. $\mathrm {GL} (n,K)$ $K$

Grundlæggende lemma

I 2008 beviste Ngo Bao Chau det grundlæggende lemma , som oprindeligt blev foreslået af Langlands i 1983 og var påkrævet for at bevise nogle vigtige formodninger i Langlands [4] [5] program .

Noter

↑ Math Quartet går sammen om Unified Theory . Quanta (8. december 2015). Hentet 13. juli 2018. Arkiveret fra originalen 23. juni 2021. (ubestemt)
↑ 1 2 Frenkel, Edward (2015), Kærlighed og matematik. The Heart of Hidden Reality , Peter, ISBN 978-5-496-01121-1
↑ "Det hele er, som min far udtrykte det, lidt tungt: vi har Hitchin moduli rum og spejlsymmetri, A-braner, B-braner, automorfe skiver ... At prøve at holde styr på alle ingredienserne kan nemt give dig hovedpine! Tro mig, selv blandt specialister kan kun få prale af at forstå alle aspekter af dette design .
↑ Ham Chau. Ngo Bao Chau, sommite mondiale des maths (fransk) . Le Courrier du Vietnam (15. februar 2009). Hentet 13. juli 2018. Arkiveret fra originalen 28. september 2011.
↑ Langlands, Robert P. (1983), Les debuts d'une formule des traces stable , bd. 13, Publications Mathematiques de l'Universite Paris VII [Mathematical Publications of the University of Paris VII], Paris: Universite de Paris VII UER de Mathematiques , < http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/endoscopy. html#debuts > Arkiveret 1. april 2018 på Wayback Machine