Perfekt felt

Generelt algebra siges et felt k at være perfekt , hvis en af følgende ækvivalente betingelser gælder:

1) Ethvert irreducerbart polynomium over k har distinkte rødder i den algebraiske lukning af k . 2) Hver endelig forlængelse k kan adskilles . 3) Hver algebraisk udvidelse k kan adskilles . 4) k har karakteristik 0 eller k har karakteristik p > 0 og hvert element i k er en p -te potens. 5) k har karakteristik 0 eller k har karakteristik p > 0 og Frobenius endomorfi er en automorfi af . 6) k falder sammen med sættet af fikspunkter af k -automorfismer af den algebraiske lukning k .

Ellers siges feltet at være ufuldkomment .

Perfekte felter er nyttige, da Galois-teorien over dem bliver meget enklere, da separerbarhedsbetingelsen for feltudvidelser er opfyldt automatisk.

Mere generelt siges en ring med karakteristisk p at være perfekt, hvis dens Frobenius-endomorfi er en automorfi. [1] (I tilfælde af integrerede ringe svarer dette til betingelsen "hvert element er en p -te potens)."

Eksempler

Alle felter med karakteristisk nul er perfekte, såsom feltet med rationelle tal .
Alle terminalfelter .
Alle algebraisk lukkede felter .
Algebraiske udvidelser af et perfekt felt er også perfekte.

De fleste af de felter, der optræder i praksis, er perfekte. Eksempler på uperfekte felter er givet af algebraisk geometri i karakteristika p > 0. For eksempel er feltet af rationelle funktioner af en variabel over et felt med karakteristika p uperfekt, da dette felt mangler pth- roden af x .

Perfekt lukning

I karakteristika p > 0 kan man "gøre" feltet k perfekt ved at tilføje rødder p af den rth grad ( r ≥1) fra alle elementer. Det resulterende felt kaldes den perfekte lukning af k og betegnes normalt . $k^{p^{-\infty ))$

Med hensyn til den universelle egenskab er den perfekte lukning af en ring af karakteristika en perfekt ring af karakteristika sammen med en ringhomomorfi , således at for enhver perfekt ring af karakteristika med en homomorfi er der en unik homomorfi sådan, at . En perfekt lukning eksisterer for enhver ring [2] , derfor eksisterer en perfekt lukningsfunktion og er venstre sidestykke til en glemsom funktion fra kategorien perfekte ringe til kategorien ringe. $EN$ $s$ $A_{p}$ $s$ ${\displaystyle u:A\to A_{p))$ $B$ $s$ $v:A\to B$ $f:A_{p}\to B$ $v=f\circ u$

Noter

↑ Serre, 1979 , afsnit II.4
↑ Bourbaki, 2003 , afsnit V.5.1.4, side 111

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Del 2. Polynomier og felter. Ordnede grupper - M .: Nauka, 1965
Bourbaki, Nicolas (2003), Algebra II , Springer, ISBN 978-3-540-00706-7
Brinon, Olivier & Conrad, Brian (2009), CMI Summer School notes on p-adic Hodge theory , < http://math.stanford.edu/~conrad/papers/notes.pdf > . Hentet 5. februar 2010.
Serre, Jean-Pierre (1979), Lokale felter , bd. 67 (2 udg.), Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5
Cohn, P. M. (2003), Grundlæggende algebra: grupper, ringe og felter
Matsumura, H (2003), Kommutativ ringteori , vol. 8 (2. udg.), Oversat fra japansk af M. Reid. Cambridge Studies in Advanced Mathematics