En semisimple Lie-gruppe er en forbundet Lie -gruppe , der ikke indeholder ikke-trivielle forbundne opløselige (eller tilsvarende forbundne Abelske ) normaldelere . Nogle gange er tilslutningskravet udeladt.
En Lie-gruppe er semisimple, hvis og kun hvis dens tangentalgebra er semisimple , det vil sige dekomponeres til en direkte sum af simple algebraer [1] .
Levi-Maltsev-sætningen om Levi- nedbrydningen siger, at enhver simpelt forbundet Lie-gruppe er et halvdirekte produkt af en opløselig normal undergruppe og en halvsimpel undergruppe. For mange problemer giver dette os mulighed for separat at overveje teorien om løsbare Lie-grupper og separat teorien om semisimple.