Differential Galois teori

Galois differentialteori er en gren af matematikken, der studerer Galois-grupperne af differentialligninger .

Baggrund og hovedidé

I 1830'erne skabte Liouville teorien om integration i elementære funktioner , hvis vigtige bedrift var beviset på, at elementære funktioner ikke kan tage integraler af funktioner som f.eks.

f(x)=e^{-x^{2)),

f(x)={\frac {\sin x}{x)),

f(x)=x^{x},

Man skal huske på, at begrebet en elementær funktion blot er en konvention. Hvis vi tilføjer en fejlfunktion til klassen af elementære funktioner, så bliver funktionens antiderivative elementær. Ikke desto mindre kan man uendeligt udvide klassen af elementære funktioner på denne måde, men der vil altid være funktioner, hvis antiderivater ikke er elementære $f(x)=e^{-x^{2))$ .

Generaliseringen af hans ideer, der blev foretaget i begyndelsen af det 20. århundrede, førte til skabelsen af Galois differentialteori , som især gør det muligt at finde ud af, om en funktion har en antiderivativ, som udtrykkes i form af elementære funktioner . Differential Galois teori er baseret på Galois teori . Algebraisk Galois-teori undersøger udvidelser af algebraiske felter , og differential Galois-teori - udvidelser af differentielle felter , det vil sige felter, for hvilke afledning er introduceret . I den differentielle Galois-teori er der meget, der ligner den algebraiske Galois-teori. Den væsentlige forskel mellem disse konstruktioner er, at i den differentielle Galois-teori bruges matrix Lie-grupper , mens der i den algebraiske Galois-teori anvendes endelige grupper. $\mathcal{D}$

Definitioner

Hvert differentierbart felt har et underfelt $F$

\operatorname {Con} F=\{f\in F\mid {\mathcal {D}}f=0\},

som kaldes konstanternes felt . For to differentialfelter og et felt kaldes en logaritmisk udvidelse, hvis er en simpel transcendental udvidelse (dvs. for nogle transcendentale ), således at $F$ $F$ $G$ $G$ $F$ $G$ $F$ $G=F(t)$ $t$

{\mathcal {D}}t={\frac {{\mathcal {D}}s}{s}}

for nogle .

s\in F

Det er en slags logaritmisk afledet . For intuitiv forståelse kan man tænke på det som logaritmen af nogle af , og så ligner denne betingelse reglen for at tage den afledede af en kompleks funktion . Det skal huskes, at logaritmen indeholdt i ikke nødvendigvis er den eneste; flere forskellige "logaritmiske" udvidelser kan eksistere side om side med det . På samme måde er en eksponentiel udvidelse en transcendental udvidelse, der opfylder formlen $t$ $s$ $F$ $F$ $F$

{\mathcal {D}}t=t{\mathcal {D}}s.

Således kan man tænke på dette element som eksponenten for fra . Endelig kaldes det en elementær differentialudvidelse, hvis der er en endelig kæde af underfelter fra til , hvor hver udvidelse er algebraisk, logaritmisk eller eksponentiel. $s$ $F$ $G$ $F$ $F$ $G$

Eksempler

Feltet for rationelle funktioner af en variabel med differentiering i forhold til denne variabel. Konstanterne i dette felt er komplekse tal . $\mathbb {C} (x)$ $\mathbb {C}$

Hovedsætning

Lad os antage, at og er differentielle felter for hvilke , og er en elementær differentiel forlængelse af . Lad , og derudover (det vil sige indeholde antiderivatet ). Så findes der sådan $F$ $G$ $\operatørnavn {Con} F=\operatørnavn {Con} G$ $G$ $F$ $a\i F$ $y\in G$ ${\mathcal {D}}y=a$ $G$ $-en$ $c_{1},\dots ,c_{n}\i \operatørnavn {Con} F$ $u_{1},\dots ,u_{n},v\in F$

a=c_{1}{\frac {{\mathcal {D}}u_{1}}{u_{1}}}+\dots +c_{n}{\frac {{\mathcal {D} }u_{n}}{u_{n}}}}+{\mathcal {D}}v.

Med andre ord er det kun de funktioner, der har den form, der er angivet i sætningen, der har et "elementært antiderivat". Således siger sætningen, at kun elementære antiderivater er "simple" funktioner, plus et begrænset antal logaritmer af simple funktioner.

Differential Galois teori

Baggrund og hovedidé

Definitioner

Eksempler

Hovedsætning

Links

Se også