Coxeter nummer

Coxeter-tallet er et kendetegn for en endelig irreducerbar Coxeter-gruppe . I det tilfælde, hvor Coxeter-gruppen er Weyl-gruppen af en simpel Lie-algebra , så taler man om algebraens Coxeter-nummer . $\mathfrak g$ $\mathfrak g$

Konceptet er opkaldt efter Harold Coxeter .

Definition

Der er flere tilsvarende definitioner for dette tal.

Coxeter-tallet er lig med antallet af rødder divideret med rangen. Tilsvarende er Coxeter-tallet det dobbelte af antallet af refleksioner i Coxeter-gruppen divideret med rangen. Hvis gruppen er bygget på en simpel Lie-algebra, så er dimensionen af denne algebra n ( h + 1), hvor n er rangordenen og h er Coxeter-tallet.
Coxeter-elementet (nogle gange Killing-Coxeter-elementet ) er produktet af alle simple refleksioner (ikke at forveksle med elementet i Coxeter-gruppen med den største længde). Coxeter-nummeret er rækkefølgen af Coxeter-elementet.
Hvis er udvidelsen af den højeste rod i simple rødder, så er Coxeter-tallet . $\theta=\sum m_i \alpha_i$ $1+\sum m_i$
- Tilsvarende, hvis er et element sådan, at , så . $\rho^\vee$ $\langle\rho^\vee,\alpha_i\rangle=1$ $h=\langle\rho^\vee,\theta\rangle+1$
Coxeter-tallet er den største af potenserne af basisinvarianterne i Coxeter-gruppen.

Tabel over værdier

Coxeter gruppe og Schläfli symbol		Jarl af Coxeter	Dynkin diagram	Coxeter nummer $h$	Dual af Coxeter $h^\vee$	Grader af grundlæggende invarianter
En n	[3,3...,3]	...	...	n + 1	n + 1	2, 3, 4, ..., n + 1
B n	[4,3...,3]	...	...	2n _	2n - 1	2, 4, 6, ..., 2n
C n	[4,3...,3]	...	...	2n _	n + 1	2, 4, 6, ..., 2n
D n	[3,3,..3 1,1 ]	...	...	2n - 2	2n - 2	n _ 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E 6	[3 2,2,1 ]			12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E 7	[3 3,2,1 ]			atten	atten	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E 8	[3 4,2,1 ]			tredive	tredive	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 _	[3,4,3]			12	9	2, 6, 8, 12
G2 _	[6]			6	fire	2, 6
H3 _	[5,3]		-	ti		2, 6, 10
H4 _	[5,3,3]		-	tredive		2, 12, 20, 30
I 2 ( p )	[p]		-	s		2, s

Variationer og generaliseringer

Dobbelt Coxeter nummer

I det tilfælde, hvor Coxeter-gruppen er Weil-gruppen af en simpel Lie-algebra , kan man introducere det dobbelte (dobbelte) Coxeter-tal . En sådan forestilling ser ud til at have optrådt første gang i et papir fra 1970 af Springer og Steinberg [1] og er ofte stødt på i repræsentationsteori . Du kan bestemme dette nummer på en af følgende måder. $\mathfrak{g}$ $h^\vee$

Hvis er den halve sum af positive rødder, og er den højeste rod, så . $\rho$ $\theta$ $h^\vee=\langle \rho , \theta\rangle+1$
Hvis er den ældste korte rod nedbrudt til simple rødder, så . $\theta_m=\sum m_i \alpha_i$ $h^\vee=\sum m_i+1$
Dobbelt det dobbelte Coxeter-tal er lig med forholdet mellem to invariante symmetriske bilineære former på Lie-algebraen : Killing-formen og den form, hvor den højeste rod har længde 2. $\mathfrak{g}$
Ifølge tabellen ovenfor.

For Lie-algebraer med simple forbindelser er Coxeter-tallet og det dobbelte Coxeter-tal det samme. Det dobbelte Coxeter-nummer må ikke forveksles med Coxeter-tallet for den dobbelte Lie-algebra.

For en affin Lie-algebra kaldes niveauværdien lig med kritisk, og for denne værdi har den universelle omsluttende algebra et stort centrum. $\widehat{\mathfrak{g))$ $-h^\vee$

Noter