Bunde af moduler

I matematik er en bunke af moduler en bunke over et ringmærket rum , der har strukturen som et modul over en strukturel bunke . $(X,O_{X})$ $O_{X}$

Definition

For et ringmærket rum er en bunke af -moduler (eller blot -modul ) en bunke over sådan, der er et -modul for hvert åbent sæt , og for hvert åbent sæt indeholdt i , er begrænsningstilknytningen i overensstemmelse med strukturen af moduler: for hver vi har $(X,O_{X})$ $O_{X}$ $O_{X}$ $F$ $x$ $F(U)$ $O_{X}(U)$ $U$ $V$ $U$ $F(U)\til F(V)$ $a\in O_{X}(U),f\in F(U)$

(af)|_{V}=a|_{V}f|_{V}

En -modulmorfisme er en morfisme af skiver, således at for ethvert åbent sæt kortlægningen er en -modulmorfisme . $O_{X}$ $F\to G$ $U$ $F(U)\to G(U)$ $O_{X}(U)$

Eksempler

Strukturskivet er et -modul. En bunke af -moduler, der er en underskære af korn, kaldes en bunke af idealer på . $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $x$
Hvis er en morfisme af -moduler, så er kernen , billedet og cokernelen -moduler. $f:F\to G$ $O_{X}$ $f$ $O_{X}$
Alle direkte summer , direkte produkter , direkte og omvendte grænser for -moduler er -moduler. En bunke af moduler kaldes fri , hvis den er isomorf til en direkte sum af flere kopier . En bunke af -moduler kaldes lokalt fri ( af rang ), hvis hvert punkt har et åbent kvarter, hvorpå det er frit (det er isomorf til den direkte sum af kopier af bunken ). Et lokalt frit skær af rang 1 kaldes også et invertibelt skær . $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $O_{X}$ $F$ $r$ $x$ $F$ $r$ $O_{X}$
Hvis der er skiver af -moduler, så kan man definere en bunke af morfismer fra til som følger: $F,G$ $O_{X}$ $F$ $G$ $U\mapsto Hom_{O_{X}(U)}(F(U),G(U)).$ Dual af -modul $O_{X}$ til --modul er modulet af morfismer fra til . $O_{X}$ $F$ $F$ $O_{X}$
Den bunke, der er knyttet til spidsen , er betegnet med . Dens fiber på et punkt er kanonisk isomorf . Det symmetriske og ydre produkt er defineret på samme måde. $U\to F(U)\otimes _{O_{X}(U)}G(U)$ $F\otimes _{O_{X}}G$ $x$ $F_{x}\otimes _{O_{X,x}}G_{x}$

Litteratur

Hartshorne R. Algebraisk geometri / overs. fra engelsk. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean . "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publikationer Mathématiques de l'IHES. 4 , 1960.