Hopf algebra

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. september 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Hopf-algebraen er en associativ algebra over et felt , der har en enhed og er også en koassociativ koalgebra med en counit (det er altså en bialgebra ) med en særlig form for antihomomorfi . Opkaldt efter Heinz Hopf .

Hopf-algebraer forekommer i algebraisk topologi , hvor de først opstod i forbindelse med begrebet H-rum , i teorien om gruppeskemaer , i gruppeteori (takket være begrebet en gruppering ) og videre. Deres hyppige forekomst gør dem til et af de bedst kendte eksempler på bialgebraer . Hopf algebraer studeres også som et selvstændigt objekt i forbindelse med en lang række af visse klasser af Hopf algebraer og problemer med deres klassificering.

Definition

Hopf-algebraen er en associativ og koassociativ bialgebra H over et felt sammen med en -lineær afbildning (kaldet antipoden ), således at følgende diagram er kommutativt : $K$ $K$ $S\colon H\to H$

Her er Δ bialgebraens comultiplication, ∇ er dens multiplikation, η er dens enhed, og ε er dens tal. I Svidlers notation kan denne egenskab også udtrykkes som:

S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H

Ovenstående definition kan generaliseres til algebraer over ringe (det er tilstrækkeligt at erstatte feltet i definitionen med en kommutativ ring ). $K$ $R$

Definitionen af en Hopf-algebra er dobbelt i forhold til sig selv (dette afspejles i symmetrien i diagrammet ovenfor), især rummet dual til H (som altid kan defineres, hvis H er finit -dimensional ) er automatisk en Hopf-algebra.

Egenskaber for antipoden

Det kræves nogle gange, at antipoden af S har en R -lineær inversion, som er automatisk i det endelige-dimensionelle tilfælde, eller hvis H er kommutativ eller co- kommutativ (eller mere generelt kvasi -triangulær ).

Generelt set er S en antihomomorfi [1] , så S 2 er en homomorfi , som derfor er en automorfi , hvis S var invertibel (som det kunne være nødvendigt).

Hvis , så siges Hopf-algebraen at være entangled (og den grundlæggende algebra med entanglement er *-algebraen ). Hvis H er en finitdimensional semisimple algebra med hensyn til et felt med karakteristisk nul, kommutativ eller co-commutativ, så er dette en indviklet algebra. $S^{2}=Id$

Hvis en bialgebra B tillader en antipode S , så er S unik ("bialgebraen tillader højst 1 Hopf algebrastruktur"). [2]

Antipoden er analog med inversionskortlægningen på den gruppe, der sender til . [3] $g$ $g^{{-1}}$

Hopf subalgebraer

En subalgebra A af en Hopf-algebra H er en Hopf-subalgebra, hvis den er en subcoalgebra af H , og antipoden af S kortlægger A til A. Med andre ord er Hopf-subalgebraen A et underrum i Hopf-algebraen, der er lukket under multiplikation, comultiplication og antipode. Nichols-Zellers frihedssætning ( 1989 ) siger, at ethvert naturligt R - modul har endelig rang og er frit , hvis H er endeligt-dimensionelt, hvilket giver en generalisering af Lagranges sætning for undergrupper . Som en konsekvens af denne teori er Hopf-subalgebraen af en semisimple finit-dimensional Hopf-algebra automatisk semisimple.

En Hopf-subalgebra A kaldes en retnormal subalgebra af Hopf-algebraen H , hvis den opfylder stabilitetsbetingelsen, for alle h fra H , hvor den adjunkte handling er defineret som for alle a fra A og h fra H . På samme måde efterlades en Hopf-subalgebra K normal i H , hvis den er invariant under venstre konjugation, defineret som for alle k i K . Begge normalitetsbetingelser er ækvivalente, hvis antipoden S er bijektiv. I dette tilfælde siges A = K at være en normal Hopf-subalgebra. $ad_{r}(h)(A)\subseteq A$ ${\displaystyle ad_{r))$ ${\displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)))$ $ad_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})$

Den normale Hopf-subalgebra A i H opfylder betingelsen (lighed af delmængder af H ): , hvor betegner kernen af enheden K . Denne normalitetstilstand indebærer, at det er Hopf-idealet for algebraen H (det vil sige, at det er idealet for algebraen i regionens kerne, coalebraens coideal og er stabilt under påvirkning af antipoden). Som en konsekvens defineres en Hopf-faktoralgebra og en epimorfi , svarende til de tilsvarende konstruktioner af normale undergrupper og faktorgrupper i gruppeteori . [fire] $HA^{+}=A^{+}H$ ${\displaystyle A^{+))$ ${\displaystyle HA^{+))$ ${\displaystyle H/HA^{+))$ $H\rightarrow H/A^{+}H$

Eksempler

Gruppe Algebra . Lad G være en gruppe . Algebraen R G er en associativ algebra over R , med identitet. Hvis vi definerer
Δ : RG → RG ⊗ RG , Δ( g ) = g ⊗ g for enhver g fra G ,
ε : R G → R , ε ( g ) = 1 for enhver g fra G ,
S : RG → RG , S ( g ) = g −1 for enhver g fra G ,

så bliver R G en Hopf-algebra.

Et kinesisk tegndiagram er en sammenhængende graf med kun trivalente hjørner, med en fornemt orienteret cyklus (Wilson-løkke) og en fast cyklisk rækkefølge af den tredobbelte af kanter, der kommer frem fra hvert hjørne, der ikke ligger på en Wilson-løkke. Gruppen af kinesiske ordensdiagrammer er et frit -modul genereret af -vertex-diagrammer (som anses for op til naturlig ækvivalens), faktoriseret af et undermodul genereret af alle mulige -relationer [5] . $jeg$ $G$ $2i$ $STU$

Cohomology of Lie grupper

Lie-gruppens kohomologialgebra er Hopf-algebraen: multiplikation er standardproduktet i kohomologiringen , og komultiplikation har formen

H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)

i kraft af gruppemultiplikation . Denne observation var faktisk oprindelsen til forestillingen om en Hopf-algebra. Ved hjælp af denne struktur beviste Hopf en struktursætning for den kohomologialgebra af Lie-grupper. $G\times G\rightarrow G$

Hopfs sætning [6] Lad A være en finitdimensional graderet kommutativ kokommutativ Hopf-algebra over et felt med karakteristisk 0. Så er A (som en algebra) en fri ydre algebra med generatorer af ulige grad.

Kvantegrupper

Alle eksempler ovenfor er enten kommutative (det vil sige, multiplikation er kommutativ ) eller co-kommutative (det vil sige Δ = T ∘ Δ , hvor T : H ⊗ H → H ⊗ H er en permutation af tensorfaktorer, defineret som T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x ) . Andre interessante eksempler på Hopf-algebraer er nogle deformationer, eller " kvantiseringer ", af eksempel 3, der hverken er kommutative eller co-commutative. Disse Hopf-algebraer omtales ofte som " kvantegrupper ". Ideen er denne: en almindelig algebraisk gruppe kan beskrives i form af Hopf-algebraen af regulære funktioner. Vi kan så tænke på en deformation af denne Hopf-algebra som en beskrivelse af en eller anden "kvantiseret" algebraisk gruppe (selvom det ikke er en algebraisk gruppe på nogen måde). Mange egenskaber af algebraiske grupper, såvel som konstruktioner med dem, har deres analoger i verden af deformerede Hopf-algebraer. Deraf navnet "kvantegruppe".

Gruppeanalogi

Grupper kan aksiomatiseres ved hjælp af de samme diagrammer (ækvivalenser, operationer) som Hopf algebraer, hvor H er en mængde, ikke et modul. I dette tilfælde:

feltet R erstattes af et sæt af 1 element
der er en naturlig count (tilknytning til et enkelt element)
er en naturlig comultiplication (diagonal kortlægning)
enhed - neutralt element i gruppen
multiplikation - multiplikation i en gruppe
antipode - tager det omvendte element i gruppen

I denne forstand kan grupper opfattes som Hopf-algebraer over et et-elementfelt . [7]

Noter

↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, s. 153 Arkiveret 6. oktober 2014 på Wayback Machine
↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Bemærkninger 4.2.3, s. 151 Arkiveret 16. april 2014 på Wayback Machine
↑ Forelæsningsnoter til kvantegrupper . Hentet 4. juli 2011. Arkiveret fra originalen 4. marts 2016. (ubestemt)
↑ S. Montgomery, Hopf algebraer og deres handlinger på ringe, Conf. Tavle i matematik. sci. vol. 82, AMS, 1993. ISBN 0-8218-0738-2
↑ V.A. Vasiliev - Topologi af komplementer til diskriminanter. M.: FAZIS, 1997.
↑ Hopf, 1941.
↑ Group = Hopf algebra "Secret Blogging Seminar Arkiveret 9. juli 2011 på Wayback Machine , Group Objects and Hopf algebras Archived 18 April 2016 at the Wayback Machine , video af Simon Willerton.

Litteratur

Manin Yu. I. Introduktion til teorien om skemaer og kvantegrupper. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 s. - ISBN 978-5-94057-635-8 .