Operation (matematik)

En operation er en mapping , der forbinder et eller flere elementer i sættet (argumenter) med et andet element (værdi). Udtrykket "operation" anvendes normalt til aritmetiske eller logiske operationer, i modsætning til udtrykket " operator ", som oftere anvendes på visse sæt-på-selv-kortlægninger, der har egenskaber af interesse for forskning.

Definition

En operation er en kortlægning, hvis definitionsdomæne er det direkte produkt af flere sæt. Matematisk kan operationen skrives som en mapping ( og kan falde sammen), hvor man kalder operationens aritet [1] . $f$ $f\colon D\subseteq \underbrace {A\ gange A\ gange \cdots \ gange A}_{{n}}\til B$ $B$ $EN$ $n$

Relaterede definitioner

Operationer adskiller sig i antallet af sæt, hvis kartesiske produkt er dets definitionsdomæne. En operation kan f.eks. være unær , hvis den tilknytter et element i et sæt til et element i et sæt, eller binær , hvis den afbilder to elementer af et sæt til et element.

En algebraisk operation er en operation, hvis definitionsdomæne er lig med den kartesiske potens af et bestemt sæt, hvor er ariteten af , og domænet af værdier er lig med dette sæt , det vil sige [2] . $f$ $n$ $EN,$ $n\in {\mathbb {N}}_{0}$ $EN,$ $f\kolon A^{n}\til A$

Egenskaber

Operationer kan have forskellige egenskaber eller ikke. For eksempel:

kommutativitet (forskydningsegenskab) er en egenskab ved operationen " ", når $\cirk$ $a\circ b=b\circ a;$
antikommutativitet - for eksempel driften af subtraktion , fordi $ab=-(ba);$
associativitet (associativ egenskab) er en egenskab ved operationen " ", når $\cirk$ $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c);$
distributivitet (distributiv egenskab) - for eksempel driften af multiplikation med hensyn til addition , siden $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c;$
idempotens - hvis den gentagne operation ikke allerede ændrer objektet, for eksempel ved at tage modulo : $|x|={\big |}|x|{\big |}={\Big |}{\big |}|x|{\big |}{\Big |}=\ldots$

Tilsammen udtømmer kommutativitet og antikommutativitet ikke egenskaberne af alle mulige operationer: eksponentiering er for eksempel ikke en kommutativ operation, da den for eksempel, men samtidig ikke er antikommutativ: for eksempel, $2^{3}\neq 3^{2},$ $2^{4}\neq {\color {Rød}-}4^{2}.$

Operationer

Aritmetik

Aritmetiske operationer

Tilføjelse (+)

1. termin + 2. termin =

sum

Subtraktion (-)

Reduceret − Subtraheret =

forskel

Multiplikation (×)

1. multiplikator × 2. multiplikator =

arbejde

Division (:)

Udbytte : divisor =

privat

Division med resten (mod)

Delbar mod divisor =

resten af divisionen

Eksponentiering (^)

{\text{base}}^{\text{eksponent}}

grad

Rodudvinding (√)

{\sqrt[{\tekst{værdi}}]{\tekst{tal}}}

rod

Logaritme (log)

\log _{\tekst{base}}

(tal) =

logaritme

Addition er en binær operation, som f.eks . $2+7=9$
Subtraktion er det omvendte af addition , f.eks. $9-7=2$
Multiplikation er en hyperoperation af addition, for eksempel . $2\cdot 3=6$
Division er det omvendte af multiplikation, f.eks. $6:3=2$
Eksponentiering er for eksempel en multiplikationshyperoperation . $2^{3}=8$
At udtrække en rod er det omvendte af eksponentiering, for eksempel . ${\sqrt[{3}]{8}}=2$
Logaritme er den anden inverse af eksponentiering, for eksempel . $\log _{2}8=3$
Tetration er en hyperoperation af eksponentiering, for eksempel . $^{3}2=2^{{2^{2}}}=16$
Superroden og superlogaritmen er de omvendte operationer af tetration.

Addition og subtraktion er elementære aritmetiske operationer. Alle andre, mere komplekse operationer opnås som et resultat af hyper-operationer. Således klassificeres addition og subtraktion som operationer i det første trin; multiplikation og division - til operationer i anden fase; eksponentiering, rodudvinding og logaritme - til operationerne i det tredje trin; tetration og dens omvendte operationer er sjældent brugte operationer i det fjerde trin, men en sådan hyperoperation kan fortsættes på ubestemt tid, op til operationer på 5., 6. og højere trin.

Calculus

Differentiering - finde den afledede af en funktion, for eksempel . $(x^{2})'=2x$
Integration er det modsatte af differentiering; finde den antiderivative funktion, for eksempel . $\int 2xdx=x^{2}+C$

Logiske operationer

Logiske operationer er operationer på elementer fra et sæt af to elementer: "sand" og "falsk", eller "1" og "0".

Negation ( ) er en unær operation; konverterer "1" til "0" og "0" til "1". $\neg A$
Konjunktionen ( ) er en binær operation; returnerer kun "1", hvis begge argumenter er "1". $A\og B$
Disjunktion ( ) er en binær operation; returnerer kun "0", hvis begge argumenter er "0". $A\lor B$

Noter

↑ Generel algebra. V.1 / O. V. Melnikov, V. N. Remeslennikov, V. A. Romankov og andre Under generalen. udg. L. A. Skonyakova. M.: Videnskab. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1990. - 592 s. - (Reference mat. b-ka). ISBN 5-02-014426-6 (bind 1)
↑ Encyclopedia of Mathematics . — M.: Sovjetisk Encyklopædi . I. M. Vinogradov . 1977-1985.