SL(2,R)

SL(2,R) eller SL 2 ( R) er gruppen af reelle 2 × 2 matricer med identitetsdeterminant :

{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right):a,b ,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ og }}ad-bc=1\right\}.

Gruppen er en simpel ægte Lie-gruppe med anvendelser inden for geometri , topologi , repræsentationsteori og fysik .

SL(2, R ) virker på det komplekse øvre halvplan ved lineær-fraktionelle transformationer. Gruppehandlingen faktoriserer på faktorgruppen PSL(2,R) ( projektiv speciel lineær gruppe over R ). Mere præcist, $2\ gange 2$

{\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} )=\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )/\{{\pm }E\))

hvor E betegner identitetsmatrixen . SL(2, R ) indeholder den modulære gruppe PSL(2, Z ). $2\ gange 2$

Også gruppen SL(2, R ) er nært beslægtet med den 2-foldede dækningsgruppe Mp(2, R ), den metaplektiske gruppe (hvis vi betragter SL(2, R ) som en symplektisk gruppe ).

En anden beslægtet gruppe er gruppen af reelle matricer med determinant . Denne gruppe er dog mest almindeligt brugt i forbindelse med den modulære gruppe . $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$ $2\ gange 2$ $\pm 1$

Beskrivelse

SL(2, R ) er gruppen af alle lineære transformationer af rummet R 2 , der bevarer det orienterede område . Gruppen er isomorf til den symplektiske gruppe Sp(2, R ) og til den generaliserede specielle enhedsgruppe SU(1,1). Gruppen er også isomorf for gruppen af coquaternions af enhedslængde. Gruppen bevarer et uorienteret område – den kan bevare orienteringen. $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$

PSL(2, R ) faktoren har flere interessante beskrivelser:

Dette er gruppen af orienteringsbevarende projektive transformationer af den virkelige projektive linje . ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$
Det er gruppen af konforme automorfier i enhedscirklen .
Dette er gruppen af orienteringsbevarende bevægelser i det hyperbolske plan .
Dette er den begrænsede Lorentz-gruppe i det tredimensionelle Minkowski-rum . Tilsvarende er den isomorf med den ubestemte ortogonale gruppe SO + (1,2). Dette indebærer, at SL(2, R ) er isomorf til spinorgruppen Spin(2,1) + .

Elementerne i den modulære gruppe PSL(2, Z ) har yderligere fortolkninger som elementer i gruppen SL(2, Z ) (som lineære transformationer af torus), og disse repræsentationer kan også betragtes i lyset af den generelle teori om gruppen SL(2, R ).

Fraktionel lineær transformation

Elementerne i gruppen PSL(2, R ) virker på den reelle projektive linje som lineær-brøktransformationer : ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d)).

Denne handling ligner virkningen af PSL(2, C ) på Riemann-sfæren ved Möbius-transformationer . Handlingen er begrænsningen af handlingen af gruppen PSL(2, R ) på det hyperbolske plan ved grænsen til uendelighed.

Möbius transformation

Elementerne i gruppen PSL(2, R ) virker på det komplekse plan ved Möbius-transformationen:

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;(a,b,c,d\in \mathbf {R} )

Dette er præcis det sæt af Möbius-transformationer, der bevarer den øverste halvdel af planet . Dette indebærer, at PSL(2, R ) er gruppen af konforme automorfier i den øvre halvdel af planet. Ved Riemanns kortlægningssætning er denne gruppe gruppen af konforme automorfier i enhedscirklen.

Disse Möbius-transformationer fungerer som isometrier af modellen af den øvre halvdel af det hyperbolske rumplan, og de tilsvarende Möbius-transformationer af disken er hyperbolske isometrier af Poincaré-diskmodellen .

Formlen ovenfor kan også bruges til at bestemme Möbius-transformationen af dualer og doubler . De tilsvarende geometrier er i en ikke-triviel forbindelse [1] med Lobachevskys geometri .

Vedhæftet visning

Gruppen SL(2, R ) virker på dens Lie-algebraer sl(2, R ) ved konjugation (husk at elementerne i Lie-algebraen også er 2 x 2 matricer), hvilket giver en streng 3-dimensionel lineær repræsentation af gruppen PSL (2, R ). Dette kan alternativt beskrives som virkningen af gruppen PSL(2, R ) på overflader af kvadratiske former på R 2 . Resultatet er følgende visning:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d ^{2}\end{bmatrix}}.

Killing-formen på sl(2, R ) har signatur (2,1) og genererer en isomorfi mellem PSL(2, R ) og Lorentz-gruppen SO + (2,1). Denne handling af gruppen PSL(2, R ) i Minkowski-rummet er begrænset til en isometrisk handling af gruppen PSL(2, R ) på hyperboloidmodellen af det hyperbolske plan.

Klassificering af elementer

Elementets egenværdier opfylder ligningen for det karakteristiske polynomium $A\in \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )$

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

Og derfor

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4))}{2)).

Dette fører til følgende klassificering af elementer med den tilsvarende handling på det euklidiske plan:

Hvis |tr( A )|< 2, så kaldes elementet (matrix) A elliptisk , og det er en rotation .
Hvis |tr( A )|= 2, så kaldes elementet A parabolsk , og det er en forlængelse af rummet.
Hvis |tr( A )|> 2, så kaldes elementet A hyperbolsk og er et sammentrækningskort .

Navnene svarer til klassificeringen af keglesnit efter excentricitet – hvis man definerer excentricitet som halvdelen af værdien af sporet ( . Dividering med 2 korrigerer effekten af dimensionalitet, mens den absolutte værdi svarer til at ignorere tegnet (multiplikator ), når man arbejder med PSL (2, R )), hvilket indebærer: for elliptisk element, for parabolsk element, for hyperbolsk element. $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}tr$ $\pm 1$ $\epsilon <1$ $\epsilon=1$ $\epsilon >1$

Identitetselementet 1 og det negative element −1 (de er ens i PSL(2, R )), har spor , og er derfor parabolske elementer ifølge denne klassifikation, selvom de ofte behandles separat. $\pm2$

Den samme klassifikation anvendes for SL(2, C ) og PSL(2, C ) ( Möbius-transformationer ) og PSL(2, R ) (ægte Möbius-transformationer), med tilføjelse af "loxodromic" transformationer svarende til komplekse spor. Lignende klassifikationer bruges mange andre steder.

En undergruppe, der indeholder elliptiske (henholdsvis parabolske og hyperbolske) elementer, plus identitetselementet og negativ for det, kaldes en elliptisk undergruppe (henholdsvis parabolsk undergruppe , hyperbolsk undergruppe ).

Denne klassifikation er efter delmængder , ikke efter undergrupper - disse mængder lukkes ikke ved multiplikation (produktet af to parabolske elementer vil ikke nødvendigvis være parabolsk, for eksempel). Alle elementer er dog kombineret i 3 standard en-parameter undergrupper , som beskrevet nedenfor.

Topologisk, fordi sporet er et kontinuerligt kort, er elliptiske elementer (uden ) åbne , ligesom hyperbolske elementer (uden ), mens parabolske elementer (herunder ) er lukkede . $\pm 1$ $\pm 1$ $\pm 1$

Elliptiske elementer

Egenværdierne for et elliptisk element er både komplekse og er konjugerede værdier på enhedscirklen . Et sådant element er konjugeret til en rotation af det euklidiske plan - de kan tolkes som rotationer på en (muligvis) ikke-ortogonal basis, og det tilsvarende element i gruppen PSL(2, R ) fungerer som en (konjugeret) rotation af det hyperbolske plan og Minkowski-rummet .

De elliptiske elementer i den modulære gruppe skal have egenværdier , hvor er den primitive 3., 4. eller 6. rod af enhed . De er alle elementer i en modulær gruppe med endelig rækkefølge , og de virker på torus som periodiske diffeomorfismer. ${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{-1}\))$ $\omega$

Grundstoffer med spor 0 kan kaldes "cirkulære elementer" (svarende til excentricitet), men dette bruges sjældent. Disse spor svarer til elementer med egenværdier og svarer til rotationer på , og kvadratet svarer til - E - de er ikke-identiske involutioner i PSL(2). $\pm i$ $90^{\cirkel }$

Elliptiske elementer er konjugerede inden for en undergruppe af rotationer af det euklidiske plan vinkelret på SO(2)-gruppen. Rotationsvinklen er arccos - halvdelen af sporet med rotationstegnet (rotation og dens inverse er konjugeret i GL(2), men ikke i SL(2).)

Parabolske elementer

Et parabolsk element har kun én egenværdi, som enten er 1 eller −1. Et sådant element fungerer som en rumudvidelse på det euklidiske plan, og det tilsvarende element i PSL(2, R ) fungerer som en rotationsbegrænsning på det hyperbolske plan og som en nulrotation af Minkowski-rummet .

De parabolske elementer i den modulære gruppe fungerer som Denat torus-drejninger.

Parabolske elementer er konjugerede i 2-komponentgruppen af standardskift : . Faktisk er de alle konjugerede (i SL(2)) til en af de fire matricer , (i GL(2) eller , kan udelades, men ikke i SL(2). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\gange \{\pm E\}$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)$ $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\om eftermiddagen$

Hyperbolske elementer

Egenværdierne for et hyperbolsk element er reelle og modsatte. Et sådant element fungerer som et sammentrækningskort det euklidiske plan, og det tilsvarende element i PSL(2, R ) fungerer som en parallel translation af det hyperbolske plan og som et Lorentz-boost i Minkowski-rummet .

De hyperbolske elementer i den modulære gruppe fungerer som diffeomorfismer af Anosov torus.

Hyperbolske elementer falder ind i en 2-komponent gruppe af standardkontraktioner : ; den hyperbolske vinkel på den hyperbolske rotation er angivet som arcosh af halvdelen af sporet, men tegnet kan være enten positivt eller negativt, i modsætning til det elliptiske tilfælde. Kompression og dens inverse transformation er konjugeret i SL₂ (ved rotation i akser, for standardakser udføres rotation på ). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\gange \{\pm E\}$ $90^{\cirkel }$

Konjugationsklasser

I henhold til Jordans normale form klassificeres matricer op til konjugation (i GL( n , C )) efter egenværdier og nilpotens (specifikt betyder nilpotens, hvor 1'erne er i Jordan-celler). Sådanne elementer i SL(2) klassificeres op til konjugation i GL(2) ( ) efter spor (da determinanten er fast, og spor og determinant er bestemt af egenværdier), undtagen når egenværdierne er ens, så elementerne er ens og parabolske elementerne i spor +2 og spor −2 er ikke konjugerede (førstnævnte har ingen off-diagonale elementer i Jordan-form, mens sidstnævnte har). $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm E$

Op til konjugation i SL(2) (i stedet for GL(2)), er der yderligere information svarende til orienteringen - rotationer med uret og mod uret (elliptiske) er ikke konjugerede, ikke positive eller negative forskydninger, som beskrevet ovenfor. Så for en absolut sporværdi mindre end 2 er der to konjugerede klasser for hver sporing (rotationer med uret eller mod uret). For en absolut sporværdi på 2 er der tre konjugerede klasser for hvert spor (positivt skift, nulskift, negativt skift). For en absolut sporværdi større end 2 er der én konjugationsklasse for et givet spor.

Topologisk og universel dækning

Som et topologisk rum kan PSL(2, R ) beskrives som enhedstangensbundtet det hyperbolske plan. Det er et bundt på cirkler og har en naturlig kontaktstruktur genereret af den symplektiske struktur på det hyperbolske plan. Gruppen SL(2, R ) er en 2-fold dækning af gruppen PSL(2, R ) og kan betragtes som et bundt af spinorer på det hyperbolske plan.

Grundgruppen i gruppen SL(2, R ) er en endelig cyklisk gruppe Z . Den universelle dækkende gruppe , betegnet , er et eksempel på en finitdimensional Lie-gruppe, der ikke er en matrixgruppe . Det vil sige, at det ikke tillader en nøjagtig endelig -dimensionel repræsentation af . ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Som et topologisk rum er et linjebundt over det hyperbolske plan. Hvis rummet er udstyret med en venstre-invariant metrisk , bliver 3-manifoldet en af de otte Thurston-geometrier . For eksempel er en universel dækning af enhedens tangentbundt for enhver hyperbolsk overflade . Enhver manifold, der er modelleret på , er orienterbar og er et cirkelbundt over en todimensional hyperbolsk orbifold ( Seifert-bundt ). ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Med en sådan belægning er det omvendte billede af modulgruppen PSL(2, Z ) flettegruppen på 3 generatorer, B 3 , som er den universelle centrale forlængelse af modulgruppen. De er gitter inde i de tilsvarende algebraiske grupper, og dette svarer til den algebraisk universelle dækkende gruppe i topologi.

En 2-fold dækkende gruppe kan kaldes Mp(2, R ), den metaplektiske gruppe , hvis SL(2, R ) forstås som den symplektiske gruppe af Sp(2, R ).

Ovenstående grupper danner sekvensen:

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).

Der er dog andre grupper, der dækker gruppen PSL(2, R ) svarende til alle n sådan, at , så de danner et gitter af dækkende grupper ved delelighed. De er en dækning af SL(2, R ), hvis og kun hvis n er lige. $n\mathbf {Z} <\mathbf {Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ))$

Algebraisk struktur

Gruppecentret SL(2, R ) er en to-element gruppe og faktoren PSL(2, R ) er en simpel gruppe. $\{\pm 1\}$

Diskrete undergrupper af gruppen PSL(2, R ) kaldes fuchsiske grupper . De er det hyperbolske modstykke til de euklidiske tapetgrupper og grænsegrupper . Den bedst kendte af disse er den modulære gruppe PSL(2, Z ), som virker på fliselægningen af det hyperbolske plan med ideelle trekanter .

Gruppen U(1) , som kan opfattes som SO(2) , er en maksimal kompakt undergruppe af SL(2, R ), og cirklen er en maksimal kompakt undergruppe af PSL(2, R ). ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)/\{\pm 1\))$

Schur-multiplikatoren for den diskrete gruppe PSL(2, R ) er meget større end gruppen Z , og den universelle centrale forlængelse er meget større end den universelle dækkende gruppe. Disse store centrale udvidelser tager dog ikke højde for topologi og er noget patologiske.

Repræsentationsteori

SL(2, R ) er en reel ikke-kompakt simpel Lie-gruppe og er en delt reel form af den komplekse Lie-gruppe SL(2, C ). Lie-algebraen i gruppen SL(2, R ), betegnet som sl(2, R ), er algebraen for alle reelle, sporløse [2] matricer. Dette er en Bianchi-algebra af type VIII. $2\ gange 2$

Den endelig-dimensionelle repræsentationsteori for gruppen SL(2, R ) svarer til repræsentationsteorien SU(2) , som er den kompakte reelle form af gruppen SL(2, C ). Især har SL(2, R ) ingen ikke-trivielle finit-dimensionelle enhedsrepræsentationer. Dette er en egenskab for enhver tilsluttet simpel ikke-kompakt Lie-gruppe. For en oversigt over beviset, se artiklen "Ikke-enhed af repræsentationen" .

Den uendelige dimensionelle repræsentationsteori for gruppen SL(2, R ) er meget interessant. Gruppen har flere familier af enhedsrepræsentationer, som blev udviklet i detaljer af Gelfand og Naimark (1946), V. Bargman (1947) og Harish-Chandra (1952).

Se også

Noter

↑ Kisil, 2012 , s. xiv+192.
↑ En sporløs matrix er en matrix, hvis spor er 0.

Litteratur

Valentine Bargmann. Irreducible Unitary Representations of the Lorentz Group // Annals of Mathematics . - 1947. - T. 48 , Nr. 3 . — S. 568–640 . - doi : 10.2307/1969129 . — .
Gelfand I.M., Naimark M.A. Enhedsrepræsentationer af Lorentz-gruppen // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Matem .. - 1947. - T. 11 , no. 5 . — S. 411–504 .
Harish Chandra. Plancherel formel for den rigtige unimodulære gruppe // Proc. Natl. Acad. sci. USA. - 1952. - T. 38 . — S. 337–342 . - doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . — PMID 16589101 . $2\ gange 2$
Serge Lang. . - New York: Springer-Verlag, 1985. - V. 105. - ISBN 0-387-96198-4 . - doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . $\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )$
- Leng S. / Oversat fra engelsk af V.I. Vasyunin og M.A. Semyonov-Tyan-Shansky; Redigeret af A.A. Kirillov. - Moskva: Mir, 1977. $SL_{2}(R)$
William Thurston. Tredimensionel geometri og topologi. Vol. 1. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. - V. 35. - ISBN 0-691-08304-5 .
Vladimir V. Kisil. Geometri af Möbius-transformationer. Elliptiske, parabolske og hyperbolske virkninger af SL(2,R). - London: Imperial College Press, 2012. - ISBN 978-1-84816-858-9 . - doi : 10.1142/p835 .

Gruppeteori
Basale koncepter	Undergruppe Normal undergruppe Faktor gruppe Arbejde direkte semi-direkte ledig
Algebraiske egenskaber	kommutativ gruppe Cyklisk gruppe bestilt gruppe Forvandle gruppe Opløselig gruppe Schreiers Lemma Lagranges sætning Sylows sætninger Klassificering af simple endelige grupper
begrænsede grupper	Endelig cyklisk gruppe C n Symmetrisk gruppe S n Dihedral gruppe D n Skiftende gruppe A n Klein Quadruple Group Mathieu grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fiskergrupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiske grupper	Løgngrupper Ortogonal gruppe O(n) Særlig ortogonal gruppe SO(n) Enhedsgruppe U(n) Særlig enhedsgruppe SU(n) Symplektisk gruppe Sp(n) Enestående enkel Lorentz gruppe Poincaré gruppe
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier transformation