Anosov diffeomorfisme

Anosov diffeomorfismen er en hyperbolsk diffeomorfisme på hele manifolden , en kortlægning med stabil dynamik med hensyn til små forstyrrelser. Indført i teorien om dynamiske systemer af Dmitry Anosov . $f\kolon M\højrepil M$ $M$

Hyperbolicitet på en manifold betyder, at der er en nedbrydning af tangentbundtet til en direkte sum af to kontinuerlige underbundter og , som er invariante under dynamik, og dynamikken ekspanderer og komprimeres eksponentielt: $M$ $TM$ $E^{u}$ $E^{s}$ $E^{u}$ $E^{s}$

\|f^{n}(v)\|\leqslant c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \i E^{s}

\|f^{n}(v)\|\geqslant c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \i E^{u}

hvor og er konstanter. $c_{1},c_{2}>0$ $\mu >1>\lambda >0$

Anosov-diffeomorfismer er strukturelt stabile : For enhver Anosov-diffeomorfi er der et sådant kvarter i klassediffeomorfis rum , hvorfra enhver diffeomorfi er konjugeret til en eller anden homeomorfisme :. Med andre ord adskiller dynamikken i en lille forstyrrelse sig kun fra sig selv ved en (kontinuerlig) ændring af koordinaterne. $f$ $C^1$ $g$ $f$ $h$ $f\circ h=h\circ g$ $f$ $f$

Strækdelen af definitionen kan omskrives som omvendt tidskomprimering:

\|f^{-n}(v)\|\leqslant c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\ ,v\in E^{u}

Det bedst kendte eksempel på en Anosov-diffeomorfisme er handlingen af en kortlægning på en todimensionel torus . Mere generelt: hvis matricen ikke har egenværdier, der i absolut værdi er lig med én, så vil nedstigningen af handlingen af A til torus (veldefineret, da den bevarer ) være en Anosov-diffeomorfisme. $\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)$ $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ $A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n))$ $EN$ $\mathbb{Z } ^{n}$

Litteratur

V. I. Arnold . Yderligere kapitler i teorien om almindelige differentialligninger. — M .: Nauka, 1978.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion til den moderne teori om dynamiske systemer med gennemgang af de seneste præstationer / Pr. fra engelsk. udg. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .