Perfekt trekant

En ideel trekant er en trekant i Lobachevsky-geometrien , hvis toppunkter alle tre er ideelle eller uendelige punkter. Perfekte trekanter kaldes undertiden tre gange asymptotiske trekanter . Deres toppunkter kaldes undertiden ideelle toppunkter . Alle perfekte trekanter er lige store.

Egenskaber

Ideelle trekanter har følgende egenskaber:

Alle perfekte trekanter er lige store.
Alle indvendige vinkler i en perfekt trekant er nul.
En perfekt trekant har en uendelig omkreds.
En ideel trekant er den størst mulige trekant i Lobachevsky-geometrien.

I standard Lobachevsky-planet (en overflade, hvor den Gaussiske krumning er konstant og lig med -1), har en ideel trekant også følgende egenskaber:

Arealet af en sådan trekant er π. [en]

Radius af den indskrevne cirkel er . [2] $r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3\ca. 0,549$

Afstanden fra ethvert punkt i trekanten til dens nærmeste side er mindre end eller lig med ovennævnte radius, og denne lighed er nøjagtig kun opfyldt i midten af den indskrevne cirkel.

Den indskrevne cirkel berører trekanten i tre punkter og danner en ligesidet trekant med side [2] , hvor der er et gyldent snit . $d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0,962$ $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

En cirkel med radius d omkring et punkt inde i trekanten vil røre ved eller skære mindst to sider af trekanten.

Afstanden fra ethvert punkt på siden af en sådan trekant til den anden side er mindre end eller lig med , og præcis ligheden gælder kun for kontaktpunkterne beskrevet ovenfor. $a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\ca. 0,881$

a er også højden af Schweikart trekanten.

Hvis rummets krumning er -K andet end -1, skal arealerne ovenfor ganges med , og længderne og afstandene med . $1/K$ $1/{\sqrt {K}}$

Da en ideel trekant er den størst mulige i Lobachevsky-geometrien, er ovenstående værdier de størst mulige for trekanter i Lobachevsky-geometrien. Denne kendsgerning er vigtig for at studere Lobachevsky-rummet.

Modeller

I Poincaré-modellen i Lobachevsky-planets cirkel dannes en ideel trekant af tre cirkler, der skærer grænsecirklen i rette vinkler.

I Poincaré-modellen, i et halvplan, ligner en ideel trekant en arbelos - en figur mellem tre rørende halvcirkler.

I den projektive model er en ideel trekant en euklidisk trekant indskrevet i grænsecirklen. Desuden, på den projektive model, er vinklerne ved hjørnerne af en ideel trekant ikke lig med nul, da denne model, i modsætning til Poincaré-modellerne, ikke bevarer vinkler.

Den reelle gruppe af en ideel trekant

Poincare model flisebelagt med perfekte trekanter

Ideel (∞ ∞ ∞) trekantgruppe	Endnu en ideel flisebelægning

Den reelle gruppe af en ideel trekant er gruppen af transformationer , der genereres af refleksioner af Lobachevsky-planet med hensyn til siderne af en ideel trekant. Som en abstrakt gruppe er den isomorf til et frit produkt af tre grupper af to elementer. Som et resultat af refleksioner opnås en flisebelægning af Lobachevsky-planet med ideelle trekanter.

Bibliografi

Schwartz, Richard Evan. Ideelle trekantgrupper, bulet tori og numerisk analyse // Annals of Mathematics : journal . - 2001. - Bd. 153 , nr. 3 . - s. 533-598 . - doi : 10.2307/2661362 . - arXiv : math.DG/0105264 . — .

Perfekt trekant

Egenskaber

Modeller

Den reelle gruppe af en ideel trekant

Links

Bibliografi