Kontaktstruktur

En kontaktstruktur er en struktur på en glat manifold af ulige dimensioner , bestående af et glat felt af tangenthyperplaner, der opfylder den ikke-degenerationstilstand, der er formuleret nedenfor. En sådan struktur eksisterer altid på manifolden af kontaktelementer i manifolden. Kontaktstrukturen er tæt forbundet med den symplektiske struktur og er dens analog til ulige-dimensionelle manifolds. $M^{{2n+1}}$

Definition

En kontaktstruktur på en manifold defineres ved at specificere en 1-form , således at $\lambda$

\lambda \wedge (d\lambda )^{n}\neq 0

$\lambda$ kaldet en kontaktformular. Kontaktstrukturen eksisterer kun på en orienterbar manifold og definerer et unikt vektorfelt på sådan $Y$ $M^{{2n+1}}$

\lambda(Y)=1

d\lambda(Y,X)=0

for ethvert vektorfelt . $x$

Egenskaber

Dimensionen af en kontaktmanifold er altid mærkelig.
På et hvilket som helst niveau undermanifold af Hamiltonian givet på faserummet opstår en naturlig kontaktstruktur.

Hver symplektisk 2n-dimensionel manifold er kanonisk forbundet med en (2n+1)-dimensionel kontaktmanifold, kaldet dens kontaktisering .
- Omvendt eksisterer der for enhver (2n+1)-dimensionel kontaktmanifold dens symbolisering , som er en (2n+2)-dimensionel manifold.

Variationer og generaliseringer

Næsten kontaktstruktur

Lad være en ulige-dimensionel glat manifold . $M^{{2n+1}}$ $\dimM=2n+1$

En næsten kontaktstruktur på en manifold er en tredobbelt af tensorfelter på denne manifold, hvor er en differentiel 1-form, kaldet strukturens kontaktform, er et vektorfelt, kaldet karakteristikken, er en endomorfisme , kaldet en strukturel endomorfisme . Hvori $M$ $(\eta ,\xi ,\Phi )$ $\eta$ $\xi$ $\Phi$ $TM$

$\eta (\xi )=1$
$\eta \circ \Phi =0$
$\Phi (\xi)=0$
$\Phi ^{2}=-id+\eta \otimes \xi$

Hvis der desuden er fastgjort en riemannsk struktur på , sådan at $M$ $g=\langle \cdot ,\cdot \rangle$

$\langle \Phi X,\Phi Y\rangle =\langle X,Y\rangle -\eta (X)\eta (Y)$

den firdobbelte kaldes en næsten kontaktmetrisk (eller kortere AC-) struktur. En manifold, hvorpå der er givet en (næsten) kontakt [metrisk] struktur, kaldes henholdsvis en (næsten) kontakt [metrisk] manifold. $(\eta ,\xi ,\Phi ,g)$

Litteratur

Arnold VI Klassisk mekaniks matematiske metoder. - 5. udg., stereotypisk. - M. : Redaktionel URSS, 2003. - 416 s. - 1500 eksemplarer. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Symplektisk geometri.