Inverse hyperbolske funktioner

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 21. oktober 2021; checks kræver 5 redigeringer .

Inverse hyperbolske funktioner (også kendt som arealfunktioner eller arealfunktioner ) er en familie af elementære funktioner defineret som omvendte funktioner til hyperbolske funktioner . Disse funktioner bestemmer arealet af sektoren for enhedshyperbelen x 2 − y 2 = 1 på samme måde som de omvendte trigonometriske funktioner bestemmer længden af buen af enhedscirklen x 2 + y 2 = 1 . Til disse funktioner bruges ofte betegnelserne arcsinh, arcsh, arccosh, arcch osv., selvom sådanne betegnelser strengt taget er fejlagtige, da præfikset arc er en forkortelse for arcus (arc) og derfor kun refererer til inverse trigonometriske funktioner , så som ar står for areal . Mere korrekte notationer er arsinh, arsh osv. og navnene invers hyperbolsk sinus , areasine osv. Også brugt [1] er navnene hyperbolsk areasin , hyperbolsk areacosin , etc., men ordet " hyperbolsk " er overflødig her, da præfikset " område " tydeligt angiver, at funktionen tilhører familien af inverse hyperbolske funktioner . Nogle gange skrives navnene på de tilsvarende funktioner med en bindestreg : areal-sinus , areal-cosinus , osv.

I det komplekse plan er hyperbolske funktioner periodiske, og deres omvendte funktioner har flere værdier. Derfor er det, ligesom inverse trigonometriske funktioner, sædvanligt at skrive arealfunktioner med stort bogstav, hvis værdisættet for funktionen menes ( logaritmen i den tilsvarende funktionsdefinition forstås også som den generelle værdi af logaritmen, betegnet af Ln). Hovedværdierne for de tilsvarende funktioner er skrevet med et lille bogstav.

I russisk litteratur adskiller betegnelserne for de fleste direkte og inverse hyperbolske funktioner (såvel som dele af trigonometriske funktioner) sig fra de engelske betegnelser.

Funktionsnavn	Betegnelse i russisk litteratur	Betegnelse i engelsk litteratur
arealinus	arsh	arsinh, sinh −1
areacosinus	bue	arcosh, cosh -1
arealtangens	arth	artanh, tanh −1
arealtangens	arcth	arcoth, coth -1
områderecance	arsch, arsech	arsech, sech -1
areacosecant	arcsch	arcsch, csch− 1

Funktionsdefinitioner

I det komplekse plan kan de vigtigste værdier af funktioner bestemmes af formlerne:

arealinus

\operatørnavn {arsh}\,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);

areacosinus

\operatørnavn {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1)))

arealtangens

\operatørnavn {arth}\,z={\tfrac 12}\ln \venstre({\frac {1+z}{1-z}}\højre);

arealtangens

\operatørnavn {arcth}\,z={\tfrac 12}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);

områderecance

\operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}-1}} \ret);

areacosecant

\operatornavn {arcsch}\,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt ({\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\ ret).

Kvadratrødderne i disse formler er de vigtigste værdier af kvadratroden (det vil sige, hvis du repræsenterer det komplekse tal z som i ), og de logaritmiske funktioner er funktioner af den komplekse variabel. For reelle argumenter kan der for eksempel foretages nogle forenklinger, som ikke altid er sande for kvadratrøddernes principielle værdier. ${\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\varphi /2},$ ${\displaystyle z=re^{i\varphi ))$ $-\pi <\varphi \leq \pi$ ${\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1)),$

Serieudvidelse

Inverse hyperbolske funktioner kan udvides til serier :

{\begin{aligned}\operatørnavn {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}} +\venstre({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\venstre({\frac {1\cdot 3\ cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty } \left({\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+ 1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatørnavn {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2 }}{2}}+\venstre({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\venstre({\ frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2))}\right){\frac { x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatørnavn {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{ \frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1 )}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatørnavn {arcsch} \,x=\operatørnavn {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1 }{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac { x^{-5}}{5}}-\venstre({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7} }{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n }(n!)^{2))}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1. \end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatørnavn {arsech} \,x=\operatørnavn {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\venstre (\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4} }\right){\frac {x^{4}}{4}}+\venstre({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left( {\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatørnavn {arcth} \,x=\operatørnavn {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{- 3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{ n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned} }

Den asymptotiske ekspansion af arsh x er givet ved

\operatørnavn {arsh}\,x=\ln 2x+\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }{\left({-1}\right)^{{n-1}}{\ frac {{\left({2n-1}\right)!!}}{{2n\left({2n}\right)!!}}}}{\frac {1}{{x^{{2n} }}}}.

Derivater

Fungere $f(x)$	Afledte $f'(x)$	Bemærk
$\mathrm {arsh} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$	Bevis ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arch} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$	Bevis ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bevis $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2))))$	Bevis $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x))))))))$
$\mathrm {arcsch} \x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))))))))))$