Fuchs gruppe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 15. januar 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Den fuchsiske gruppe er en diskret undergruppe af gruppen PSL(2, R ) . Gruppen kan opfattes som gruppen af bevægelser af det hyperbolske plan , eller konforme afbildninger af enhedsskiven, eller konforme afbildninger af det øvre halvplan . Følgelig kan en fuchsisk gruppe betragtes som en gruppe, der handler på et hvilket som helst af disse rum. I andre fortolkninger er en fuchsisk gruppe defineret som en gruppe med et endeligt antal generatorer , eller som en undergruppe, der indeholder orienteringsbevarende elementer. Det er også acceptabelt at definere en fuchsisk gruppe som en kleinianer $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PGL} (2,\mathbb {R} )$ (diskret gruppe af PSL(2, C ) ), som er konjugeret til en undergruppe af gruppen . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Fuchsian-grupper bruges til at skabe en Fuchsian-model af Riemann-overflader . I dette tilfælde kan gruppen kaldes den fuchsiske overfladegruppe . På en måde gør fuchsiske grupper for ikke-euklidisk geometri , hvad krystallografiske grupper gør for euklidisk geometri . Nogle af Eschers tegninger er baseret på fuchsiske grupper (til diskmodellen af Lobachevskys geometri ).

Generelle fuchsiske grupper var de første, der blev studeret af Henri Poincaré [1] , som blev interesseret i artiklen af Lazarus Fuchs [2] , og dette navn kommer fra hans navn.

Fuchsiske grupper på det øverste halvplan

Lad være det øverste halvplan . Derefter er en model af det hyperbolske plan , som er forsynet med metrikken $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0$ ${\mathbb {H}}$

ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.

Gruppen PSL(2, R ) virker på en fraktioneret lineær transformation (som er kendt som Möbius-transformationen ): ${\mathbb {H}}$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d)).

Denne handling er effektiv og faktisk isomorf for gruppen af alle orienteringsbevarende bevægelser af . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

En fuchsisk gruppe kan defineres som en undergruppe af en gruppe , der virker diskontinuerligt på . Det er $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ ${\mathbb {H}}$

For enhver z har banerne ingen grænsepunkter i . ${\mathbb {H}}$ ${\displaystyle {\Gamma }z=\{{\gamma}z\colon \gamma \i \Gamma \))$ ${\mathbb {H}}$

En tilsvarende definition er en fuchsisk gruppe, når . Det betyder at: $\Gamma$ $\Gamma$

Enhver sekvens af elementer , der konvergerer til identitetselementet i den sædvanlige topologi for punktvis konvergens, er i sidste ende konstant, det vil sige, at der er et heltal N , således at for enhver n > N , hvor E er identitetsmatrixen. ${\displaystyle \{\gamma _{n}\))$ $\Gamma$ $\gamma _{n}=E$

Selvom diskontinuitet og diskrethed er ækvivalente i dette tilfælde, er dette ikke sandt for tilfældet med vilkårlige grupper af konforme homeomorfismer, der virker på hele Riemann-sfæren (i modsætning til ). Desuden er den fuchsiske gruppe diskret, men har grænsepunkter på den reelle linje Im z = 0 - elementer vil have z = 0 for ethvert rationelt tal, og rationelle tal er tætte i . ${\mathbb {H}}$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Grundlæggende definition

Den lineære-fraktionelle transformation, defineret af en matrix af , bevarer Riemann-sfæren , men sender den øvre halvplan til en åben disk . Transformationskonjugatet til en sådan transformation sender en diskret undergruppe til en diskret undergruppe af gruppen, mens den bevares . $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty$ ${\mathbb {H}}$ $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta$

Dette giver anledning til følgende definition af en fuchsisk gruppe . Lad handler ufravigeligt på sin egen åbne disk , det vil sige . Så er Fuchsian , hvis og kun hvis nogen af de følgende tilsvarende egenskaber gælder: $\Gamma \subset \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$ $\Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty$ $\Gamma (\Delta)=\Delta$ $\Gamma$

$\Gamma$ er en diskret gruppe (under hensyntagen til standardtopologien på ). $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )$
$\Gamma$ handler korrekt diskontinuerligt på hvert punkt . $z\in \Delta$
sættet er en delmængde af diskontinuitetsregionen for . $\Delta$ $\Omega (\Gamma )$ $\Gamma$

Det vil sige, at enhver af disse tre egenskaber kan bruges som en definition af en fuchsisk gruppe, de andre følger af den valgte definition som en teorem. Forestillingen om en korrekt invariant diskontinuerlig delmængde er vigtig. Den såkaldte Picard-gruppe er diskret, men bevarer ingen disk i Riemann-sfæren. Desuden virker selv den modulære gruppe , som er en fuchsisk gruppe, ikke diskontinuerligt på den reelle linje. Det har grænsepunkter i rationelle tal . Ligeledes er ideen om, hvad der er en ordentlig delmængde af diskontinuitetsregionen, vigtig. Hvis dette ikke er til stede, kaldes undergruppen en kleinsk gruppe . $\Delta$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\Delta$

Normalt tages enten en åben enhedsskive eller et øvre halvplan som et invariant område . $\Delta$

Grænsesæt

I betragtning af handlingens diskrethed har kredsløbet af punktet z i det øvre halvplan under handlingen ingen kondensationspunkter i det øvre halvplan. Der kan dog være grænsepunkter på den reelle akse. Lad være grænsesættet for gruppen , det vil sige sættet af grænsepunkter for . Så . Grænsesættet kan være tomt eller bestå af et eller to punkter, eller det kan bestå af et uendeligt antal. I sidstnævnte tilfælde er der to muligheder: ${\Gamma }z$ $\Gamma$ $\Lambda (\Gamma )$ $\Gamma$ ${\Gamma }z$ $z\in \mathbb {H}$ $\Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {R} \cup \infty$

En fuchsisk gruppe af den første type er en gruppe, hvor grænseværdien er en lukket reel linje . Dette sker, når kvotientrummet har begrænset volumen, men der er fuchsiske grupper af den første slags med uendeligt kovolumen. $\mathbb {R} \cup \infty$ $\mathbb {H} /\Gamma$

Ellers siges den fuchsiske gruppe at være af den anden type . Tilsvarende er det en gruppe, for hvilken grænsesættet er et perfekt sæt , det vil sige et intetsteds tæt sæt på . Da det ingen steder er tæt, følger det, at ethvert grænsepunkt er vilkårligt tæt på et åbent sæt, der ikke hører til grænsesættet. Med andre ord er grænsesættet Cantor-sættet . $\mathbb {R} \cup \infty$

Typen af en fuchsisk gruppe behøver ikke at være den samme, hvis den betragtes som en kleiniansk gruppe - faktisk er alle fuchsiske grupper kleinianske grupper af den anden type, da deres grænsesæt (som kleinianske grupper) er rigtige delmængder af Riemann-sfæren indeholdt i en eller anden kreds.

Eksempler

Et eksempel på en fuchsisk gruppe er den modulære gruppe . Det er en undergruppe af gruppen bestående af lineær-fraktionelle transformationer $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ $\mathrm {PSL} (2,R)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}

hvor a , b , c , d er heltal. Kvotientrummet er modulrummet af elliptiske kurver . $\mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$

Fuchsiske grupper omfatter også grupper for hver n > 0. Her består den af lineær-fraktionelle transformationer af ovenstående form, hvor matricens elementer $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)$

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}

er sammenlignelige med elementerne i identitetsmatrixen med hensyn til submodulet n .

Et cocompact eksempel er den (sædvanlige) Trekantgruppe (2,3,7) (ved rotationer), der indeholder alle de fuchsiske grupper af Klein quartic og McBeath overfladerne , ligesom andre Hurwitz grupper . Mere generelt er enhver hyperbolsk von Dyck -gruppe (en undergruppe af trekantgruppen med indeks 2 svarende til orienteringsbevarende bevægelser) en fuchsisk gruppe.

Alle af dem er fuchsiske grupper af den første slags .

Alle hyperbolske og parabolske cykliske undergrupper i gruppen er fuchsiske. $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$
Enhver elliptisk cyklisk undergruppe er fuchsisk, hvis og kun hvis den er endelig.
Enhver abelsk fuchsisk gruppe er cyklisk.
Ingen fuchsisk gruppe er isomorf . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$
Lad være en ikke-abelsk fuchsisk gruppe. Så er gruppens normalisator Fuchsian. $\Gamma$ $\Gamma$ $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$

Metriske egenskaber

Hvis h er et hyperbolsk element, er translationslængden L af gruppehandlingen i det øverste halvplan relateret til sporet af h som en matrix ved relationen $2\ gange 2$

|\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2)).

En lignende egenskab gælder for systolen af den tilsvarende Riemann-overflade, hvis den fuchsiske gruppe er torsionsfri og co-kompakt.

Se også

Kvasi-fuchsisk gruppe
Ikke-euklidisk krystallografisk gruppe
Schottky gruppe

Litteratur

Lazarus Fuchs . Ueber eine Klasse von Funktionen mehrerer Variablen, welche durch Umkehrung der Integrale von Lösungen der linearen Differentialgleichungen mit rational Coeffizienten entstehen // J. Reine Angew. Math.. - 1880. - T. 89 . — S. 151–169 .
Hershel M. Farkas, Irwin Kra. Se afsnit 1.6 // Theta Constants, Riemann Surfaces and the Modular Group. — Providence R.I.: American Mathematical Society . — ISBN 978-0-8218-1392-8 .
Henryk Iwaniec . Se kapitel 2. // Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition. - Providence, RI: America Mathematical Society, 2002. - V. 53. - ( Graduate Studies in Mathematics ). - ISBN 978-0-8218-3160-1 .
Svetlana Katok . Fuchsiske grupper. - Chicago: University of Chicago Press, 1992. - ISBN 978-0-226-42583-2 .
David Mumford , Caroline Series, David Wright. Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 978-0-521-35253-6 . .
Peter J. Nicholls. Den ergodiske teori om diskrete grupper. - Cambridge: Cambridge University Press, 1989. - V. 143. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-37674-7 .
Henri Poincare . Théorie des groupes fuchsiens // Acta Mathematica . - Springer Nederlandene, 1882. - T. 1 . — S. 1–62 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02592124 .
Ernest B. Winberg . Matematisk encyklopædi / chefredaktør I.M. Vinogradov. - Soviet Encyclopedia, 1977. - V. 5.