Tegneren Shura

Schur-multiplikatoren er den anden gruppehomologi i gruppen G . Det blev introduceret af Isai Shur [1] i hans arbejde med projektive repræsentationer $H_{2}(G,\mathbb {Z} )$ .

Eksempler og egenskaber

Schur-multiplikatoren for en endelig gruppe G er en finit Abelsk gruppe, hvis eksponent deler rækkefølgen af gruppen G. Hvis en Sylow p -undergruppe af G er cyklisk for nogle p , så er rækkefølgen ikke delelig med p . Især hvis alle Sylow p -undergrupper af G er cykliske, så er det trivielt. $\operatørnavn {M} (G)$ $\operatørnavn {M} (G)$ $\operatørnavn {M} (G)$

For eksempel er Schur-multiplikatoren for en ikke-abelsk gruppe af orden 6 en triviel gruppe , da enhver Sylow-undergruppe er cyklisk. Schur-multiplikatoren af en elementær abelsk gruppe af orden 16 er en elementær abelsk gruppe af orden 64, hvilket viser, at multiplikatoren kan være strengt taget større end selve gruppen. Schur-multiplikatoren for en quaternion-gruppe er triviel, mens Schur-multiplikatoren for dihedriske 2-grupper er af orden 2.

Schur-multiplikatorerne af finite simple grupper er defineret på finite simple grupper . Dækkende grupper af alternerende og symmetriske grupper har for nylig fået stor opmærksomhed.

Forbindelse med projektive repræsentationer

Den oprindelige grund til at studere multiplikatorer for Schur var klassificeringen af projektive repræsentationergrupper, og den moderne formulering af dens definition er den andenkohomologi af grupper . En projektiv repræsentation ligner megeten grupperepræsentation, bortset fra at i stedet for en homomorfi til enfuld lineær gruppe,tageshomomorfitil enprojektiv fuld lineær. Med andre ord er den projektive repræsentation repræsentationen modulomidten. $H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })$ $\operatørnavn {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\operatørnavn {PGL} (n,\mathbb {C} )$

Schur [1] [2] viste, at enhver finit gruppe G har mindst én endelig gruppe C forbundet med sig , kaldet et Schur cover , med den egenskab, at enhver projektiv repræsentation af G kan løftes til en almindelig repræsentation af C. En Schur -belægning er også kendt som en dækgruppe . Schur-belægninger af endelige simple grupper er kendte og hver er et eksempel på en kvasisimple gruppe . Schur-dækningen af en perfekt gruppe er unikt defineret op til isomorfisme, men Schur-dækningen af en generel finit gruppe er kun defineret op til isoklinisme .

Forholdet til centrale udvidelser

Undersøgelsen af sådanne dækningsgrupper fører naturligt til undersøgelsen af central- og stammeforlængelser .

Den centrale forlængelse af gruppe G er forlængelsen

1\to K\to C\to G\to 1

hvor er en undergruppe af midten af gruppe C . $K\leqslant Z(C)$

Stængelforlængelsen af gruppe G er forlængelsen

1\to K\to C\to G\to 1

hvor er skæringsundergruppen af centrum C og den afledte undergruppe af gruppen C . Dette er mere restriktivt end centret [3] . $K\leqslant Z(C)\cap C'$

Hvis gruppen G er endelig, og kun stammeforlængelser tages i betragtning, så er der den største størrelse af en sådan gruppe C , og for enhver gruppe C af denne størrelse er undergruppen K isomorf med Schur-multiplikatoren i gruppen G. Hvis en endelig gruppe G desuden er perfekt , så er C unik op til isomorfi og er i sig selv perfekt. En sådan gruppe C kaldes ofte universelle perfekte centrale forlængelser af gruppen G , eller en dækkende gruppe (da det er den diskrete analog til det universelle dækkende rum i topologi). Hvis en endelig gruppe G ikke er perfekt, så er grupperne af dens Schur-belægninger (alle sådanne C'er af maksimal orden) kun isokliniske .

Gruppen kaldes også mere kort for den universelle centrale forlængelse , men bemærk, at der ikke er nogen største centrale forlængelse, da det direkte produkt af en gruppe G og en abelsk gruppe danner en central forlængelse af gruppen G af vilkårlig størrelse.

Stængelforlængelser har den interessante egenskab, at enhver løftning af generatorsættet i en gruppe G er et generatorsæt af C . Hvis en gruppe G er defineret som en fri gruppe F på et sæt af generatorer, og en normal undergruppe R genereres af et sæt af links på generatorerne , således at den dækkende gruppe selv kan repræsenteres i form af F , men med en mindre normal undergruppe S , dvs. Da relationerne til G bestemmer, skal elementerne i K , når de betragtes som en del af C , holde . $G\cong F/R$ $C\cong F/S$ $S\leqslant [F,R]$

Faktisk, hvis G er perfekt, er det alt, der skal til: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] og M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. På grund af denne enkelhed behandler udstillinger som dem i Aschbachers papir [4] den perfekte sag først. Det generelle tilfælde for Schur-multiplikatoren er ens, men hensynet sikrer, at forlængelsen er en stammeforlængelse ved at begrænse til den genererede undergruppe F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Disse er alle lidt nyere resultater af Schur, som også gav nogle nyttige kriterier til at beregne multipler mere eksplicit.

Relation til effektive repræsentationer

I kombinatorisk gruppeteori beskrives grupper ofte ved en gruppeopgave . Et vigtigt emne inden for dette område af matematik er studiet af opgaver med så få forbindelser som muligt, såsom Baumslag-Solitaire-grupper med én definerende relation. Disse grupper er uendelige grupper med to generatorer og en relation, og Schreiers gamle resultat viser, at enhver opgave med flere generatorer end relationer giver en uendelig gruppe. Så er grænsetilfældet interessant - når endelige grupper har det samme antal generatorer og relationer, og i dette tilfælde siger de, at gruppen har nul defekt . For at en gruppe skal have defekt nul, skal gruppen have en triviel Schur-multiplikator, da minimumsantallet af Schur-multiplikatorgeneratorer altid er mindre end eller lig med forskellen mellem antallet af relationer og antallet af generatorer, hvilket giver en negativ defekt . En effektiv gruppe er en gruppe, hvor Schur-multiplikatoren kræver, at mange generatorer [5] .

Et meget nyligt forskningsemne er at finde effektive repræsentationer for alle finite simple grupper med trivielle Schur-multiplikatorer. Sådanne repræsentationer er på en måde pæne, da de normalt er korte, men svære at finde og svære at arbejde med, da de er dårligt egnede til standardmetoder som f.eks. coset-optælling .

Forholdet til topologi

I topologi kan grupper ofte beskrives som endelige gruppeopgaver , og det grundlæggende spørgsmål er at beregne deres fuldstændige integrale homologi . Især den anden homologi spiller en særlig rolle, og dette fik Heinz Hopf til at finde en effektiv metode til at beregne den. Metoden beskrevet i Hopfs artikel [6] er også kendt som Hopfs integrale homologiformel , og denne formel er identisk med Schur-formlen for Schur-multiplikatoren af en endelig gruppe: $H_{n}(G,\mathbb {Z} )$

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]

hvor og F er en fri gruppe . Den samme formel gælder også, når G er en perfekt gruppe [7] . $G\cong F/R$

Erkendelsen af , at disse formler faktisk er de samme, fik Samuel Eilenberg og Saunders MacLane til at skabe gruppekohomologien . I sin generelle forstand,

H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{* }

hvor asterisken betyder den algebraisk dobbeltgruppe. Når gruppen G er endelig, er der desuden en unaturlig isomorfi

{\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C } ^{\ gange }).

Hopfs formel for er blevet generaliseret til højere dimensioner. For én tilgang og for bibliografien, se Iveret, Grahn og Van der Linden [8] . $H_{2}(G)$

En perfekt gruppe er en gruppe, hvis første integrale homologi er nul. En superperfekt gruppe er en gruppe, de første to integrerede homologigrupper er nul. Schur-belægninger af endelige perfekte grupper er superperfekte. En acyklisk gruppe er en gruppe, hvor alle reducerede integralhomologier er nul.

Ansøgninger

Den anden algebraiske K-gruppe K 2 ( R ) af en kommutativ ring R kan identificeres med den anden homologigruppe H 2 ( E ( R ), Z ) i gruppen E ( R ) af (uendelige) elementære matricer med elementer fra R [9] .

Se også

Kvasi-simpel gruppe

Millers artikel [10] giver et andet syn på Schur-multiplikatoren som kernen i morfismen κ: G ∧ G → G genereret af kommutatorkortet.

Noter

↑ 12 Schur , 1904 .
↑ Schur, 1907 .
↑ Rotman, 1994 , s. 553.
↑ Aschbacher, 2000 , s. §33.
↑ Johnson og Robertson 1979 , s. 275-289.
↑ Hopf, 1942 .
↑ Rosenberg, 1994 , s. Sætning 4.1.3, 4.1.19.
↑ Everaert, Gran, Van der Linden, 2008 , s. 2231-67.
↑ Rosenberg, 1994 , s. Konsekvens 4.2.10.
↑ Miller, 1952 .

Litteratur

Michael Aschbacher. Finite group theory // 2. - Cambridge University Press , 2000. - V. 10 . - ISBN 978-0-521-78145-9 .
Heinz Hopf . Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1942. - T. 14 . — S. 257–309 . — ISSN 0010-2571 . - doi : 10.1007/BF02565622 .
David Lawrence Johnson, Edmund Frederick Robertson. Finite grupper af mangel nul // Homologisk gruppeteori / CTC Wall. - Cambridge University Press , 1979. - V. 36. - (London Mathematical Society Lecture Note Series). - ISBN 978-0-521-22729-2 .
Leonid Viktorovich Kuzmin. Schur multiplicator // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 1994. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Jonathan Rosenberg. Algebraisk K-teori og dens anvendelser . - Springer-Verlag , 1994. - V. 147. - ( Graduate Texts in Mathematics ). — ISBN 978-0-387-94248-3 .
Joseph J. Rotman. En introduktion til gruppeteori. - Springer-Verlag , 1994. - ISBN 978-0-387-94285-8 .
Issai Schur . Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (tysk) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1904. - T. 127 . — S. 20–50 . — ISSN 0075-4102 .
Issai Schur . Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen. (tysk) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1907. - T. 132 , Nr. 132 . — S. 85–137 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1907.132.85 .
Wilberd Van der Kallen. Anmeldelse: F. Rudolf Beyl og Jürgen Tappe, Gruppeudvidelser, repræsentationer og Schur-multiplikatoren // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1984. - T. 10 . — S. 330–3 . - doi : 10.1090/s0273-0979-1984-15273-x .
James Wiegold. Schur-multiplikatoren: en elementær tilgang // Groups–St. Andrews 1981 (St. Andrews, 1981). - Cambridge University Press , 1982. - V. 71. - S. 137-154. — (London Math. Soc. Lecture Note Ser.).
Claire Miller. Den anden homologi af en gruppe // Proc. amer. Matematik. Soc .. - 1952. - V. 3 , no. 4 . — S. 588–595 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0049191-5 .
Dennis RK På jagt efter nye "Homologi"-funktioner, der har et tæt forhold til K-teori. - Cornell University, 1976.
Brown R., Johnson DL, Robertson EF Nogle beregninger af ikke-abelske tensorprodukter af grupper // J. Algebra. - 1987. - T. 111 . — S. 177–202 . - doi : 10.1016/0021-8693(87)90248-1 .
Ellis GJ, Leonard F. Computing Schur-multiplikatorer og tensorprodukter af endelige grupper // Proceedings of the Royal Irish Academy. - 1995. - T. 95A , no. 2 . — s. 137–147 . — ISSN 0035-8975 . — .
Ellis GJ Schur-multiplikatoren for et par grupper // Appl. Kateg. Struct.. - 1998. - V. 6 , no. 3 . — S. 355–371 . - doi : 10.1023/A:1008652316165 .
Bettina Eick, Werner Nickel. Beregning af Schur-multiplikatoren og det nonabelske tensorkvadrat af en polycyklisk gruppe // J. Algebra. - 2008. - T. 320 , no. 2 . — S. 927–944 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.041 .
Tomas Everaert, Marino Gran, Tim Van der Linden. Højere Hopf-formler for homologi via Galois-teori // Adv. Math.. - 2008. - V. 217 , nr. 5 . — S. 2231–67 . - doi : 10.1016/j.aim.2007.11.001 .