Polær nedbrydning

Polær nedbrydning er en repræsentation af en kvadratisk matrix som et produkt af hermitiske og enhedsmatricer . Det er en analog af nedbrydningen af ethvert komplekst tal i formen . $EN$ $S$ $U$ $A=SU$ ${\displaystyle z=|z|e^{i\varphi ))$

Egenskaber

Enhver kvadratisk matrix over (over ) kan repræsenteres som , hvor er en symmetrisk (Hermitian) ikke-negativ bestemt matrix, er en ortogonal (unitær) matrix. Hvis matrixen er ikke- degenereret , så er en sådan repræsentation unik [1] . $EN$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $A=SU$ $S$ $U$ $EN$
Enhver matrix kan repræsenteres som , hvor og er enhedsmatricer, er en diagonal matrix [1] . $EN$ $A=UDW$ $U$ $W$ $D$
Hvis er polære udvidelser af en ikke-degenereret matrix , så [1] . $A=S_{{1}}U_{{1}}=S_{{2}}U_{{2}}$ $EN$ $U_{{1}}=U_{{2}}$

Eksistens

Lad os bevise, at enhver kvadratisk matrix over kan repræsenteres som et produkt af en symmetrisk ikke-negativ bestemt matrix og en ortogonal matrix. $EN$ $\mathbb {R}$

Siden er matrixen symmetrisk. Der er [2] en basis, som kan betegnes med , bestående af ortonormale egenvektorer af matricen , arrangeret i faldende rækkefølge af egenværdier. ${\left(A^{T}A\right)}^{T}=A^{T}A$ $A^TA$ $\vec{e}$ $A^TA$

Siden , så for enhver vektorer og basis , . Det betyder, at billedet af grundlaget i forhold til transformationen er ortogonalt (vinklerne mellem vektorernes vektorer bevares, men ikke deres længder). Under transformationen transformeres basisvektorerne til vektorer . $(A^T(x), y) = (x, A(y))$ $e_{i}$ $e_j$ $e$ $\lambda_i (\vec{e_i}, \vec{e_j})=(A^TA(\vec{e_i}), \vec{e_j})=(A(\vec{e_i}), A(\vec{ e_j}))$ $\vec{e}$ $EN$ $EN$ $\vec{e_i}$ $e$ $\sqrt{\lambda_i} \vec{e_k}$

De entalsværdier af en matrix er kvadratrødderne af matricens egenværdier . $EN$ $\sqrt{\lambda_i}$ $A^TA$

Derfor er det indlysende, at . Da vektorerne i det undersøgte grundlag er arrangeret i faldende rækkefølge efter deres egenværdier, eksisterer der et antal , således at . $\lambda_i \ge 0$ $r$ $\forall i \le r \rightarrow \lambda_i > 0$

Lade være et system af vektorer ved , suppleret til en ortonormal basis vilkårligt. Lad være overgangsmatrixen fra basis til basis . Da begge baser er ortonormale, er matrixen ortogonal. Da der er en ortonormal basis af egenvektorer af matrixen . Det betyder, at matricen i basis har en diagonal form, og derfor er den symmetrisk i en vilkårlig ortonormal basis. $f$ $\vec{f_i} = {{\vec{A(e_i)}} \over {\sqrt{\lambda_i}}}$ $i < r$ $Q$ $e$ $f$ $Q$ $Q^{-1} A(e_i) = Q^{-1} \left( \sqrt{\lambda_i} f_i\right)=\sqrt{\lambda_i} e_i$ $Q^{-1} A$ $Q^{-1} A$ $\vec{e}$

Altså, hvor matricen er ortogonal, og matricen er symmetrisk. $A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)$ $Q$ $Q^{-1} A$

Noter

↑ 1 2 3 Problemer og sætninger for lineær algebra, 1996 , s. 224.
↑ egenværdier af en symmetrisk matrix

Litteratur

Prasolov VV Problemer og sætninger af lineær algebra. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .