Symmetri i kvantemekanik

Symmetrier i kvantemekanikken er transformationer af rum-tid og partikler, der efterlader kvantemekanikkens ligninger uændrede . Behandlet i mange grene af kvantemekanikken, som omfatter relativistisk kvantemekanik, kvantefeltteori , standardmodellen og kondenseret stoffysik . Generelt er symmetri i fysik , lovene om invarians og bevarelse grundlæggende begrænsninger for formuleringen af fysiske teorier og modeller. I praksis er det kraftfulde metoder til at løse problemer og forudsige, hvad der kan ske. Selvom fredningslovene ikke altid giver den endelige løsning på problemet, danner de de korrekte begrænsninger og skitser til løsning af mange problemer.

Denne artikel beskriver sammenhængen mellem den klassiske form for kontinuerte symmetrier samt deres kvanteoperatorer , som relaterer dem til Lie-grupper og relativistiske transformationer i Lorentz-gruppen og Poincaré-gruppen .

Notation

Konventionerne brugt i denne artikel er som følger. Fed skrift angiver vektorer , 4-vektorer , matricer og vektoroperatorer, mens kvantetilstande er angivet med parenteser (bra og ket-notation). Brede hatte er til operatører , smalle hatte er til enhedsvektorer (inklusive deres komponenter i tensorindekser). Medmindre andet er angivet, anvendes konventionen om at summere gentagne tensorindekser. Den metriske signatur af Minkowski-rummet (+ −−−).

Symmetritransformationer af bølgefunktionen i ikke-relativistisk kvantemekanik

Kontinuerlige symmetrier

Generelt er overensstemmelsen mellem kontinuerlige symmetrier og bevarelseslove givet af kvanteanalogen til Noethers sætning .

Formen af fundamentale kvanteoperatorer, såsom energi som en partiel afledt med hensyn til tid og momentum som en gradient (fra rumlige koordinater), bliver tydelig, hvis vi betragter starttilstanden og derefter lidt ændrer en af dens parametre. Denne tilgang fungerer for forskydning (længde), varighed (tid) og vinkler (rotation). Derudover kan invariansen af nogle mængder ses ved at udføre transformationer af længder og vinkler, hvilket indikerer bevarelsen af disse mængder.

I det følgende vil vi kun overveje transformationer for enkeltpartikelbølgefunktioner af formen:

{\widehat {\Omega }}\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t')

hvor angiver enhedsoperatoren . Enhed er normalt påkrævet for operatorer, der repræsenterer transformationer af rum, tid og spin, da tilstandsnormen (der repræsenterer den samlede sandsynlighed for at finde en partikel med noget spin i et eller andet rumvolumen) skal være invariant under disse transformationer. Den omvendte transformation er givet af den hermitiske konjugation . Disse resultater kan udvides til mange-partikelbølgefunktioner. I Dirac-notationen af transformationer af kvantetilstande : ${\widehat {\Omega ))$ ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dolk }$

{\widehat {\Omega }}\left|\mathbf {r} (t)\right\rangle =\left|\mathbf {r} '(t')\right\rangle

Operatorhandlingen transformerer derefter bølgefunktionen ψ ( r , t ) til ψ ( r ′, t ′ ), så den inverse operator erstatter ψ ( r ′, t ′ ) med ψ ( r , t ), så hver operator vil være invariant med hensyn til den leverede konvertering ${\widehat {\Omega ))$ ${\widehat {\Omega }}^{-1}={\widehat {\Omega }}^{\dolk }$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {\Omega ))$

{\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dolk }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad { \widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi

og derfor:

[{\widehat {\Omega )),{\widehat {A}}]\psi =0

for enhver tilstand ψ . De kvanteoperatorer, der svarer til de observerbare , skal også være hermitiske for at deres egenværdier er reelle tal , dvs. operatoren er lig med dens hermitiske konjugat , . ${\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dolk }$

En oversigt over Lie-gruppeteori

Nedenfor er gruppeteoriens nøglebestemmelser relateret til kvanteteori, og der gives eksempler i hele artiklen. En alternativ tilgang bruger matrixgrupper (se Halls bøger) [1] [2]

Lad G være en Lie-gruppe , der lokalt er parametriseret af et endeligt antal N af reelle kontinuerligt varierende parametre ξ 1 , ξ 2 ,. . . ξ N. Eller på et andet sprog betyder det, at G er en jævn manifold , som også er en gruppe, med glatte gruppeoperationer.

Gruppens dimension er lig med N - det vil sige, den er lig med antallet af parametre i gruppen.
elementerne i gruppen g i G er funktioner af parametrene:

g=G(\xi _{1},\xi _{2},\cdots )

og når alle parametre er sat til nul, svarer dette til det neutrale element i gruppen:

I=G(0,0\cdots )

Elementerne i en gruppe er ofte repræsenteret som matricer, der virker på vektorer eller transformationer, der virker på funktioner.

Gruppegeneratorer er partielle afledninger af gruppeelementer med hensyn til gruppeparametrene på det tidspunkt, hvor parameteren er nul, nemlig

{\displaystyle X_{j}=\venstre.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j))}\right|_{\xi _{j}=0))

I manifoldsproget er generatorerne af en gruppe elementerne i tangentrummet til G ved identiteten. Generatorer er også kendt som elementer i en infinitesimal gruppe eller som elementer i Lie-algebraen for en gruppe G. (Se diskussionen af kommutatoren nedenfor.) En fordel ved generatorer i teoretisk fysik er, at disse operatorer har symmetrier, der kan skrives som matricer eller som differentialoperatorer. I kvanteteori, for enhedsgrupperepræsentationer, multipliceres generatorer med i :

{\displaystyle X_{j}=i\venstre.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j))}\right|_{\xi _{j}=0))

Gruppegeneratorer danner et vektorrum , hvilket betyder, at lineære kombinationer af generatorer også danner en generator.

Generatorer (matricer eller differentialoperatorer) opfylder kommuteringsrelationerne :

{\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c))

hvor f abc er (afhængigt af grundlaget) strukturkonstanter for gruppen. Sammen med vektorrummets egenskaber definerer gruppens generatorer grundlaget for Lie-algebraen . På grund af parentesens (kommutatorens) antisymmetri er gruppens strukturkonstanter antisymmetriske i de to første indekser.

Grupperepræsentationer beskriver de måder, hvorpå en gruppe G (eller dens Lie-algebra) virker på et vektorrum. (Vektorrummet kan f.eks. tages som rummet af egenvektorer af en Hamiltonianer med G som symmetrigruppe.) Vi betegner repræsentationerne med stort D. Derefter kan vi differentiere D for at opnå en Lie-algebra-repræsentation, ofte også betegnet af D. Disse to repræsentationer er relateret som følger:

{\displaystyle D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j)))))

uden summering over det gentagne indeks j . Grupperepræsentationer er lineære operatorer, der er tildelt hvert element i gruppen, og for hvilke sammensætningsreglen er opfyldt:

D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).

En repræsentation, der ikke kan dekomponeres til en direkte sum af andre repræsentationer, kaldes irreducibel . Det er sædvanligt at markere irreducible repræsentationer med et hævet n i parentes, som i D ( n ) , eller, hvis der er mere end et tal, så skriv D ( n , m,. . . ) .

En yderligere subtilitet opstår i kvanteteorien: to vektorer, der adskiller sig med en skalarfaktor, definerer den samme fysiske tilstand. Så er den passende repræsentationsbegreb en projektiv repræsentation, der kun opfylder loven om sammensætning op til en skalarfaktor. I forbindelse med kvantemekanisk spin kaldes sådanne repræsentationer spinor- repræsentationer .

Momentum og energi som generatorer af transport, udvikling i tid og rotation

Operatøren af rumlige oversættelser virker på bølgefunktionen og forskyder de rumlige koordinater med et uendeligt lille skift Δ r . Et eksplicit udtryk for operatoren kan opnås ved at bruge Taylor-rækkeudvidelsen ψ ( r + Δ r , t ) i nærheden af r , og derefter (bevarer førsteordensleddet og negligerer anden- og højereordensleddet) erstatter de rumlige afledte (gradient) med momentumoperatoren . Tilsvarende, for time-shift-operatoren, der virker på tidsparameteren, i Taylor-seriens ekspansion for ψ ( r , t + Δt ) i nærheden af t , erstattes den tidsafledede af energioperatøren . ${\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$ ${\widehat {T}}$ ${\widehat {\mathbf {p} }}$ ${\widehat {E}}$

Navn	Broadcast operatør ${\widehat {T}}$	Time Evolution Operatør ${\widehat {U}}$
Handling på bølgefunktionen	${\widehat {T))(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)$	${\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t+\Delta t)$
Infinitesimal operator	${\widehat {T))(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}$	${\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}$
endelige operatør	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{N}}\cdot {\widehat { \mathbf {p} }}\right)^{N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} } }\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )$	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}} \right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t )$
Generator	Momentum operatør ${\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$	Energioperatør ${\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))$

Eksponentielle funktioner opstår i henhold til definitionen givet af Euler , og deres fysiske og matematiske betydning forstås som følger. En ren carry består af mange små skift, så for at få skiftoperatoren til den endelige stigning, skal du erstatte Δ r med Δ r / N og Δ t med Δ t / N , hvor N er et positivt heltal, der ikke er nul. Så , med stigende N, bliver værdien af Δ r og Δ t endnu mindre, mens deres værdier forbliver uændrede. Virkningen af infinitesimale operatorer på bølgefunktionen N gange og passagen til grænsen, når N tenderer mod uendeligt, fører til formen af finite operatorer.

Oversættelser af rum- og tidspendling, hvilket også betyder kommutering af deres operatører og generatorer.

Afbrydere

Operatører	$\left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}),{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\ mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {U}}(t_{1}),{\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$
Generatorer	$\left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$	$\left[{\widehat {E}},{\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0$

For en Hamiltonianer, der ikke er eksplicit afhængig af tid, bevares energi i tid, og kvantetilstandene kaldes stationære tilstande : Hamiltonianerens egentilstande er egenværdierne af energien E :

{\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)

og alle stationære tilstande tager formen

\psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})

hvor t 0 er starttidspunktet, er sædvanligvis lig med nul, da valget af starttidspunkt ikke bryder kontinuiteten.

I anden notation kan du skrive . ${\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})$

Vinkelmomentum som en generator af rotation

Orbital vinkelmomentum

Rotationsoperatoren virker på bølgefunktionen på en sådan måde, at partiklens rumlige koordinater roteres med en konstant vinkel Δ θ :

{R}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t)

hvor r ′ angiver koordinaterne roteret rundt om aksen. Aksen er sat af en enhedsvektor , og rotationen er defineret af vinkeltilvæksten Δ θ , bestemt af formlen : ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$

\mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.

hvor er rotationsmatricen afhængig af akse og vinkel. I gruppernes sprog er rotationsmatricerne gruppens elementer, og vinklerne og aksen er parametrene for den tredimensionelle specielle ortogonale gruppe SO(3). Rotationsmatricer omkring standardgrundlaget for det kartesiske system med vinklen Δ θ , og de tilsvarende rotationsgeneratorer J = ( J x , J y , J z ) : ${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})$ $\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})$ ${\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$

${\widehat {R}}_{x}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e}}}_{x})={\begin{ pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}\equiv J_{1}=i\venstre.{\frac {\partial {\widehat {R))(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{y}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e}}}_{y})={\begin{ pmatrix}\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}\equiv J_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R))(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {R}}_{z}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e}}}_{z})={\begin{ pmatrix}\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}\equiv J_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R))(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z} )}{\partial \theta }}\right\|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

I en mere generel forstand, for rotationer omkring aksen defineret af vektoren , er elementerne i rotationsmatricen givet [3] ${\hat {\mathbf {a} ))$

[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j}) \cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}

hvor δ ij er Kronecker - symbolet og ε ijk er Levi-Civita-symbolet .

Det er ikke indlysende, hvordan man definerer rotationsoperatoren sammenlignet med oversættelser af rum og tid. Man kan overveje et særligt tilfælde (rotation om x , y eller z - aksen ) og derefter udlede det generelle resultat, eller direkte bruge den generelle rotationsmatrix og tensorindeks med δ ij og ε ijk . For at udlede en infinitesimal rotationsoperator, der svarer til en lille Δ θ , bruger vi små vinkeltilnærmelserne sin (Δ θ ) ≈ Δ θ og cos (Δ θ ) ≈ 1 og Taylor-udvidelsen omkring r eller r i , mens vi kun opretholder den første rækkefølge og i Til sidst erstatter vi komponenterne i vinkelmomentoperatoren.

	Vend om ${\hat {\mathbf {e} }}_{z}$	Vend om ${\hat {\mathbf {a} ))$
Handling på bølgefunktionen	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e}}}_{z})\psi (x,y,z,t)=\psi (x-\ Delta \theta y,\Delta \theta x+y,z,t)$	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j} ,t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)$
Infinitesimal operator	${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\widehat {L}}_{z}$	${\begin{aligned}{\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})&=I-(-\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kij}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i))}\\&=I-(\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kji}r_{j} ){\frac {\partial }{\partial r_{i))}\\&=I-\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot (\mathbf {r} \times \nabla )\\&=I-{\frac {i\Delta \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\\\end {aligned}}$
Infinitesimale rotationer	${\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} ))\,,\quad {\widehat {\mathbf {L} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {a} }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}$	ligeledes
Slut vendinger	$\lim _{N\rightarrow \infty }\left(1-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \theta }{N}}{\hat {\mathbf {a } }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\ mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)={\widehat {R}}$	ligeledes
Generator	z -komponent af vinkelmomentoperatoren ${\widehat {L}}_{z}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}$	Total vinkelmomentoperator . ${\widehat {\mathbf {L} }}$

Z -komponenten af vinkelmomentoperatoren kan erstattes med en projektion langs aksen defineret af vektoren ved hjælp af prikproduktet . ${\hat {\mathbf {a} ))$ ${\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}$

Igen kan en endelig rotation udføres ved at bruge mange små rotationer, erstatte Δθ med Δθ / N og gå til grænsen, når N går til uendelig . Dette resulterer i en rotationsoperator for den endelige rotation.

Rotationer omkring samme akse pendler, for eksempel kan rotation gennem vinklerne θ 1 og θ 2 omkring i -aksen skrives

R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R( \theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\ mathbf {e} _{i})]=0\,.

Rotationer om forskellige akser pendler dog ikke. Generelle regler for kommutering af vinkelmoment-operatører

[L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.

I denne forstand beskriver orbital vinkelmomentet rotationer. Hver af de ovennævnte kommutatorer kan let forestilles ved at tage et hverdagsobjekt og rotere det sekventielt med den samme vinkel omkring akse 1 og akse 2, eller omvendt omkring akse 2 og akse 1 - kroppens endelige positioner vil være anderledes.

Der er en anden form for rotation i kvantemekanikken, der ligner matematisk kredsløbshuset, men som har andre egenskaber, beskrevet nedenfor.

Spin

Alle tidligere mængder har klassiske analoger. Spin er en mængde, der besiddes af partikler i kvantemekanikken uden nogen klassisk analog, med dimensionen af enheden for vinkelmomentum. Spinvektoroperatoren er angivet med . Egenværdierne af dets komponenter er de mulige værdier (i enheder ) af målingen af spin projiceret på basisvektorerne. ${\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}},{\widehat {S_{y}}},{\widehat {S_{z}}})$ $\hbar$

Rotation (af almindeligt rum) om en akse gennem en vinkel θ i forhold til en enhedsvektor i rummet, der virker på en multikomponent bølgefunktion (spinor) i et punkt i rummet, er repræsenteret som ${\hat {\mathbf {a} ))$ ${\hat {a}}$

Spin rotationsoperator ( finite )

${\widehat {S}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a}}})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {S} }}\right)$

Men i modsætning til det orbitale vinkelmomentum, hvor kvantetallet l kun kan antage positive eller negative heltalværdier (inklusive nul), kan spinkvantetallet s antage alle positive og negative halvheltalsværdier. For hvert spin-kvantetal er der rotationsmatricer.

Beregning af eksponenten for z - projektionen med et givet spinkvantetal s giver en (2s + 1)-dimensionel spinmatrix. Hvad kan bruges til at definere en spinor som en kolonnevektor på 2 s + 1 komponenter, der transformerer ved at rotere koordinatsystemet i henhold til spin-matricen på et fast punkt i rummet.

For det enkleste ikke-trivielle tilfælde for en tilstand med s = 1/2, har spinoperatoren formen

{\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}

hvor er Pauli-matricerne i standardrepræsentationen:

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y }={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&- 1\end{pmatrix}}

Samlet vinkelmomentum

Den totale vinkelmomentoperator er summen af orbital- og spinmomenterne

{\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}

og er af stor betydning for mange-partikel systemer, især i kernefysik og kvantekemi af mange-elektron atomer og molekyler.

Lignende rotationsmatrix

{\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a}}})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\right)

Bevarede mængder for den kvanteharmoniske oscillator

Den dynamiske symmetrigruppe i en n - dimensionel kvanteharmonisk oscillator er den særlige enhedsgruppe SU( n ). For eksempel er antallet af infinitesimale generatorer af de tilsvarende Lie-algebraer for grupperne SU(2) og SU(3) henholdsvis tre og otte. Dette fører til præcis tre og otte uafhængige bevarede mængder (andre end Hamiltonian) i disse systemer.

Den 2D kvanteharmoniske oscillator har de forventede bevarede størrelser som Hamilton- og vinkelmomentet, men har også yderligere skjulte bevarede størrelser såsom energiniveauforskelle og en anden form for vinkelmomentum.

Lorentz-gruppen i relativistisk kvantemekanik

Nedenfor betragter vi Lorentz-gruppen (forstærkninger og rotationer i rum-tid). I dette afsnit, se [4] [5]

Lorentz-transformationer kan parametriseres ved hastigheden φ for boostet i retning af 3D -enhedsvektoren og rotationsvinklen θ omkring 3D -enhedsvektoren , som bestemmer retningen af aksen. Definer derefter og sammen seks parametre for Lorentz-gruppen (tre for rotationer og tre boosts). Lorentz-gruppen har seks dimensioner. ${\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})$ ${\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ $\varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})$ $\theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})$

Rene rotationer i rumtid

Ovennævnte rotationsmatricer og rotationsgeneratorer udgør en rumlignende del af en firedimensionel matrix, som er en ren rotation. Tre elementer af Lorentz-gruppen og generatorer J = ( J 1 , J 2 , J 3 ) for rene rotationer: ${\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}$

${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e}}}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix))\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e}}}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0& \sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix))\,,$
${\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta & -\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix))\,.$

Rotationsmatricer virker på enhver 4-vektor A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) og roterer de rumlignende komponenter i henhold til formlen

\mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}

lader tidskoordinaten være uændret. I matrixrepræsentationen behandles vektoren A som en kolonnevektor.

Rent rumtidsboost

Boost med hastighed c tanh φ i retningerne x , y eller z, givet af det kartesiske koordinatsystem med basis , er boost-transformationsmatrixen. Disse matricer og de tilsvarende generatorer K = ( K 1 , K 2 , K 3 ) er de resterende tre elementer i gruppen og generatorerne i Lorentz-gruppen: ${\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}$ ${\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}$

${\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{x}=K_{1}=i\venstre.{\frac {\partial {\widehat {B))(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e}}}_{y})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{y}=K_{2}=i\venstre.{\frac {\partial {\widehat {B))(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,$
${\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e}}}_{z})={\begin{pmatrix} \cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,$	$K_{z}=K_{3}=i\venstre.{\frac {\partial {\widehat {B))(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z}) }{\partial \varphi }}\right\|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.$

Boostmatricer virker på enhver 4-vektor A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) og blander de tidsmæssige og rumlige komponenter i henhold til formlen

\mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A}

Udtrykket "boost" refererer til den relative hastighed mellem to referencerammer og bør ikke kombineres med momentum som en translationsgenerator , som forklaret nedenfor.

Kombination af boosts og spins

Produktet af rotationer giver en anden rotation (et almindeligt eksempel på en undergruppe), mens produkterne af boosts eller boosts og rotationer ikke kan udtrykkes som rene boosts eller rene rotationer. Generelt kan enhver Lorentz-transformation udtrykkes som produktet af en ren rotation og et rent boost. For mere information, se [6] og referencer deri.

Boost- og rotationsgeneratorrepræsentationerne betegnes henholdsvis D ( K ) og D ( J ) , hvor et stort D i denne sammenhæng angiver en grupperepræsentation .

For Lorentz-gruppen opfylder repræsentationerne D ( K ) og D ( J ) af generatorerne K og J de følgende kommuteringsregler.

Afbrydere

	Netto tur	Ren boost	Lorentz transformation
Generatorer	${\displaystyle \left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c))$	${\displaystyle \left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c))$	${\displaystyle \left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c))$
Repræsentation	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c))))))$	${\displaystyle \left[{D(K_{a})},{D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c))))))$	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c)))))$

I alle kommutatorer er boosts blandet med spins, selvom spin-only kommutatorer resulterer i et andet spin. Den eksponentielle kortlægning af gruppegeneratorerne giver boost- og rotationsoperatorer, som kombineres til en generel Lorentz-transformation, hvor rum-tid-koordinaterne transformeres fra en hvileramme til en anden ved hjælp af boosts og/eller rotationer. Tilsvarende giver den eksponentielle kortlægning af repræsentationerne af generatorerne repræsentationerne af boost- og rotationsoperatørerne, ifølge hvilke partiklens spinorfelt transformeres.

Love for transformation

	Ren boost	Netto tur	Lorentz transformation
Transformationer	${\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat { \mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \right)$	${\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a}}})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat { \mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)$	$\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} )),\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{ \hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right )\ret]$
Repræsentation	$D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi { \hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )\right)$	$D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a}}})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta { \hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)$	$D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} )),\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac { i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D (\mathbf {J} )\right)\right]$

I litteraturen kombineres boostgeneratorer K og rotationsgeneratorer J nogle gange til en enkelt generator til Lorentz-transformationer M , en antisymmetrisk firedimensionel matrix med indgange:

M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.

og følgelig er parametrene for boosts og rotationer samlet i en anden antisymmetrisk firedimensionel matrix ω med elementer:

\omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\, ,

Så den generelle Lorentz-transformation er:

\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} )),\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{ 2))\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2))\left(\varphi {\hat {\ mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]

med summering over gentagne matrixindeks α og β . Matricerne Λ virker på enhver 4-vektor A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ) og blander tidslignende og rumlignende komponenter i henhold til formlen

\mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} )),\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A}

Transformationer af spinorbølgefunktioner i relativistisk kvantemekanik

I relativistisk kvantemekanik er bølgefunktioner ikke længere en-komponent skalarfelter, men spinorfelter bestående af 2 (2 s + 1) komponenter, hvor s er partiklens spin. Nedenfor er transformationerne af disse funktioner i rum-tid.

Under den korrekte ortokroniske Lorentz- transformation ( r , t ) → Λ( r , t ) i Minkowski-rummet er alle en-partikel kvantetilstande ψ σ lokalt transformeret i en eller anden repræsentation D for Lorentz-gruppen ifølge formlen [7] [ 8]

\psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\højrepil D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t) )

hvor D (Λ) er en endelig dimensionel repræsentation, med andre ord en kvadratisk matrix med dimension (2 s + 1) × (2 s + 1) , og ψ betragtes som en søjlevektor indeholdende komponenter med (2 s + 1) tilladte værdier af spin σ :

\psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s- 1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s} (\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dolk }={\begin{bmatrix}{\psi _ {\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }& \cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} , t)}^{\star }\end{bmatrix}}

Irreducible reelle repræsentationer og spin

De irreducible repræsentationer D ( K ) og D ( J ) kan bruges til at konstruere spin-repræsentationer af Lorentz-gruppen. Definition af nye operatører:

\mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,

så A og B er komplekse konjugater af hinanden. Det følger heraf, at de tilfredsstiller de symmetrisk skrevne kommutatorer:

\left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]= \varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,

og disse er i det væsentlige de kommutatorer, som orbital- og spin-vinkelmomentoperatorerne opfylder. Derfor danner A og B operatoralgebraer analogt med vinkelmomentum; de samme stigeoperatorer , z -fremspring osv. uafhængigt af hinanden, da hver af deres komponenter pendler med hinanden. Analogt med spin-kvantetallet introducerer vi positive heltal eller halvheltal a, b med de tilsvarende sæt af egenværdier m = a , a − 1, ... − a + 1, − a og n = b , b − 1, ... − b + 1, − b . Matricer, der opfylder ovenstående kommuteringsrelationer, de samme som for spin a og b, har komponenter givet ved at gange Kronecker delta- værdierne med vinkelmomentmatrixelementerne:

\left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right )_{n'n}

\left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right )_{n'n}

\left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m 'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right )_{n'n}

hvor i hvert tilfælde rækkenummeret m ′ n ′ og kolonnenummeret mn er adskilt af et komma. Derefter

\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m )}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\ pm m+1)}}

og tilsvarende for J ( n ) [kommentar 1] . Tre kvadratiske matricer J (m) - hver med dimensioner (2 m + 1) × (2 m + 1) , og tre J (n) med dimensioner (2 n + 1) × (2 n + 1) . Heltal eller halvheltal m og n opregner alle irreducerbare repræsentationer ved hjælp af den ækvivalente notation, der bruges her: D ( m , n ) ≡ ( m , n ) ≡ D ( m ) ⊗ D ( n ) , som hver har form af kvadrat matricer med dimension [(2 m + 1)(2 n + 1)]×[(2 m + 1)(2 n + 1)] .

Lad os anvende dette ræsonnement på partikler med spin s ;

venstrehåndede (2s + 1) -komponent spinorer transformerer med hensyn til irreducerbare reelle repræsentationer D ( s , 0) ,
højre (2 s + 1) -komponentspinorer transformeres med hensyn til irreducible reelle repræsentationer D (0, s ) ,
tager vi direkte summer, angivet med ⊕ (se det mere simple begreb for matricer , direkte sum af matricer ), får vi repræsentationer, der transformerer 2(2 s + 1) -komponent spinorer: D ( m , n ) ⊕ D ( n , m ) hvor m + n = s . Disse er også irreducerbare reelle repræsentationer, men som vist ovenfor nedbrydes de til komplekse konjugater.

I disse tilfælde refererer D til en hvilken som helst af D ( J ) , D ( K ) eller den totale Lorentz-transformation D (Λ) .

Relativistiske bølgeligninger

I sammenhæng med Dirac-ligningen og Weyl- ligningen transformerer Weyl-spinorer, der opfylder Weyl-ligningen, under de enkleste irreducible spin-repræsentationer af Lorentz-gruppen, da spin-kvantetallet i dette tilfælde er det mindst mulige ikke-nul tal: 1/ 2. En 2-komponent venstre Weyl-spinor transformeres med D (1/2, 0) , og en 2-komponent højre Weyl-spinor transformerer med D (0, 1/2) . Dirac-spinorer, der opfylder Dirac-ligningen, transformeres i henhold til repræsentationen D (1/2, 0) ⊕ D (0, 1/2) - den direkte sum af irreducerbare reelle repræsentationer af Weyl-spinorer.

Poincare-gruppen i relativistisk kvantemekanik og feltteori

Rumlige oversættelser , tidsmæssige oversættelser, rotationer og boosts udgør tilsammen Poincaré -gruppen . Elementerne i gruppen er tre rotationsmatricer og tre boostmatricer (som i Lorentz-gruppen), en for tidsoversættelser og tre for rumlige oversættelser i rumtid. For hvert element er der en generator. Derfor er Poincaré-gruppen 10-dimensionel.

I den særlige relativitetsteori kan rum og tid samles i en 4-vektor X = ( ct , − r ) , og på samme måde kombineres energi og momentum til en firedimensionel momentumvektor P = ( E / c , −p ) . Under hensyntagen til relativistisk kvantemekanik kombineres parametrene for tidsintervallet og den rumlige forskydning (fire parametre i alt, en for tid og tre for rum) til rum-tidsforskydningen Δ X = ( c Δ t , −Δ r ) , og energi- og momentumoperatorerne erstattes med 4D-momentum for at få 4D-operatorer

{\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i \hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t)),\nabla \right)\,,

som er generatorer af rum-tid-oversættelser (fire generatorer i alt, en for tid og tre for rum):

{\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat { \mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \ cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.

Lad os skrive kommuteringsrelationerne mellem komponenterne i 4-momentum P (generatorer af rum-tid-translationer) og vinkelmomentum M (generatorer af Lorentz-transformationer), som definerer Poincaré-algebraen: [9] [10]

$[P_{\mu },P_{\nu }]=0\,$
${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu}-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,$
${\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu},M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,$

hvor η er den metriske Minkowski -tensor . (Hattene tages normalt af for 4-momentum operatorer i kommuteringsrelationer). Disse ligninger indeholder de grundlæggende egenskaber af rum og tid, så vidt de er kendt i dag. Disse relationer har et klassisk modstykke, hvor kommutatorer er erstattet af Poisson-parenteser .

Til at beskrive spindet i relativistisk kvantemekanik, bruges Pauli-Lubansky-pseudovektoren

W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },

Casimir-operatoren , er et konstant spin-bidrag til det samlede vinkelmomentum. Kommuteringsrelationerne mellem P og W og mellem M og W kan skrives som

\left[P^{\mu },W^{\nu}\right]=0\,,

\left[J^{\mu \nu},W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu}W^{\mu}-\eta ^{\ rho \mu }W^{\nu}\right)\,,

\left[W_{\mu },W_{\nu}\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }\, .

Invarianter konstrueret ud fra W , Casimir-invarianterne, kan bruges til at klassificere irreducible repræsentationer af Lorentz-gruppen.

Symmetrier i kvantefeltteori og partikelfysik

Enhedsgrupper i kvantefeltteori

Gruppeteori er en abstrakt måde til matematisk analyse af symmetrier. Enhedsoperatorer er af afgørende betydning i kvanteteorien, så enhedsgrupper er vigtige i partikelfysik. Gruppen af N - dimensionelle unitære kvadratiske matricer betegnes U( N ). Enhedsoperatorer bevarer det indre produkt, hvilket betyder, at sandsynligheden også er bevaret, så kvantemekanikken i ethvert system skal være invariant under enhedstransformationer. Lad være en enhedsoperatør, og lad være den hermitiske adjoint , som pendler med Hamiltonian: ${\widehat {U}}$ ${\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\dolk }$

\left[{\widehat {U}),{\widehat {H}}\right]=0

Så bevares den observerede værdi svarende til operatoren , og Hamiltonianeren er invariant under transformationen . ${\widehat {U}}$ ${\widehat {U}}$

Da forudsigelserne fra kvantemekanikken skal være invariante under påvirkning af en gruppe, leder forskerne efter enhedstransformationer til at repræsentere gruppen.

De vigtige undergrupper af hver gruppe U( N ) er de enhedsmatricer, der har identitetsdeterminant (eller er "unimodulære"): disse kaldes også specielle enhedsgrupper og betegnes SU( N ).

U(1)

Den enkleste enhedsgruppe er U(1), som simpelthen er de komplekse tal modulo 1. Dette element i den endimensionelle matrix er skrevet som

{\displaystyle U=e^{-i\theta ))

hvor θ er en gruppeparameter. Denne gruppe er abelsk, da endimensionelle matricer altid pendler under matrixmultiplikation. Lagrangianere i kvantefeltteori for komplekse skalarfelter er ofte invariante under U(1) transformationer. Hvis der er et kvantetal a forbundet med U(1)-symmetri, såsom en baryon og tre leptontal i elektromagnetiske interaktioner, så

{\displaystyle U=e^{-ia\theta ))

U(2) og SU(2)

Den generelle form for et gruppeelement U(2) er parametriseret af to komplekse tal a og b :

U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{\star }&a^{\star }\\\end{pmatrix))

og for SU(2) er determinanten 1:

\det(U)=aa^{\star }+bb^{\star }={|a|}^{2}+{|b|}^{2}=1

I gruppeteoriens sprog er Pauli-matricer generatorerne af en speciel enhedsgruppe i to dimensioner, betegnet SU(2). Deres kommutator er den samme som for det orbitale vinkelmoment, bortset fra faktoren 2:

{\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{abc}\sigma _{c))

Gruppeelementet SU(2) kan skrives:

U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=e^{i\theta \sigma _{j}/2}

hvor σ j er Pauli-matricen, og gruppeparametrene er rotationsvinklerne omkring aksen givet af vektoren . ${\hat {\mathbf {e} }}_{j}$

En todimensionel isotropisk kvanteharmonisk oscillator har SU(2) symmetrigruppen, mens den anisotrope oscillatorens symmetrialgebra er en ikke-lineær forlængelse af u(2). [elleve]

U(3) og SU(3)

De otte Gell-Mann matricer λ n (se artiklen om dem og strukturkonstanterne) er vigtige for kvantekromodynamikken . De optrådte oprindeligt i SU(3)-teorien for smag, som stadig bruges i kernefysik i dag. De definerer generatorerne for SU(3)-gruppen, så elementet i gruppen SU(3) kan skrives på samme måde som elementet i gruppen SU(2):

U(\theta ,{\hat {\mathbf {e}}}_{j})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^ {8}\theta _{n}\lambda _{n}\right)

hvor θn er otte uafhængige parametre. Matricerne λ n opfylder kommutatoren:

{\displaystyle \left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]=2if_{abc}\lambda _{c))

hvor indekserne a , b , c tager værdierne 1, 2, 3 ... 8. Strukturkonstanterne f abc er fuldstændig antisymmetriske i alle indekser, på samme måde som SU (2) indeksene. I standardfarveafgiftsgrundlaget ( r for rød, g for grøn, b for blå):

|r\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad |g\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}}\,,\quad |b\rangle ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}

farvetilstandene er egentilstandene for matricerne λ 3 og λ 8 , mens de andre matricer er ansvarlige for at blande farvetilstandene.

Tilstandene for de otte gluoner (8-dimensionelle søjlevektorer) er egentilstandene for den adjoint grupperepræsentation SU(3) , en 8-dimensionel repræsentation, der virker på sin egen Lie algebra su(3) , for matricerne λ 3 og λ 8 . Ved at danne tensorprodukter af repræsentationer (standardrepræsentationen og dens dual) og tage de passende forhold, er protoner, neutroner og andre hadroner repræsenteret som egentilstande af forskellige SU(3) farverepræsentationer. SU(3)-repræsentationerne kan beskrives med "maksimumvægtsætningen". [12]

Materie og antistof

I relativistisk kvantemekanik har relativistiske bølgeligninger en bemærkelsesværdig symmetri i naturen: hver partikel har en tilsvarende antipartikel . Matematisk er dette udtrykt ved spinorfelter, som er løsninger af relativistiske bølgeligninger.

Ladningskonjugation bytter partikler og antipartikler. Fysiske love og interaktioner, der er uændrede som følge af denne operation, har C-symmetri.

Diskrete rum-tidssymmetrier

Paritet afspejler orienteringen af rumlige koordinater som venstre og højre. Uformelt "reflekteres" rummet i spejlet. Fysiske love og interaktioner, der er uændrede som følge af denne operation, har P-symmetri .
Tidsvending vender tidskoordinaten, det vil sige, at der er tid, der løber fra fremtiden til fortiden. En mærkelig egenskab ved tid, der ikke eksisterer i rummet, er, at den er ensrettet: partikler, der bevæger sig fremad i tiden, svarer til antipartikler, der bevæger sig tilbage i tiden. De fysiske love og interaktioner, der er uforanderlige ved denne operation, har T-symmetri .

C , P , T symmetrier

Gauge teori

I kvanteelektrodynamik har den en U(1) symmetrigruppe, som er Abelian . I kvantekromodynamik er den tilsvarende SU(3)-symmetrigruppe ikke-abelsk.

Elektromagnetisk interaktion udføres af fotoner , som ikke har nogen elektrisk ladning. Det elektromagnetiske felttensor er specificeret i form af et 4-potentielt elektromagnetisk felt med målersymmetri.

Den stærke (farve) interaktion leveres af gluoner , som adskiller sig i otte farveladninger . Der er otte gluonfeltstyrketensorer med tilsvarende 4-gluonpotentiale felter , som hver har en målersymmetri.

Stærk (farve) interaktion

Farveladning

Analogt med spinoperatoren er der farveladningsoperatorer i form af Gell-Mann-matricerne λ j :

{\hat {F}}_{j}={\frac {1}{2}}\lambda _{j}

og da farveafgiften bevares, skal alle farveafgiftsoperatører pendle med Hamiltonian:

\left[{\hat {F}}_{j},{\hat {H}}\right]=0

Isospin

Isospin er konserveret under stærke interaktioner.

Svage og elektromagnetiske interaktioner

Dualitetstransformation

Magnetiske monopoler kunne teoretisk eksistere, selvom nuværende observationer og teori er i overensstemmelse med både resultater af monopoleksistens eller ikke-eksistens. Elektriske og magnetiske ladninger kan effektivt "transformeres til hinanden" ved dualitetstransformation .

Elektrosvag symmetri

Supersymmetri

En Lie superalgebra er en algebra, hvor de (egnede) basiselementer enten adlyder kommutering eller antikommutationsregler. I supersymmetri antages alle fermioniske partikler at have bosoniske modstykker og omvendt. Denne symmetri er teoretisk attraktiv, da der ikke er lavet yderligere antagelser (for eksempel om eksistensen af strenge), der forhindrer symmetri. Derudover kan en række gådefulde problemer løses ved at antage supersymmetri. Disse symmetrier, som er repræsenteret af Lie superalgebraer, er ikke blevet eksperimentelt verificeret. Nu menes det, at hvis de eksisterer, så er denne symmetri brudt. Det antages, at mørkt stof er en gravitino , en partikel med spin 3/2 (fermion) og masse, og dens supersymmetriske partner er en graviton med spin 2 (boson).

Permutationssymmetri

Begrebet permutationssymmetri er afledt af kvantestatistikkens grundlæggende postulat , som siger, at ingen observerbar fysisk størrelse bør ændres, efter at to identiske partikler er erstattet af hinanden. Det siger, at da alle observerbare er proportionale med kvadratet af bølgefunktionen for et system af identiske partikler , så skal bølgefunktionen enten forblive den samme eller ændre sit fortegn i en sådan udveksling. Mere generelt, for et system af n identiske partikler, skal bølgefunktionen transformere som en irreducerbar repræsentation af den endelige symmetriske gruppe Sn . Ifølge Pauli-sætningen om statistik transformeres fermioniske tilstande som en irreducerbar antisymmetrisk repræsentation Sn , og bosoniske tilstande transformeres som en symmetrisk irreducerbar repræsentation. For at klassificere symmetrien af rovibroniske tilstande af molekyler introducerede Longuet-Higgins [13] den molekylære symmetrigruppe som en gruppe af tilsvarende permutationer af utydelige kerner og permutationer med rumlig inversion. ${\displaystyle \left|\psi \right|^{2))$ $\psi$ $\psi$

Da udvekslingen af to partikler, der ikke kan skelnes, matematisk svarer til at rotere hver partikel med 180 grader (og derfor rotere referencerammen for en partikel med 360 grader) [14] , afhænger den symmetriske karakter af bølgefunktionen af spin af partiklen efter påføring af rotationsoperatoren på den . Partikler med heltalsspin ændrer ikke tegnet på deres bølgefunktion, når de roteres 360 grader, så tegnet for hele systemets bølgefunktion ændres ikke. Partikler med halvt heltals spin ændrer tegnet på deres bølgefunktion, når de roteres gennem 360 grader (se Paulis sætning for detaljer ).

Partikler, hvis bølgefunktion ikke ændrer fortegn under udveksling, kaldes bosoner eller partikler med en symmetrisk bølgefunktion. Partikler, hvis bølgefunktion af systemet ændrer fortegn ved permutation, kaldes fermioner eller partikler med en antisymmetrisk bølgefunktion.

Således adlyder fermioner en anden statistik (kaldet Fermi-Dirac-statistikken ) end bosoner (som adlyder Bose-Einstein-statistikken ). En konsekvens af Fermi-Dirac-statistikker er Pauli-princippet for fermioner: ikke to identiske fermioner kan have den samme kvantetilstand (med andre ord er bølgefunktionen af to identiske fermioner i samme tilstand nul). Dette fører igen til degenerationstryk for fermioner - fermioners stærke modstand mod sammentrækning. Denne modstand resulterer i "stivhed" eller "hårdhed" af almindeligt atomart stof (fordi atomer indeholder elektroner, som er fermioner).

Kommentar

↑ Følgende betegnelser bruges nogle gange: $\left(\mathbf {A} \right)_{m'n',mn}\equiv \left[\left(A_{x}\right)_{m'n',mn},\left (A_{y}\right)_{m'n',mn},\left(A_{z}\right)_{m'n',mn}\right]$ $\left(\mathbf {B} \right)_{m'n',mn}\equiv \left[\left(B_{x}\right)_{m'n',mn},\left (B_{y}\right)_{m'n',mn},\left(B_{z}\right)_{m'n',mn}\right]$ $\left(\mathbf {J} ^{(m)}\right)_{m'm}\equiv \left[\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m 'm},\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm},\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\ ret]$ .

Noter

↑ Hall, Brian C. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — 2. - Springer, 2015. - Vol. 222.
↑ Hall, Brian C. Kvanteteori for matematikere. — Springer, 2013.
↑ C. B. Parker. McGraw Hill Encyclopaedia of Physics . — 2. - McGraw Hill, 1994. - S. 1333 . — ISBN 0-07-051400-3 .
↑ T. Ohlsson. Relativistisk kvantefysik: Fra avanceret kvantemekanik til indledende kvantefeltteori . - Cambridge University Press, 2011. - S. 7-10. — ISBN 978-1-13950-4324 .
↑ E. Abers. Kvantemekanik. - Addison Wesley, 2004. - S. 11, 104, 105, 410-411. - ISBN 978-0-13-146100-0 .
↑ H. L. Berk . Den korrekte homogene Lorentz-transformationsoperatør e L = e − ω S − ξ K , hvor går det hen, hvad er drejningen . Arkiveret fra originalen den 29. oktober 2013. Hentet 7. december 2020.
↑ Weinberg, S. (1964). "Feynman regler for ethvert spin" (PDF) . Phys. Rev. _ 133 (5B): B1318-B1332. Bibcode : 1964PhRv..133.1318W . DOI : 10.1103/PhysRev.133.B1318 . Arkiveret (PDF) fra originalen 2020-12-04 . Hentet 2020-12-07 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp ); Weinberg, S. (1964). Feynman regler for ethvert spin. II. Masseløse partikler” (PDF) . Phys. Rev. _ 134 (4B): B882-B896. Bibcode : 1964PhRv..134..882W . DOI : 10.1103/PhysRev.134.B882 . Arkiveret (PDF) fra originalen 2022-03-09 . Hentet 2020-12-07 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp ); Weinberg, S. (1969). Feynman regler for ethvert spin. III" (PDF) . Phys. Rev. _ 181 (5): 1893-1899. Bibcode : 1969PhRv..181.1893W . DOI : 10.1103/PhysRev.181.1893 . Arkiveret (PDF) fra originalen 2022-03-25 . Hentet 2020-12-07 . Forældet parameter brugt |deadlink=( hjælp )
↑ K. Masakatsu (2012). "Superstrålingsproblem af bosoner og fermioner til roterende sorte huller i Bargmann-Wigner formulering." arXiv : 1208.0644 .
↑ N.N. Bogolubov. Generelle principper for kvantefeltteori . — 2. - Springer, 1989. - S. 272. - ISBN 0-7923-0540-X .
↑ T. Ohlsson. Relativistisk kvantefysik: Fra avanceret kvantemekanik til indledende kvantefeltteori . - Cambridge University Press, 2011. - S. 10. - ISBN 978-1-13950-4324 .
↑ D. Bonastos (1994), Symmetrialgebra for den plane anisotropiske kvanteharmoniske oscillator med rationelt forhold mellem frekvenser, arΧiv : hep-th/9402099 .
↑ D. Bonastos (1994), Symmetrialgebra for den plane anisotropiske kvanteharmoniske oscillator med rationelt forhold mellem frekvenser, arΧiv : hep-th/9402099 .
↑ Longuet-Higgins, H.C. (1963). "Symmetrigrupperne af ikke-stive molekyler". Molekylær fysik . 6 (5): 445-460. Bibcode : 1963MolPh...6..445L . DOI : 10.1080/00268976300100501 .
↑ Feynman, Richard. Dirac-mindeforelæsningerne i 1986. - Cambridge University Press, 13. juli 1999. - S. 57. - ISBN 978-0-521-65862-1 .

Yderligere læsning

KJ Barnes. Gruppeteori for standardmodellen og videre . — Taylor & Francis, 2010. — ISBN 978-142-007-874-9 .
M. Chaichian. Symmetri i kvantemekanik: Fra vinkelmoment til supersymmetri. - Institut for fysik (Bristol og Philadelphia), 1998. - ISBN 0-7503-0408-1 .
Hall (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-3319134666
S. Haywood. Symmetrier og bevarelseslove i partikelfysik: En introduktion til gruppeteori for partikelfysikere . - World Scientific, 2011. - ISBN 978-184-816-703-2 .
MFC Ladd. Symmetri i molekyler og krystaller . - Ellis Horwood-serien i fysisk kemi, 1989. - ISBN 0-85312-255-5 .
W. Ludwig. Symmetrier i fysik. - Springer, 1996. - ISBN 3-540-60284-4 .
B.R. Martin, G. Shaw. partikelfysik . — Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
D. McMahon. Kvantefeltteori. - Mc Graw Hill, 2008. - ISBN 978-0-07-154382-8 .
Moretti. Spektralteori og kvantemekanik; Matematiske grundlag for kvanteteorier, symmetrier og introduktion til den algebraiske formulering 2. udgave. - Springer, 2018. - ISBN 978-3-319-70705-1 .