Skalar felt

Et skalarfelt (skalarfunktion) på et eller andet finit-dimensionelt rum er en funktion , der forbinder hvert punkt fra en eller anden region af dette rum (domæne) med et skalar , det vil sige et reelt eller komplekst tal . Med en fast rumbasis kan et skalarfelt repræsenteres som en funktion af flere variable, der er koordinaterne for et punkt. $V$

Forskellen mellem en numerisk funktion af flere variable og et skalarfelt er, at i en anden basis ændres skalarfeltet som funktion af koordinater, således at hvis det nye sæt af argumenter repræsenterer det samme punkt i rummet i det nye grundlag, så værdien af skalarfunktionen ændres ikke.

For eksempel, hvis en skalarfunktion i en ortonormal basis af et todimensionelt vektorrum har formen, så i en anden basis roteres 45 grader til denne, vil den samme funktion i nye koordinater have formen . $f(v)=x^{2}+2y^{2},$ $f(v)=3x'^{2}+3y'^{2}-2x'y'$

Oftest betragtes skalarfunktioner, som er kontinuerte eller differentierbare (glatte) et tilstrækkeligt antal gange (det vil sige, at funktionen skal tilhøre ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m))$

Ansøgninger omfatter hovedsageligt:

Funktion af tre variable: (skalært felt på (i) tredimensionelt rum, nogle gange kaldet [1] rumfelt). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$
Funktion af to variable: (et skalarfelt på (i) todimensionelt rum, nogle gange kaldet [1] et fladt felt). $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y)$

Eksempler

Eksempler på skalarfelter i 3D-rum:

temperatur (det er underforstået, at det generelt er forskelligt på forskellige punkter i rummet);
elektrostatisk potentiale ;
potentiale i Newtonsk gravitationsteori ;
trykfelt i et flydende medium.

Eksempler på flade (todimensionelle) skalarfelter:

havets dybde, markeret på en eller anden måde på et fladt kort;
ladningstæthed på en flad lederoverflade.

Normalt forstås et skalarfelt som et felt, der er invariant under koordinattransformationer (nogle gange og ofte - under en bestemt klasse af koordinattransformationer, for eksempel under volumenbevarende transformationer, ortogonale transformationer osv.; men ikke mindre sjældent er det betød invariansen af et skalarfelt under vilkårlige transformationer af koordinater, begrænset, måske kun af glathed). (Se skalar ).

I denne forstand er ikke enhver funktion af reelle værdier af koordinater et skalarfelt. Det enkleste eksempel: i denne forstand er en af vektorfeltets koordinatkomponenter ikke et skalarfelt , da det ikke forbliver uændret, når du ændrer valget af koordinater (f.eks. ved rotation af koordinatakserne). det er ikke en invariant af koordinattransformationer).

Skalære felter i fysik

I fysik og mange andre applikationer afhænger feltet generelt set også af tid [2] :

u=u(x,y,z,t)

mens operationer på feltet (såsom gradient ) stadig bruges 3-dimensionelt, det vil sige på trods af tilføjelsen af en mere uafhængig variabel, betragtes feltet i det væsentlige som et felt i et rum med dimension 3 og ikke 4. De samme overvejelser gælder tilfælde, hvor feltet, udover de rumlige koordinater, afhænger af nogle andre parametre: disse parametre kan udtrykkeligt angives i den funktionelle afhængighed, hvilket dog ikke ændrer på dimensionen af det hovedrum, hvor feltet betragtes. .

I moderne teoretisk fysik er det sædvanligt eksplicit at betragte tid som en koordinat, der formelt er lig med tre rumlige [3] , og helheden af rum og tid betragtes eksplicit som et enkelt firedimensionelt rum (kaldet rum-tid ). Når vi taler om et skalært felt i moderne teoretisk fysik, betyder de som standard et felt på et firedimensionelt rum eller manifold , dvs. en funktion, der er afhængig af fire formelt lige store koordinater:

u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})

(en af disse fire koordinater er lig med eller proportional med tiden); desuden, i dette tilfælde, hvis udtrykket skalarfelt bruges , er det også underforstået, at det er Lorentz invariant . Alle feltoperationer (såsom gradient) bruges i deres 4D-form. $x_{i}$ $u$

I moderne teoretisk fysik forstås et skalarfelt normalt (når det kommer til fundamentale felter) som et fundamentalt felt af en Minkowski- rumskalar ( et Lorentz-invariant felt) eller et felt, der er invariant under generelle koordinattransformationer (normalt den første og anden praktisk talt sammenfaldende).

Praktiske synonymer for begrebet skalarfelt i denne forstand er begreberne feltspin nul , spinnulpartikel , skalarpartikel (sidstnævnte, der dog noget fortynder disse nære begreber, kaldes også excitationer af et skalarfelt).

Den eneste eksperimentelt opdagede skalarpartikel er Higgs-bosonen .

Skalære felter spiller en vigtig rolle i teoretiske konstruktioner. Deres tilstedeværelse (sammen med vektor- og tensorfelter forstået i samme betydning og observeret i virkeligheden) er nødvendig for fuldstændigheden af klassificeringen af grundlæggende felter.

I nye fysiske teorier (såsom for eksempel strengteori ) beskæftiger de sig ofte med rum og mangfoldigheder af forskellige dimensioner, herunder ret høje (mere end fire), og felter, herunder skalarfelter, på sådanne rum.

Plan overflade

Et skalarfelt kan repræsenteres grafisk ved hjælp af plane overflader (også kaldet isosurfaces).

Den plane overflade af et skalarfelt er det sæt af punkter i rummet, hvor funktionen u har samme værdi c , det vil sige, at den plane overflade bestemmes af ligningen . Billedet af et sæt plane overflader for forskellige giver en visuel repræsentation af det specifikke skalarfelt, som de er konstrueret til (afbildet) [4] , derudover giver repræsentationen af plane overflader et vist ekstra geometrisk værktøj til at arbejde med en skalarfelt, der kan bruges til beregninger, bevissætninger osv. Eksempel: ækvipotentialflade . $u=u(x,y,z)$ $u(x,y,z)=c$ $c$

For et felt på et todimensionalt rum er analogen af den plane overflade niveaulinjen . Eksempler: isobath , isoterm , isohypse (linje med lige højder) på et geografisk kort og andre isoliner .

Plane overflader for et skalarfelt på et rum af højere dimension er hyperflader med en dimension en mindre end rummets.

Gradient

Retningen af feltets hurtigste stigning er angivet med gradientvektoren , angivet på standardmåden: $u=u({\mathbf {r}})=u(x,y,z)$

{\mathbf {grad}}\ u

eller en anden notation:

\nabla u

med komponenter:

\left({\frac {\partial u}{\partial x)),\ {\frac {\partial u}{\partial y)),\ {\frac {\partial u}{\partial z))\ ret)

Her er en formel for det tredimensionelle tilfælde, det kan generaliseres til andre dimensioner direkte og trivielt.

Hvis koordinaterne ikke er kartesiske (grundlaget er ikke ortonormalt), er det væsentligt at bemærke, at ovenstående gradientkomponenter er kovariante, det vil sige, at gradienten af et skalarfelt er et covektorfelt. For ortonomiske baser er dette ikke essentielt, da for dem kan begreberne vektor og kovektor betragtes som de samme, såvel som kovariante og kontravariante koordinater.

Den absolutte værdi af gradientvektoren u er den afledede af u i retningen af hurtigste vækst (væksthastigheden af u , når du bevæger dig med enhedshastighed i denne retning).

Gradienten er altid vinkelret på de plane overflader (i 2D-tilfældet på niveaulinjerne). Undtagelsen er feltets entalspunkter, hvor gradienten er lig nul.

Noter

↑ 1 2 Flatfield - Meteorologisk Ordbog . Dato for adgang: 17. maj 2012. Arkiveret fra originalen 15. februar 2014. (ubestemt)
↑ For at undgå forvirring i dette afsnit vil vi kun tale om feltet på tredimensionelt rum.
↑ Det er der ganske alvorlige grunde til, som bunder i, at det i fysikken ikke kun er muligt at lave formelle transformationer (de såkaldte Lorentz-transformationer , der kan karakteriseres som rum-tid-rotationer), idet man blander rumlige koordinater med tid, men det viser sig, at ingen fysiske eksperimenter og observationer, så vidt vi ved i dag, ikke kan afsløre forskellene mellem fysikkens ligninger skrevet i det ene eller det andet af de to rum-tid-koordinatsystemer, der er roteret således i forhold til hinanden.
↑ "Billedet" af sådanne overflader er selvfølgelig generelt tredimensionelt (fladerne i sig selv er todimensionale, men generelt set ikke flade og er placeret i tredimensionelt rum), men det kan i simple tilfælde være let forestille sig[ hvad? ] , samt på en eller anden måde bygge en eller flere 2D-projektioner eller udsnit af et sådant 3D-billede.

Litteratur

Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalyse og principper for tensorregning. (utilgængeligt link) 3. udg. Moskva: Højere skole, 1966.
Goldfain IA Vektoranalyse og feltteori. Moskva: Nauka, 1968.
Kochin N. E. Vektorregning og begyndelsen af tensorregning. 9. udg. Moskva: Nauka, 1965.

Ordbøger og encyklopædier	Fantastisk catalansk Stor russer
I bibliografiske kataloger	GND : 4181618-3 J9U : 987007558470805171