Differential (differentiel geometri)

Differential (fra lat. differentia - forskel, forskel) i matematik - den lineære del af tilvæksten af en differentierbar funktion eller display . Dette begreb er tæt forbundet med begrebet retningsbestemt afledt .

Notation

Differentialet er normalt angivet . Nogle forfattere foretrækker at bruge roman for at understrege, at differentialet er en operator . Differentialet på et punkt er angivet , og nogle gange eller . ( er en lineær funktion på tangentrummet i punktet .) $f$ $df$ $\operatørnavn {d} f$ $x$ $d_{x}f$ ${\displaystyle df_{x))$ $df[x]$ $d_{x}f$ $x$

Hvis der er en tangentvektor i punktet , så er værdien af differentialet på normalt betegnet med , denne notation er overflødig, men notationen , og er også gyldig. $v$ $x$ $v$ $df(v)$ $x$ $d_{x}f(v)$ $df_{x}(v)$ $df[x](v)$

Notationen bruges også ; sidstnævnte skyldes, at differentialet er et naturligt løft til tangentbundterne til manifolderne og . $f_{*}$ $f\colon M\to N$ $f$ $M$ $N$

Definitioner

For funktioner med virkelig værdi

Lad være en glat manifold og en glat funktion. Differentialet er en 1-form på , normalt betegnet og defineret af relationen $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $f$ $M$ $df$

df(X)=d_{p}f(X)=Xf,

hvor angiver den afledede med hensyn til retningen af tangentvektoren i punktet . $xf$ $f$ $x$ $p\in M$

Til kortlægninger af glatte manifolds

Differentialet af en glat mapping fra en glat manifold til en manifold er en mapping mellem deres tangentbundter , , sådan at vi for enhver glat funktion har $F\colon M\to N$ $dF\colon TM\to TN$ $g\colon N\to \mathbb {R}$

[dF(X)]g=X(g\cirkel F),

hvor betegner den retningsbestemte afledte . (På venstre side af ligheden tages den afledede i funktionen med hensyn til ; til højre i funktionen med hensyn til ). $xf$ $f$ $x$ $N$ $g$ $dF(X)$ $M$ $g\circ F$ $x$

Dette begreb generaliserer naturligvis begreberne om en funktions differentiale.

Relaterede definitioner

Et punkt i en manifold kaldes et kritisk punkt på et kort , hvis differentialet ikke er surjektivt (se også Sards sætning ) $x$ $M$ $f:M\to N$ $d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N$
- For eksempel er kritiske punkter for funktioner nøjagtigt stationære punkter. For funktioner er disse de punkter, hvor differentialmatrixen degenererer. $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
- I dette tilfælde kaldes
den kritiske værdi . $f(x)$ $f$
Et punkt kaldes regulært , hvis det ikke er kritisk. $y\in N$

Et glat kort kaldes en nedsænkning , hvis forskellen for ethvert punkt er surjektiv .

F\colon M\to N

x\i M

d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N

Et glat kort kaldes en glat nedsænkning , hvis forskellen for ethvert punkt er injektiv .

F\colon M\to N

x\i M

d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N

Egenskaber

Sammensætningsdifferensen er lig med sammensætningen af differentialer: $d(F\circ G)=dF\circ dG$ eller $d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$

Eksempler

Lad en jævn funktion gives i et åbent sæt . Så , hvor betegner den afledte af , og er den konstante form defineret af . $\Omega \subset \mathbb {R}$ $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $df=f'\,dx$ $f'$ $f$ $dx$ $dx(V)=V$
Lad en jævn funktion gives i et åbent sæt . Så . Formen kan bestemmes af relationen for vektoren . $\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$ $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}\,dx_{i))$ $dx_i$ $dx_{i}(V)=v_{i}$ $V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})$
Lad en jævn kortlægning gives i et åbent sæt . Derefter $\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$ $F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $d_{x}F(v)=J(x)v,$

hvor er den jakobiske matrix af kortlægningen ved punktet .

J(x)

F

x

Se også

Kodedifferentiel