Rodsystem

Et rodsystem ( rodsystem ) i matematik er en konfiguration af vektorer i det euklidiske rum , der opfylder visse geometriske egenskaber.

Dette koncept er grundlæggende i teorien om Lie-grupper og Lie-algebraer . Coxeter-Dynkin-diagrammer , der bruges i klassificeringen af rodsystemer, findes i områder af matematik, der ikke er eksplicit relateret til Lie-grupper, for eksempel i singularitetsteori .

Definition

Lade være et endeligt dimensionelt euklidisk rum med det sædvanlige skalarprodukt betegnet med . Rodsystemet i er et begrænset sæt af vektorer , der ikke er nul (kaldet rødder ), der opfylder følgende egenskaber. $V$ $(\cdot ,\;\cdot )$ $V$ $\Phi$

$V$ er rodsystemets lineære spændvidde .
Hvis to rødder , er collineære vektorer , så er de enten ens, eller $\alfa \i \Phi$ $\beta \i \Phi$ $\beta =-\alpha .$
For hver rod er sættet lukket i forhold til refleksionen i hyperplanet vinkelret på . Det vil sige, for alle to rødder, og sættet indeholder refleksionen $\alfa \i \Phi$ $\Phi$ $\alfa.$ $\alfa$ $\beta$ $\Phi$ $\beta$ $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )))\alpha \i \Phi .$
( Hele stand ). Hvis og er rødder i, så er projektionen på linjen, der går igennem et halvt heltal, multiplum , dvs. $\alfa$ $\beta$ $\phi ,$ $\beta$ $\alfa,$ $\alfa.$ $\langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )))\i \mathbb {Z} .$

Noter

I lyset af egenskab 3 er integralbetingelsen ækvivalent med udsagnet om, at forskellen mellem og dens refleksion er lig med roden ganget med et eller andet heltal . $\beta$ $\sigma _{\alpha }(\beta )$ $\alfa$
Operatør $\langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z}$ ,

defineret af egenskab 4 er ikke et indre produkt. Generelt er det ikke symmetrisk og er kun lineært i det første argument.

Dimensionen kaldes rodsystemets rang. $V$

Klassificering af rodsystemer i henhold til Dynkins skemaer

Eksempler på rodsystemer af rang 1 og rang 2

Der er kun ét rodsystem af rang 1. Det består af to ikke-nul vektorer . Dette system kaldes $\{\alpha ,\;-\alpha \}.$ $A_{1}.$

I rang 2 er der fire mulige muligheder, hvor $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,$ $n=0,\;1,\;2,\;3.$

Rank 2 rodsystem


Rodsystem $A_{1}\ gange A_{1}$	Rodsystem $A_{2}$

Rodsystem $B_{2}$	Rodsystem $G_{2}$

Se også