Løgngrupperepræsentation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. oktober 2021; checks kræver 3 redigeringer .

En repræsentation af en Lie-gruppe er en lineær handling af en Lie-gruppe på et vektorrum eller tilsvarende en jævn homomorfi af en Lie-gruppe til en gruppe af inverterbare operatorer på et vektorrum. Spiller en vigtig rolle i studiet af kontinuerlig symmetri i matematik og teoretisk fysik [1] . Repræsentationer af Lie-grupper er blevet undersøgt ganske godt, det vigtigste værktøj til at studere dem er brugen af de tilsvarende "infinitesimale" repræsentationer af Lie-algebraer.

Endelig-dimensionelle repræsentationer

Visninger

Lad os først diskutere repræsentationer af Lie-grupper, der virker på et endeligt-dimensionelt vektorrum over feltet af komplekse tal . (Nogle gange overvejes også repræsentationer i rum over feltet af reelle tal.) En repræsentation af en Lie-gruppe i et -dimensionelt vektorrum over er så en glat gruppehomomorfi $\mathbb {C}$ $G$ $n$ $V$ $\mathbb {C}$

\Pi :G\rightarrow \operatørnavn {GL} (V)

hvor er den fulde lineære gruppe af alle reversible lineære transformationer med hensyn til sammensætning. Da alle -dimensionelle rum er isomorfe, kan gruppen identificeres med gruppen af inverterbare komplekse matricer, normalt kaldet . En kortlægnings glathed kan erstattes af en svagere kontinuitetsbetingelse, da enhver kontinuerlig homomorfi automatisk vil være glat. $\operatørnavn {GL} (V)$ $V$ $n$ $\operatørnavn {GL} (V)$ $n\ gange n$ $\operatørnavn {GL} (n;\mathbb {C} ).$ $\Pi$

På en anden måde kan man i stedet for at repræsentere Lie-gruppen tale om en lineær handling på et vektorrum . Så i stedet for handlingen af elementet i gruppen på vektoren vil blive betegnet simpelthen . $G$ $G$ $V$ $\Pi (g)v$ $g\in G$ $v\in V$ $g\cdot v$

En typisk situation for fremkomsten af repræsentationer i fysik er studiet af en lineær partiel differentialligning med en symmetrigruppe . Selvom individuelle løsninger til en ligning måske ikke er invariante under , er rummet for alle løsninger invariant under . Det danner således en repræsentation . Se eksemplet diskuteret nedenfor. $G$ $G$ $V$ $G$ $V$ $G$ $SO(3)$

Grundlæggende definitioner

Hvis homomorfismen er injektiv (det vil sige en monomorfi ), så siges repræsentationen at være nøjagtig . $\Pi$

Hvis der vælges en basis for et komplekst vektorrum , kan repræsentationen udtrykkes som en homomorfi til den generelle lineære gruppe . Dette er den såkaldte matrixrepræsentation . To repræsentationer på vektorrum er ækvivalente, hvis de har samme matrixrepræsentationer for nogle valg af baser og . $V$ $\operatørnavn {GL} (n;\mathbb {C} )$ $G$ $V$ $W$ $V$ $W$

Et underrum af et rum kaldes et invariant underrum med hensyn til repræsentationen, hvis for alle og . En repræsentation siges at være irreducerbar , hvis de eneste invariante underrum er nulrummet og sig selv . Visse typer Lie-grupper, nemlig kompakte og semisimple grupper, har en egenskab kendt som fuldstændig reducerbarhed : en gruppe siges at være fuldstændig reducerbar , hvis hver af dens finit-dimensionelle repræsentationer nedbrydes til en direkte sum af irreducerbare repræsentationer. For sådanne grupper er hovedmålet med repræsentationsteori at klassificere alle endelig-dimensionelle irreducerbare repræsentationer af en given gruppe op til isomorfi (se klassifikationsafsnittet nedenfor). $W$ $V$ $\Pi :G\rightarrow \operatørnavn {GL} (V)$ $\Pi (g)w\in W$ $g\in G$ $w\in W$ $V$ $V$

Den enhedsrepræsentation på et finit-dimensionelt euklidisk eller hermitisk rum er defineret på samme måde, kun detmaps til gruppen af enhedsoperatorer . Hviser en kompakt Lie-gruppe , så svarer hver endelig-dimensionel repræsentation til en enhedsrepræsentation. $\Pi$ $G$

Løgnalgebra-repræsentationer

Enhver repræsentation af en Lie-gruppe genererer en repræsentation af dens Lie-algebra; denne korrespondance diskuteres detaljeret i de følgende afsnit. Se Lie-algebra-repræsentation for Lie-algebra-teori. $G$

Eksempel: rotationsgruppe SO(3)

I kvantemekanikken spiller den stationære Schrödinger-ligning en vigtig rolle . I det tredimensionelle tilfælde, hvis det har rotationssymmetri, vil løsningsrummet være invariant under handlingen . Således vil - for hver specifik værdi - danne en repræsentation , som normalt viser sig at være endelig-dimensionel. Derfor hjælper det, når man prøver at løse en ligning, at vide, hvordan alle mulige endelig-dimensionelle repræsentationer ser ud . Repræsentationsteori spiller en nøglerolle, for eksempel ved konstruktion af en matematisk model af brintatomet . [2] ${\hat {H}}\psi =E\psi$ ${\hat {H}}$ $V_{E}$ ${\hat {H}}\psi =E\psi$ $SO(3)$ $V_{E}$ $E$ $SO(3)$ $SO(3)$ $SO(3)$

Hver standard lærebog om kvantemekanik indeholder en klassifikation af endelig-dimensionelle irreducerbare repræsentationer ved hjælp af dens Lie-algebra. (Kommutationsrelationerne mellem vinkelmomentumoperatorerne er simpelthen relationerne for Lie-algebraen svarende til Lie-gruppen .) En subtilitet er, at gruppe- og Lie-algebra-repræsentationerne ikke er i en en-til-en-korrespondance, hvilket er afgørende for forståelsen forskellen mellem heltals spin og halvt heltals spin . $SO(3)$ ${\mathfrak {so}}(3)$ $SO(3)$

Regelmæssige repræsentationer

Rotationsgruppen SO(3) er en kompakt Lie-gruppe, og derfor nedbrydes enhver finitdimensional repræsentation til en direkte sum af irreducerbare repræsentationer. Gruppen har én irreducerbar repræsentation i hver ulige dimension. For hvert ikke-negativt heltal kan en irreducerbar dimensionsrepræsentation realiseres som rummet af homogene harmoniske polynomier i grader . Her stiger handlingen til funktioner fra standardmåden : $SO(3)$ $SO(3)$ $k$ $2k+1$ $V_{k}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $k$ $SO(3)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $V_{k}$

(\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatørnavn {SO} (3).

Begrænsningen på enhedssfæren af elementer er de sfæriske harmoniske grad . $S^{2}$ $V_{k}$ $k$

Hvis, siger, , Så er alle homogene polynomier af første grad harmoniske, og vi får et tredimensionelt rum genereret af lineære former , og . Hvis , så er rummet genereret af , , , , og . $k=1$ $V_{1}$ $x$ $y$ $z$ $k=2$ $V_{2}$ $xy$ $xz$ $yz$ $x^{2}-y^{2}$ $x^{2}-z^{2}$

Som nævnt ovenfor opstår endelig-dimensionelle repræsentationer naturligt, når man studerer den stationære Schrödinger-ligning for et sfærisk symmetrisk potentiale, såsom det for brintatomet , som en afspejling af problemets rotationssymmetri. (Se rollen af sfæriske harmoniske i den matematiske analyse af brint .) $SO(3)$

Projektive repræsentationer

Hvis vi ser på Lie-algebraen for en Lie -gruppe , så er denne Lie-algebra isomorf til Lie-algebraen svarende til Lie-gruppen . Ifølge repræsentationsteorien , så er der én irreducerbar repræsentation i hver dimension. Ligedimensionelle repræsentationer svarer dog ikke til grupperepræsentationer . Disse såkaldte spinor - repræsentationer svarer imidlertid til projektive repræsentationer . Disse repræsentationer opstår i kvantemekanikken af partikler med halvt heltals spin, såsom elektronen. ${\mathfrak {so}}(3)$ $SO(3)$ ${\mathfrak {su}}(2)$ $SU(2)$ ${\mathfrak {so}}(3)$ $SO(3)$

Operationer på repræsentationer

I dette afsnit vil vi beskrive tre grundlæggende handlinger på visninger. Se også de tilsvarende konstruktioner for Lie algebra repræsentationer .

Direkte summer af repræsentationer

Hvis vi har to repræsentationer af gruppen , og , så vil den direkte sum have som grundvektorrummet, med gruppehandlingen givet af $G$ $\Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$ $V_{1}\oplus V_{2}$

\Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),

for alle og . $v_{1}\in V_{1},$ $v_{2}\in V_{2}$ $g\in G$

Visse typer Lie-grupper - især kompakte Lie-grupper - har den egenskab, at enhver finitdimensionel repræsentation er isomorf til en direkte sum af irreducerbare repræsentationer. I sådanne tilfælde reduceres klassificeringen af repræsentationer til klassificeringen af irreducerbare repræsentationer. Se Weils komplette reduktionssætning .

Tensorprodukter af repræsentationer

Hvis vi har to repræsentationer af gruppen , og , Så vil tensorproduktet af repræsentationerne have tensorproduktets vektorrum som dets basisvektorrum, med handlingen entydigt bestemt af antagelsen, at $G$ $\Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ $\Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$ $V_{1}\otimes V_{2}$ $G$

\Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{ 2})

for alle og . Altså så at sige . $v_{1}\in V_{1}$ $v_{2}\in V_{2}$ $\Pi (g)=\Pi _{1}(g)\nogle gange \Pi _{2}(g)$

Lie-algebra-repræsentationen , relateret til tensorprodukt-repræsentationen , er givet af: $\pi$ $\Pi$

\pi (X)=\pi _{1}(X)\nogle gange I+I\otimes \pi _{2}(X).

Tensorproduktet af to irreducerbare repræsentationer er normalt ikke irreducerbare; repræsentationsteoriens hovedopgave er at nedbryde tensorprodukter af irreducerbare repræsentationer som en direkte sum af irreducerbare underrum. Dette problem kaldes vinkelmomentaddition eller Clebsch -Gordan-teorien i fysiklitteraturen .

Dobbelt repræsentationer

Lad være en Lie-gruppe, og vær en repræsentation af . Lad være det dobbelte rum, det vil sige rummet af lineære funktionaler på . Så kan vi definere repræsentationen ved formlen $G$ $\Pi :G\rightarrow GL(V)$ $G$ $V^*$ $V$ $\Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})$

\Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatørnavn {tr} },

hvor den adjoint operatør for en hvilken som helst operatør er defineret som: $A:V\rightarrow V$ $A^{\operatørnavn {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}$

(A^{\operatørnavn {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).

(På et fast grundlag er dette blot den sædvanlige transponering af matricen .) At tage det omvendte i definitionen er nødvendigt for virkelig at vise sig at være en repræsentation , da der i identiteten er en ændring i faktorernes steder og uden at tage det omvendte, ville det ikke være en homomorfi, men en antihomomorfisme. $A^{\operatørnavn {tr} }$ $EN$ $\Pi ^{*}$ $\Pi ^{*}$ $G$ $(AB)^{\operatørnavn {tr} }=B^{\operatørnavn {tr} }A^{\operatørnavn {tr)) }$

Dualen af en irreducerbar repræsentation er altid irreducerbar, men kan eller kan ikke være isomorf i forhold til den originale repræsentation. I tilfælde af en gruppe svarer irreducible repræsentationer for eksempel til par af ikke- negative heltal. Den dobbelte repræsentation svarende til er repræsentationen svarende til . $SU(3)$ $(m_{1},m_{2})$ $(m_{1},m_{2})$ $(m_{2},m_{1})$

Repræsentationer af Lie-gruppen og dens Lie-algebra

Oversigt

Som regel er det praktisk at studere repræsentationer af en Lie-gruppe ved at studere repræsentationer af dens tangent Lie-algebra. I det generelle tilfælde kommer ikke alle Lie-algebra-repræsentationer fra en grupperepræsentation. Denne kendsgerning ligger for eksempel til grund for forskellen mellem heltals- og halvheltals- spin i kvantemekanikken. På den anden side, hvis er en simpelt forbundet gruppe , så er der en sætning om, at korrespondancen mellem gruppe- og Lie-algebra-repræsentationer vil være en-til-en. $G$

Lad G være en Lie-gruppe med en Lie-algebra, og lad en repræsentation af denne algebra gives . Lie-korrespondancen kan bruges til at opnå forbundne komponentrepræsentationer af gruppen G. Groft sagt opnås dette ved at tage det eksponentielle fra repræsentationsmatricerne i Lie-algebraen. Subtilitet opstår, hvis G ikke blot er forbundet - så fremkommer projektive repræsentationer ; disse er repræsentationer af den universelle dækkende gruppe G . $\mathfrak g$ $\pi$

Disse resultater vil blive forklaret mere detaljeret nedenfor.

Lie-korrespondancen giver kun resultater for forbundne gruppekomponenter, og derfor, for at specificere repræsentationen af hele gruppen, er det nødvendigt at angive en repræsentant for hver komponent. De danner (repræsenterer) nulhomotopigruppen G . For eksempel, i tilfældet med fire-komponent Lorentz-gruppen, skal repræsentanter for den centrale symmetri af rum og vending af tid indtastes manuelt .

Eksponentiel mapping

Hvis er en Lie-gruppe med Lie-algebra , så har vi en eksponentiel mapping fra til , skrevet som $G$ $\mathfrak g$ $\mathfrak g$ $G$

X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g)).

Hvis er en matrix Lie-gruppe, så kan udtrykket beregnes ved den sædvanlige potensrække for eksponenten. For enhver Lie-gruppe er der et kvarter med enhed i og et kvarter på nul, således at hver i kan skrives unikt som med . Med andre ord er den eksponentielle kortlægning lokalt inverterbar. I de fleste grupper er dette kun en lokal ejendom; det vil sige, at den eksponentielle kortlægning normalt hverken er en bijektion eller en surjektion. $G$ $e^{X}$ $U$ $G$ $V$ $\mathfrak g$ $g$ $U$ $g=e^{X}$ $X\in V$

Løgnalgebra-repræsentationer fra grupperepræsentationer

Det er altid muligt at gå fra repræsentationen af Lie-gruppen G til repræsentationen af dens Lie-algebra . Hvis er en grupperepræsentation for et eller andet vektorrum V , så er dets differentiale , eller Lie map , en Lie algebra-repræsentation. Det er givet af den eksplicitte formel $\mathfrak{g}$ $\Pi :G\to GL(V)$ $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V$

\pi (X)=\venstre.{\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})\right|_{t=0},\quad X\in {\mathfrak { g}}.

Hovedegenskaben binder og bruger eksponentiel mapping: $\Pi$ $\pi$

\Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.

Spørgsmålet, vi ønsker at undersøge, er, om hver repræsentation således udspringer af gruppens repræsentationer . Som vi skal se, sker dette i det tilfælde, hvor den blot er forbundet. $\mathfrak g$ $G$ $G$

Grupperepræsentationer fra Lie-algebra-repræsentationer

Hovedresultatet af dette afsnit er følgende:

Sætning : hvis er simpelthen forbundet, så kommer hver repræsentation af Lie-algebraen svarende til , fra en repræsentation af .

G

\pi

\mathfrak g

G

\Pi

G

Heraf er det let at udlede:

Følge : hvis forbundet, men ikke blot forbundet, så kommer hver repræsentation af algebraen fra en repræsentation af gruppen - den universelle dækning . Hvis den ikke kan reduceres, går den ned til projektive repræsentationer . En projektiv repræsentation er en, hvor hver kun defineres op til multiplikation med en konstant. I kvantefysikken er det naturligt at tillade projektive repræsentationer ud over de sædvanlige, fordi tilstande egentlig kun defineres op til multiplikation med en konstant (det vil sige, hvis er en vektor i kvante

G

\pi

\mathfrak g

\Pi

\tilde G

G

\pi

\Pi

G

\Pi (g),\,g\in G,

\psi

Hilbert-rum repræsenterer så den samme fysiske tilstand for alle værdier, der ikke er nul . Enhver endelig -dimensionel projektiv repræsentation af en forbundet Lie-gruppe kommer fra den sædvanlige repræsentation af den universelle dækning af . Omvendt, som vi diskuterer nedenfor, reduceres enhver irreducerbar almindelig repræsentation til en projektiv repræsentation . I fysiklitteraturen beskrives projektive repræsentationer ofte som repræsentationer med flere værdier (det vil sige, at hver ikke har én værdi, men en hel familie af værdier). Dette fænomen er vigtigt for studiet af fraktioneret spin i kvantemekanik. $c\psi$ $c$ $G$ $\tilde G$ $G$ $\tilde G$ $G$ $\Pi (g)$

Det følgende er et bevis på de vigtigste resultater givet ovenfor. Lad være en repræsentation i vektorrummet V . Hvis der findes en Lie-grupperepræsentation svarende til den, skal den opfylde eksponentialrelationen fra det foregående underafsnit. Da eksponentialet er lokalt inverterbart, kan man definere en kortlægning fra et enhedskvarter til at bruge denne relation: $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ $\mathfrak g$ $\Pi$ $\Pi$ $U$ $G$

\Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.

Nøglespørgsmålet er så: er denne lokalt definerede kortlægning en "lokal homomorfi"? (Dette spørgsmål giver mening selv i det særlige tilfælde, hvor den eksponentielle kortlægning er globalt bijektiv, da det i så fald, selvom det er defineret globalt, ikke er indlysende, hvorfor det ville være en homomorfi.) Svaret på dette spørgsmål er ja: er en lokal homomorfi, og dette kan etableres ved at bruge Baker-Campbell-Hausdorff-formlen . $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

Hvis forbundet, så er hvert element i det mindste produktet af elementernes eksponenter . Du kan således forsøge at definere globalt som følger. $G$ $G$ $\mathfrak g$ $\Pi$

{\begin{aligned}\Pi (g=e^{X})&\equiv e^{\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g)),\quad g=e^ {X}\i \operatørnavn {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \operatørnavn {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\ i \operatørnavn {im} (\exp ).\end{aligned}}

Repræsentationen af et givet gruppeelement som et produkt af eksponentialer er dog på ingen måde unik, så det er endnu ikke klart, hvorfor det faktisk er korrekt defineret. $\Pi$

For at løse spørgsmålet om, hvorvidt er korrekt defineret , kan vi forbinde hvert element i gruppen med enheden i en kontinuerlig sti. Du kan derefter definere langs stien og vise, at værdien forbliver den samme, når stien kontinuerligt deformeres med faste ender. $\Pi$ $g\in G$ $\Pi$ $\Pi (g)$

Hvis blot er forbundet, så kan enhver sti, der starter ved 1 og slutter ved , kontinuerligt deformeres til enhver anden sådan sti, hvilket viser, at den er fuldstændig uafhængig af valget af stien. $G$ $g$ $\Pi (g)$

Hvis det ikke blot er forbundet, kan vi anvende ovenstående procedure på den universelle beklædning . Lad være en kortlægning af belægningen. Hvis kernen indeholder en kerne , falder den ned for at repræsentere den oprindelige gruppe . Selvom dette ikke er tilfældet, kan det ses, at kernen er en diskret normal undergruppe af , og derfor ligger i centrum af . Derfor, hvis irreducerbar, så vil kernen ifølge Schur-lemmaet virke ved multiplikationer med skalarer. Falder således ned til en projektiv repræsentation , dvs. en, der kun er defineret op til multiplikation med en skalar. $G$ $\tilde G$ $p:{\tilde {G}}\rightarrow G$ $\Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatørnavn {GL} (V)$ $s$ $\Pi$ $G$ $s$ $\tilde G$ $\tilde G$ $\pi$ $s$ $\Pi$ $G$

For eksempel, i det specielle tilfælde af den dobbeltforbundne gruppe SO(3, 1) + , er den universelle dækkende gruppe , og dens repræsentation er nøjagtig , hvis og kun hvis den tilsvarende repræsentation er projektiv . ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ $\Pi$

Klassifikation i den kompakte sag

Hvis er en forbundet kompakt Lie-gruppe, så dekomponerer dens finitdimensionelle repræsentationer til en direkte sum af irreducerbare repræsentationer. [3] Irreducible elementer er klassificeret ved hjælp af den højeste vægt teori . Her giver vi en kort beskrivelse af denne teori; for flere detaljer, se artiklerne om teorien om repræsentationer af en forbundet kompakt Lie-gruppe og parallelteorien, der klassificerer repræsentationer af semisimple Lie-algebraer . $G$

Lad være den maksimale torus i . Ved Schur-lemmaet er irreducible repræsentationer endimensionelle. Disse repræsentationer kan let klassificeres og hver kan tildeles en vis vægt . Lad være en irreducerbar repræsentation af , så begrænsningen til vil normalt ikke være irreducerbar, men vil dekomponere som en direkte sum af irreducible repræsentationer af , mærket med passende vægte. (Samme vægt kan forekomme mere end én gang.) For fast , kan en af vægtene defineres som den højeste , og repræsentationerne klassificeres derefter efter den højeste vægt. $T$ $G$ $T$ $\Sigma$ $G$ $\Sigma$ $T$ $T$ $\Sigma$

Et vigtigt aspekt af repræsentationsteori er den beslægtede teori om tegn . Karakteren af repræsentationen af en Lie-gruppe er den funktion , der bestemmes af reglen $\Sigma$ $G$ $\chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C}$

\chi _{G}(g)=\operatørnavn {trace} (\Sigma (g)).

Det viser sig, at to vilkårlige repræsentationer med de samme karakterer er isomorfe. Desuden giver Weyl-formlen os mulighed for at finde karakteren af en repræsentation ved dens højeste vægt. Denne formel giver ikke kun en masse nyttig information om repræsentationen, men spiller også en afgørende rolle i beviset for den højeste vægtsætning.

Enhedsrepræsentationer i Hilbert-rum

Lad være et komplekst Hilbert-rum, som kan være uendeligt-dimensionelt, og lad betegne gruppen af enhedsoperatører på . Så er den enhedsrepræsentation af en Lie-gruppe i en homomorfi af Lie-grupper, således at for hver fast mapping $V$ $U(V)$ $V$ $G$ $V$ $\Pi :G\rightarrow U(V)$ $v\in V$

g\mapsto \Pi (g)v

er en kontinuerlig kortlægning i . $G$ $V$

Endedimensionelle enhedsrepræsentationer

Hvis Hilbert-rummet er endelig-dimensionelt, så kan vi betragte den tilsvarende repræsentation af Lie-algebraen svarende til . Hvis er forbundet, så er repræsentationen af ensartet, hvis og kun hvis den er skæv-selv-adjoint for hver . $V$ $\pi$ $\mathfrak g$ $G$ $G$ $\Pi$ $G$ $\pi (X)$ $X\in {\mathfrak {g))$

Hvis er kompakt, så er hver repræsentation af Lie-gruppen i et endeligt-dimensionelt vektorrum unitariserbar , hvilket betyder, at man kan vælge et hermitisk produkt på , så hver af dem er ensartet. $G$ $\Pi$ $G$ $V$ $V$ $\Pi (g),\,g\in G$

Uendelig-dimensionelle enhedsrepræsentationer

Hvis uendeligt-dimensionelle Hilbert-rum tillades, så involverer studiet af enhedsrepræsentationer en række interessante træk, som ikke er til stede i det endelig-dimensionelle tilfælde. For eksempel bliver konstruktionen af en passende repræsentation af Lie-algebraen en teknisk vanskelig opgave. Et velundersøgt tilfælde er en semisimpel (eller reduktiv) Lie-gruppe, hvor den tilsvarende repræsentation af Lie-algebraen danner et (g,K)-modul . $\mathfrak g$

Eksempler på enhedsrepræsentationer opstår i kvantemekanik og kvantefeltteori, men også i Fourier-analyse , som vist i det følgende eksempel. Lad , og lad et komplekst Hilbert-rum høre til klassen . Så kan repræsentationen defineres som $G=\mathbb {R}$ $V$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ $\psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))$

[\psi (a)(f)](x)=f(xa).

Her er nogle vigtige eksempler, hvor de enhedsrepræsentationer af Lie-gruppen er blevet analyseret.

Stone-von Neumann-sætningen kan forstås som en klassifikation af irreducerbare enhedsrepræsentationer af Heisenberg-gruppen .
Wigner-klassifikationen for repræsentationer af Poincaré-gruppen spiller en vigtig begrebsmæssig rolle i kvantefeltteorien, og viser, hvordan partiklernes masse og spin kan forstås i gruppeteoretiske termer.
Repræsentationsteorien SL(2,R) blev udviklet af W. Bargman og fungerer som en prototype til at studere enhedsrepræsentationer af ikke-kompakte semisimple Lie-grupper.

Projektive repræsentationer

I kvantefysikken er man ofte interesseret i projektive enhedsrepræsentationer af Lie-gruppen . Grunden til denne interesse ligger i, at et kvantesystems tilstande er repræsenteret af vektorer i Hilbert-rummet - men samtidig er to tilstande, der adskiller sig i multiplikation med en konstant, faktisk den samme fysiske tilstand. Hilbert rumsymmetrier beskrives derefter af enhedsoperatorer, men en enhedsoperator lig med identitetsoperatoren ganget med en konstant ændrer ikke systemets fysiske tilstand. Vi er således ikke interesserede i almindelige enhedsrepræsentationer, det vil sige homomorfismer i en enhedsgruppe , men i projektive enhedsrepræsentationer, det vil sige homomorfismer til en projektiv enhedsgruppe $G$ $\mathbf {H}$ $G$ $U(\mathbf {H} )$ $G$

PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.

Med andre ord, for en projektiv repræsentation konstruerer vi en familie af enhedsoperatorer , hvor det forstås, at når det multipliceres med en konstant (modulo lig med 1), betragtes det som den samme operator. Operatørerne skal derefter opfylde homomorfiegenskaben op til en konstant : $\rho (g),\,\,g\in G$ $\rho (g)$ $\rho (g)$

\rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).

Vi har allerede diskuteret irreducible projektive enhedsrepræsentationer af rotationsgruppen ovenfor; at overveje projektive repræsentationer giver mulighed for et fraktioneret spin ud over et heltals spin. $SO(3)$

Bargmans teorem siger, at for nogle typer Lie-grupper er irreducible projektive enhedsrepræsentationer i en-til-en-korrespondance med enhedsrepræsentationer af den universelle dækkende Lie-gruppe . Vigtige eksempler, som Bargmanns sætning gælder for, er (som netop nævnt) og Poincaré-gruppen . Sidstnævnte tilfælde er vigtigt for Wigners klassificering af projektive repræsentationer af Poincaré-gruppen med anvendelser til kvantefeltteori. $G$ $G$ $G$ $SO(3)$

Et eksempel, hvor Bargmans sætning ikke gælder , er gruppen . Sættet af forskydninger af koordinater og momenta på danner en projektiv enhedsrepræsentation , men det kommer ikke fra den sædvanlige repræsentation af den universelle dækning , som blot er selve gruppen . I dette tilfælde, for at få den sædvanlige repræsentation, skal man gå til Heisenberg-gruppen , som er en endimensionel central forlængelse . ${\mathbb R}^{{2n))$ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$ ${\mathbb R}^{{2n))$

Kommutativ kasus

Hvis er en kommutativ Lie-gruppe , så er enhver irreducerbar enhedsrepræsentation på komplekse vektorrum endimensionel. (Denne påstand følger af Schurs Lemma og gælder, selvom repræsentationerne ikke på forhånd antages at være endelig-dimensionelle.) Således er irreducible enhedsrepræsentationer simpelthen kontinuerlige homomorfier i en cirkelgruppe . For eksempel, hvis , så har de irreducible enhedsrepræsentationer formen: $G$ $G$ $G$ $G$ $U(1)$ $G=\mathbb {R}$

\Pi (x)=[e^{iax}]

for et reelt tal . $-en$

Se også Pontryagin-dualitet .

Se også

Repræsentationsteori for forbundne kompakte grupper
Løgn algebra repræsentation
Projektiv repræsentation
Grupperepræsentationsteori SU(2)
Lorentz-gruppens repræsentationsteori
Repræsentationsteori for Hopf algebraer
Tilknyttet repræsentation af Lie-gruppen
Liste over forkortelser i Lie gruppeteori
Symmetri i kvantemekanik
Wigner D-matrix

Noter

↑ Zhelobenko, 1970 , s. 638-650.
↑ Van der Waerden, 2004 , s. 38.
↑ Zhelobenko, 1970 , s. 115.

Litteratur

Zhelobenko D. P., Shtern A. I. Repræsentationer af Lie-grupper. — M .: Nauka , 1983. — 360 s.
Zhelobenko D. P. Compact Lie grupper og deres repræsentationer. — M .: Nauka , 1970. — 664 s.
Postnikov M. M. Lie-grupper og algebraer. — M .: Nauka , 1982. — 447 s.
Van der Waerden BL Metode til gruppeteori i kvantemekanik. — M. : Redaktionel URSS, 2004. — 200 s.
Naimark M. A. Repræsentationsteori for grupper. — M .: Nauka , 1976. — 559 s.
Barut A., Ronchka R. Grupperepræsentationsteori og dens anvendelser. — M .: Mir , 1980. — 452 s.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teori om grupper og symmetrier. Bog 2: Repræsentationer af Lie-grupper og Lie-algebraer. Ansøgninger. - M. : URSS, 2021. - 704 s.