Kontraheret plads

Et sammentrækbart rum er et topologisk rum , der er homotopisk ækvivalent med et punkt. Denne betingelse svarer til at sige, at identitetskortet på er homotopisk til det konstante kort. $x$

Et lokalt sammentrækbart rum er et topologisk rum, hvor hvert punkt har et sammentrækbart kvarter .

Egenskaber

Et rum er sammentrækbart, hvis og kun hvis der eksisterer en sådan, der er en deformations-tilbagetrækning af rummet . $x$ $x_{0}\i X$ $\{x_{0}\}$ $x$

Sammentrækbare rum er altid simpelthen forbundet ; den omvendte påstand holder ikke i det generelle tilfælde, kontraktabilitet er en stærkere begrænsning end blot forbundethed.

Ethvert kontinuerligt kort over sammentrækbare rum er en homotopiækvivalens. Enhver to kontinuerlige kort af et vilkårligt rum til et sammentrækbart rum er homotopiske; desuden, hvis to kontinuerlige kort til er homotopiske, så er et sammentrækbart rum. $x$ $x$

En kegle for et givet rum er et sammentrækbart rum, så ethvert rum kan indlejres i et sammentrækbart rum, hvilket igen indikerer, at ikke alle underrum af et sammentrækkeligt rum er sammentrækkeligt. Er også kontraherbar, hvis og kun hvis der er en tilbagetrækning . $\mathrm{C}X$ $x$ $x$ $x$ ${\mathrm {C}}X\til X$

Eksempler og modeksempler

Sammentrækbart -dimensionelt reelt rum , enhver konveks delmængde af det euklidiske rum, især -dimensionel kugle . $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

En sfære i et uendeligt -dimensionelt Hilbert-rum er kontraherbar, men -dimensionelle euklidiske sfærer er ikke-sammentrækbare. Enhver kontinuerlig afbildning af en -dimensionel kugle i et sammentrækbart rum kan kontinuerligt udvides til en -dimensionel kugle. $n$ $n$ $n+1$

Andre bemærkelsesværdige sammentrækbare rum er Whitehead-manifolden (en tredimensionel manifold , ikke homeomorf ), Mazur-manifolden ( en glat firedimensionel manifold med grænse, ikke diffeomorf til en firekugle ), Bing-huset og gøglerkasket . $\mathbb {R} ^{3}$

Alle manifolder og CW-komplekser er lokalt sammentrækbare, men generelt ikke sammentrækbare.

Litteratur

E. Spanier. Algebraisk topologi. - M .: Mir , 1971. - S. 39-42. - 680 s.