Logaritme

• Af Gelfonds sætning følger det, at hvis er algebraiske tal ( ), så enten rationelle eller transcendentale . I dette tilfælde er logaritmen rationel og kun lig i tilfældet [18] , når tallene er relateret af relationen .
• Summen (delsummen af ​​den harmoniske række ) opfører sig i det store og hele som , hvor er Euler-Mascheroni-konstanten .

Logaritmiske ligninger

Kompleks logaritme

Definition og egenskaber

For komplekse tal er logaritmen defineret på samme måde som den reelle. I praksis bruges næsten udelukkende den naturlige komplekse logaritme, som betegnes og defineres som en løsning på ligningen (andre ækvivalente definitioner er givet nedenfor).

Inden for komplekse tal er løsningen af ​​denne ligning, i modsætning til det virkelige tilfælde, ikke entydigt bestemt. For eksempel ifølge Euler-identiteten , ; dog også . Det skyldes, at eksponentialfunktionen langs den imaginære akse er periodisk (med periode ) [19] , og funktionen tager den samme værdi uendeligt mange gange. Således er den komplekse logaritmiske funktion flerværdi .

Det komplekse nul har ingen logaritme, fordi den komplekse eksponent ikke antager en nulværdi. Ikke-nul kan repræsenteres i eksponentiel form:

Derefter findes det ved formlen [20] :

Her  er en reel logaritme,  er et vilkårligt heltal . Det følger heraf:

Det kan ses af formlen, at én og kun én af værdierne har en imaginær del i intervallet . Denne værdi kaldes hovedværdien af ​​den komplekse naturlige logaritme [11] . Den tilsvarende (allerede enkeltværdi) funktion kaldes logaritmens hovedgren og betegnes . Betegner nogle gange også værdien af ​​logaritmen, som ikke ligger på hovedgrenen. Hvis er et reelt tal, så falder hovedværdien af ​​dets logaritme sammen med den sædvanlige reelle logaritme.

Det følger også af ovenstående formel, at den reelle del af logaritmen bestemmes som følger gennem komponenterne i argumentet:

Figuren viser, at den reelle del som funktion af komponenterne er centralt symmetrisk og kun afhænger af afstanden til origo. Den opnås ved at rotere grafen for den reelle logaritme omkring den lodrette akse. Når den nærmer sig nul, har funktionen en tendens til .

Logaritmen af ​​et negativt tal findes ved formlen [20] :

Eksempler på værdier for den komplekse logaritme

Her er hovedværdien af ​​logaritmen ( ) og dens generelle udtryk ( ) for nogle argumenter:

Du bør være forsigtig, når du konverterer komplekse logaritmer, idet du tager i betragtning, at de har flere værdier, og derfor følger ligheden af ​​disse udtryk ikke af ligheden af ​​logaritmerne for nogen udtryk. Et eksempel på fejlagtig begrundelse:

er en fejl, som dog indirekte indikerer, at værdier, der adskiller sig med , er logaritmer af samme tal. Bemærk, at hovedværdien af ​​logaritmen er til venstre, og værdien fra den underliggende gren ( ) er til højre. Årsagen til fejlen er den skødesløse brug af egenskaben , som generelt set i det komplekse tilfælde indebærer hele det uendelige sæt af værdier af logaritmen, og ikke kun hovedværdien.

Den komplekse logaritmiske funktion og Riemann-overfladen

I kompleks analyse , i stedet for at overveje funktioner med flere værdier på det komplekse plan , blev der truffet en anden beslutning: at betragte funktionen som enkeltværdi, men defineret ikke på planet, men på en mere kompleks manifold , som kaldes Riemann overflade [21] . Den komplekse logaritmiske funktion hører også til denne kategori: dens billede (se figur) består af et uendeligt antal grene snoet i en spiral. Denne overflade er kontinuerlig og enkelt forbundet . Funktionens eneste nul (af første orden) opnås ved . Enkeltpunkter: og (grenpunkter af uendelig rækkefølge) [22] .

I kraft af at være simpelt forbundet, er Riemann-overfladen af ​​logaritmen en universel dækning [23] for det komplekse plan uden et punkt .

Analytisk fortsættelse

Logaritmen af ​​et komplekst tal kan også defineres som den analytiske fortsættelse af den reelle logaritme til hele det komplekse plan . Lad kurven starte ved et, gå ikke gennem nul, og skær ikke den negative del af den reelle akse. Så kan hovedværdien af ​​logaritmen ved kurvens slutpunkt bestemmes ved formlen [22] :

Hvis  det er en simpel kurve (uden selvskæringspunkter), så for tallene, der ligger på den, kan logaritmiske identiteter anvendes uden frygt, for eksempel:

Hovedgrenen af ​​den logaritmiske funktion er kontinuerlig og differentierbar på hele det komplekse plan , bortset fra den negative del af den reelle akse, hvorpå den imaginære del hopper til . Men dette faktum er en konsekvens af den kunstige begrænsning af den imaginære del af hovedværdien af ​​intervallet . Hvis vi betragter alle grene af funktionen, så finder kontinuitet sted på alle punkter undtagen nul, hvor funktionen ikke er defineret. Hvis kurven får lov til at krydse den negative del af den reelle akse, overfører det første sådanne skæringspunkt resultatet fra hovedværdigrenen til nabogrenen, og hvert efterfølgende skæringspunkt forårsager et lignende skift langs grenene af den logaritmiske funktion [22 ] (se figur).

Fra den analytiske fortsættelsesformel følger det, at på enhver gren af ​​logaritmen [19] :

For enhver cirkel, der omslutter et punkt :

Integralet tages i positiv retning ( mod uret ). Denne identitet ligger til grund for teorien om rester .

Man kan også definere den analytiske fortsættelse af den komplekse logaritme ved hjælp af ovenstående serie: serie 1 eller serie 2 , generaliseret til tilfældet med et komplekst argument. Men af ​​formen af ​​disse serier følger det, at ved enhed er summen af ​​rækken lig med nul, det vil sige, at rækken kun refererer til hovedgrenen af ​​flerværdifunktionen af ​​den komplekse logaritme. Konvergensradius for begge serier er 1.

Relation med inverse trigonometriske og hyperbolske funktioner

Da komplekse trigonometriske funktioner er relateret til eksponentialet ( Eulers formel ), så er den komplekse logaritme som den inverse af eksponentialfunktionen relateret til de inverse trigonometriske funktioner [24] [25] :

Hyperbolske funktioner på det komplekse plan kan betragtes som trigonometriske funktioner af det imaginære argument, så også her er der en sammenhæng med logaritmen [25] :

Historisk disposition

Forgængere

Den ideologiske kilde og stimulans til brugen af ​​logaritmer var det faktum (kendt af Arkimedes [26] ), at når potenser multipliceres, summeres deres eksponenter [27] : . Den indiske matematiker fra det 8. århundrede Virasena , der udforskede magtafhængigheder, offentliggjorde en tabel med heltalseksponenter (det vil i virkeligheden sige logaritmer) for baserne 2, 3, 4 [28] .

Det afgørende skridt blev taget i middelalderens Europa. Behovet for komplekse beregninger i det 16. århundrede voksede hurtigt, og meget af vanskeligheden var forbundet med multiplikation og division af flercifrede tal samt udtrækning af rødder . I slutningen af ​​århundredet kom flere matematikere, næsten samtidigt, op med ideen: at erstatte tidskrævende multiplikation med simpel addition, sammenligne de geometriske og aritmetiske progressioner ved hjælp af specielle tabeller, mens den geometriske vil være den originale [26] . Så bliver divisionen automatisk erstattet af en umådelig enklere og mere pålidelig subtraktion, og eksponentiering og rodudtræk vil også blive forenklet .

Den første til at udgive denne idé i sin bog " Arithmetica integra " (1544) var Michael Stiefel , som dog ikke gjorde en seriøs indsats for den praktiske gennemførelse af hans idé [29] [30] . Stiefels vigtigste fortjeneste er overgangen fra heltalseksponenter til vilkårlige rationelle eksponenter [31] (de første skridt i denne retning blev taget af Nikolay Orem i det 14. århundrede og Nicola Schuquet i det 15. århundrede).

John Napier og hans "fantastiske tabel over logaritmer"

I 1614 udgav den skotske amatørmatematiker John Napier et værk på latin med titlen Description of the Amazing Table of Logarithms ( latin:  Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Den havde en kort beskrivelse af logaritmer og deres egenskaber, samt 8-cifrede tabeller over logaritmer af sinus , cosinus og tangenter , med et trin på 1'. Udtrykket logaritme , foreslået af Napier, har etableret sig i videnskaben. Napier fremlagde teorien om logaritmer i en anden af ​​sine bøger, " Construction of an Amazing Table of Logarithms " ( lat.  Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), udgivet posthumt i 1619 af hans søn Robert.

At dømme efter dokumenterne mestrede Napier logaritmeteknikken i 1594 [32] . Det umiddelbare formål med dets udvikling var at lette komplekse astrologiske beregninger for Napier [33] ; det er derfor kun logaritmerne af trigonometriske funktioner var inkluderet i tabellerne .

Begrebet en funktion eksisterede endnu ikke, og Napier definerede logaritmen kinematisk ved at sammenligne ensartet og logaritmisk langsom bevægelse; for eksempel definerede han logaritmen af ​​sinus som følger [34] :

Logaritmen af ​​en given sinus er et tal, der altid steg aritmetisk med samme hastighed, som den fulde sinus begyndte at falde geometrisk.

I moderne notation kan Napier kinematisk model repræsenteres af en differentialligning [35] :

hvor M er en skaleringsfaktor introduceret for at værdien skal vise sig at være et heltal med det nødvendige antal cifre ( decimalbrøker var endnu ikke meget brugt dengang). Napier tog M = 10.000.000.

Strengt taget tabulerede Napier den forkerte funktion, som nu kaldes logaritmen. Hvis vi betegner dens funktion som , så er den relateret til den naturlige logaritme som følger [35] :

Det er klart, det vil sige, at logaritmen af ​​"fuld sinus" (svarende til 90 °) er nul - det er, hvad Napier opnåede med sin definition. Han ønskede også, at alle logaritmer skulle være positive; det er let at verificere, at denne betingelse for er opfyldt. .

Den vigtigste egenskab ved Napier-logaritmen: hvis mængderne danner en geometrisk progression , danner deres logaritmer en aritmetisk progression . Reglerne for logaritmen for ikke-Peer-funktionen afveg dog fra reglerne for den moderne logaritme, for eksempel:

Videreudvikling

Som det snart viste sig, på grund af en fejl i algoritmen, indeholdt alle værdierne i Napier-tabellen forkerte tal efter det sjette ciffer [36] . Dette forhindrede dog ikke den nye beregningsmetode i at vinde stor popularitet, og mange europæiske matematikere tog fat på udarbejdelsen af ​​logaritmiske tabeller. Kepler indsatte en entusiastisk dedikation til Napier i den astronomiske opslagsbog, han udgav i 1620 (uden at vide, at opfinderen af ​​logaritmer allerede var død). I 1624 udgav Kepler sin egen version af logaritmiske tabeller ( lat.  Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [37] . Brugen af ​​logaritmer gjorde det muligt for Kepler at fuldføre de mange års arbejde på Rudolphian Tabellerne relativt hurtigt , hvilket cementerede succesen med heliocentrisk astronomi .

Et par år efter Napiers bog dukkede logaritmiske tabeller op, ved hjælp af en mere moderne forståelse af logaritmen. London-professor Henry Briggs offentliggjorde 14-cifrede tabeller med decimallogaritmer (1617), og ikke for trigonometriske funktioner, men for vilkårlige heltal op til 1000 (7 år senere øgede Briggs antallet af tal til 20000). I 1619 genudgav Londons matematiklærer John Spidell  Napiers logaritmiske tabeller, korrigerede og supplerede, så de faktisk blev til tabeller med naturlige logaritmer. Spidell havde også logaritmerne for selve tallene op til 1000 (desuden var enhedslogaritmen, ligesom Briggs, lig med nul) - selvom Spidell beholdt skaleringen til heltal [38] [39] .

Det blev hurtigt klart, at logaritmers plads i matematik ikke er begrænset til beregningsmæssige bekvemmeligheder. I 1629 viste den belgiske matematiker Grégoire de Saint-Vincent , at arealet under en hyperbel varierer i henhold til en logaritmisk lov [40] . I 1668 opdagede den tyske matematiker Nicholas Mercator (Kaufmann) og publicerede i sin bog Logarithmotechnia udvidelsen af ​​logaritmen til en uendelig række [41] . Ifølge mange historikere havde fremkomsten af ​​logaritmer en stærk indflydelse på mange matematiske begreber, herunder:

1. Dannelse og anerkendelse af det generelle begreb om irrationelle og transcendentale tal [42] .
2. Fremkomsten af ​​en eksponentiel funktion og det generelle koncept for en numerisk funktion , Euler-tallet , udviklingen af ​​teorien om differensligninger [43] .
3. Kom godt i gang med Infinite Series [41] .
4. Generelle metoder til løsning af differentialligninger af forskellige typer.
5. Væsentlig udvikling i teorien om numeriske metoder , der kræves for at beregne nøjagtige logaritmiske tabeller.

Indtil slutningen af ​​det 19. århundrede var der ingen almindeligt accepteret betegnelse for logaritmen, grundtallet a blev angivet enten til venstre og over log -symbolet , derefter over det. I sidste ende kom matematikere til den konklusion, at det mest bekvemme sted for basen er under linjen, efter log : symbolet . Korte betegnelser for de mest almindelige typer af logaritme - for decimal og naturlig - dukkede op meget tidligere på én gang af flere forfattere og blev endelig fastlagt også i slutningen af ​​det 19. århundrede [44] .

Tæt på moderne forståelse af logaritmen - som en operation, det omvendte af at hæve til en magt  - dukkede først op i Wallis (1685) og Johann Bernoulli (1694), og blev endelig legitimeret af Euler [36] . I bogen "Introduction to the Analysis of Infinite" ( 1748 ) gav Euler moderne definitioner af både eksponentielle og logaritmiske funktioner, udvidede dem til potensrækker og bemærkede især den naturlige logaritmes rolle [45] . Euler har også fordelen af ​​at udvide den logaritmiske funktion til det komplekse domæne.

Udvidelse af logaritmen til det komplekse domæne

De første forsøg på at udvide logaritmer til komplekse tal blev foretaget ved overgangen til det 17.-18. århundrede af Leibniz og Johann Bernoulli , men det lykkedes ikke at skabe en holistisk teori, primært af den grund, at selve begrebet logaritmen endnu ikke var klart. defineret [46] . Diskussionen om denne sag var først mellem Leibniz og Bernoulli, og i midten af ​​det 18. århundrede mellem d'Alembert og Euler. Bernoulli og d'Alembert mente, at man burde definere , mens Leibniz hævdede, at logaritmen af ​​et negativt tal er et imaginært tal [46] . Den komplette teori om logaritmerne af negative og komplekse tal blev offentliggjort af Euler i 1747-1751 og adskiller sig i det væsentlige ikke fra den moderne [47] . Selvom striden fortsatte (d'Alembert forsvarede sit synspunkt og argumenterede for det i detaljer i en artikel i hans Encyclopedia og i andre værker), modtog Eulers tilgang i slutningen af ​​det 18. århundrede universel anerkendelse.

I det 19. århundrede, med udviklingen af ​​kompleks analyse , stimulerede studiet af den komplekse logaritme nye opdagelser. Gauss udviklede i 1811 en komplet teori om flerværdien af ​​den logaritmiske funktion [48] , defineret som integralet af . Riemann , der stolede på allerede kendte fakta om denne og lignende funktioner, konstruerede en generel teori om Riemann-overflader .

Udviklingen af ​​teorien om konforme kortlægninger viste, at Mercator-projektionen i kartografi , som opstod allerede før opdagelsen af ​​logaritmer (1550), kan beskrives som en kompleks logaritme [49] .

Nogle praktiske applikationer

Logaritmiske relationer i videnskab og natur

Logaritmiske funktioner er ekstremt udbredte både i matematik og naturvidenskab. Ofte optræder logaritmer, hvor der opstår selvlighed , det vil sige, at et eller andet objekt konsekvent gengives i en reduceret eller forstørret skala; se nedenfor for eksempler såsom rekursive algoritmer , fraktaler eller muslingeskaller. Her er nogle eksempler på brugen af ​​logaritmer i forskellige videnskaber.

Talteori

Fordelingen af ​​primtal adlyder asymptotisk simple love [50] :

1. Antallet af primtal mellem 1 og omtrent lig med .
2. k -th primtal er omtrent lig med .

Endnu mere nøjagtige estimater bruger integrallogaritmen .

Ofte opstår problemet med groft at estimere et meget stort tal, såsom et fakultativt eller et Mersenne-tal med et stort tal. For at gøre dette ville det være praktisk at skrive tallet i eksponentielt format , det vil sige i form af en mantisse og en decimaleksponent.

Problemet løses nemt ved hjælp af logaritmer. Overvej for eksempel det 44. Mersenne-nummer .

Derfor er mantissen af ​​resultatet lig med Endelig får vi:

Matematisk analyse

Logaritmer opstår ofte, når man finder integraler og ved løsning af differentialligninger . Eksempler:

Sandsynlighedsteori og statistik

I statistik og sandsynlighedsteori indgår logaritmen i en række praktisk vigtige sandsynlighedsfordelinger. For eksempel bruges den logaritmiske fordeling [51] i genetik og fysik. Den lognormale fordeling forekommer ofte i situationer, hvor den undersøgte værdi er produktet af flere uafhængige positive stokastiske variable [52] .

Benfords lov ("loven om det første ciffer") beskriver sandsynligheden for, at et bestemt første signifikante ciffer forekommer ved måling af reelle værdier.

For at estimere en ukendt parameter bruges maksimumsandsynlighedsmetoden og den tilhørende log-sandsynlighedsfunktion [53] i vid udstrækning .

Udsving i en tilfældig gåtur er beskrevet af Khinchin-Kolmogorov-loven .

Datalogi og beregningsmatematik

I datalogi : en måleenhed for information ( bit ). For for eksempel at gemme et naturligt tal i en computer (i det sædvanlige binære format for en computer), har du brug for bits.

Informationsentropi er et mål for mængden af ​​information.

Estimering af den asymptotiske kompleksitet af rekursive divide -and-conquer-algoritmer [54] såsom quicksort , hurtig Fourier-transformation osv .

Typisk er numeriske værdier gemt i hukommelsen på en computer eller specialiseret processor i flydende kommaformat . Hvis addition og subtraktion imidlertid sjældent udføres på en gruppe af data, men multiplikation, division, eksponentiering og rodekstraktion udføres meget oftere, så giver det mening at overveje at gemme sådanne data i et logaritmisk format . I dette tilfælde, i stedet for et tal, lagres logaritmen for dets modul og tegnet , og hastigheden af ​​beregninger på grund af logaritmens egenskaber stiger betydeligt [55] . Det logaritmiske lagringsformat er blevet brugt i flere systemer, hvor det har vist sig at være effektivt [56] [57] .

Fraktaler og dimensioner

Logaritmer hjælper med at udtrykke Hausdorff-dimensionen af ​​en fraktal [58] . Betragt for eksempel Sierpinski-trekanten , som fås fra en ligesidet trekant ved successiv fjernelse af lignende trekanter, hvis lineære størrelse er halveret på hvert trin (se figur). Dimensionen af ​​resultatet bestemmes af formlen:

Mekanik og fysik

Boltzmann-princippet i statistisk termodynamik er en af ​​de vigtigste funktioner i tilstanden af ​​et termodynamisk system , der karakteriserer graden af ​​dets tilfældighed .

Tsiolkovsky-formlen bruges til at beregne hastigheden af ​​en raket.

Kemi og fysisk kemi

Nernst-ligningen forbinder systemets redoxpotentiale med aktiviteterne af de stoffer, der indgår i den elektrokemiske ligning, samt med standardelektrodepotentialerne for redoxpar.

Logaritmen bruges i definitionerne af sådanne mængder som indekset for autoprotolysekonstanten (selvionisering af molekylet) og brintindekset (opløsningens surhed).

Musikteori

For at løse spørgsmålet om, hvor mange dele der skal opdeles oktaven , er det nødvendigt at finde en rationel tilnærmelse til . Hvis vi udvider dette tal til en fortsat brøk , så giver den tredje konvergerende brøk (7/12) os mulighed for at retfærdiggøre den klassiske opdeling af oktaven i 12 halvtoner [59] .

Psykologi og fysiologi

Den menneskelige opfattelse af mange fænomener er godt beskrevet af den logaritmiske lov.

Weber-Fechner-loven er en empirisk psykofysiologisk lov, som siger, at sansningens intensitet er proportional med logaritmen af ​​stimulusens intensitet [60]  - lydens styrke [61] , lysets lysstyrke .

Fitts' lov : jo længere eller mere præcist kroppens bevægelse udføres, jo mere korrektion er nødvendig for dens gennemførelse og jo længere tid udføres denne korrektion [62] .

Tiden til at træffe en beslutning i nærvær af et valg kan estimeres i henhold til Hicks lov [63] .

Biologi

En række biologiske former svarer godt til en logaritmisk spiral [64]  - en kurve, hvor tangenten i hvert punkt danner den samme vinkel med radiusvektoren på dette punkt, det vil sige, at stigningen i radius pr. længdeenhed af en cirkel er konstant:

• Nautilus skal
• Placering af frø på solsikke
• Romanesco blomkål

Diverse

Antallet af omgange i spillet ifølge det olympiske system er lig med den binære logaritme af antallet af deltagere i konkurrencen, rundet op til det nærmeste højere heltal [65] .

Logaritmisk skala

Den uensartede skala af decimallogaritmer bruges inden for mange videnskabsområder. For at sikre beregninger er det plottet på slideregler . Andre eksempler:

• Akustik  - lydtrykniveau og  lydintensitet ( decibel ) [66] .
• Signal-støjforhold i  radioteknik og  telekommunikation [67] .
• Astronomi  - skalaen for stjerners lysstyrke [68] .
• Kemi  - aktivitet af hydrogenioner ( pH ) [ 69] .
• Seismologi  - Richter skala [70] .
• Optisk tæthed  er et mål for absorption af lys af gennemsigtige genstande eller refleksion af lys af uigennemsigtige genstande [71] .
• Fotografisk breddegrad  er et kendetegn for lysfølsomt materiale [72] .
• Lukkerhastighed og  blændeskala i fotografering [73] .
• Musikteorien  er en musikalsk skala, i forhold til frekvenserne af musikalske lyde [59] .
• Landbrug  er den vigtigste hydrofysiske egenskab ved jorden [74] .
• Kontrolteori  - logaritmisk amplitude-fase frekvensrespons [75] .

Den logaritmiske skala er især nyttig i tilfælde, hvor niveauerne af den målte mængde danner en geometrisk progression , da deres logaritmer er fordelt med et konstant trin. For eksempel 12 halvtoner af en klassisk oktavform (ca.) sådan en progression [59] med nævneren . Ligeledes svarer hvert niveau på Richter-skalaen til 10 gange mere energi end det foregående niveau. Selv i fravær af en geometrisk progression kan en logaritmisk skala være nyttig til en kompakt repræsentation af en lang række målte værdier.

Den logaritmiske skala er også meget brugt til at evaluere eksponenten i eksponentielle afhængigheder og koefficienten i eksponenten. Samtidig har en graf tegnet på en logaritmisk skala langs en eller to akser form af en ret linje, som er lettere at studere.

Logaritmiske tabeller

Af logaritmens egenskaber følger det, at i stedet for den tidskrævende multiplikation af tal med flere værdier, er det nok at finde (ifølge tabellerne) og tilføje deres logaritmer og derefter udføre potensering ved hjælp af de samme tabeller (afsnit " Antilogaritmer " ) , dvs. find værdien af ​​resultatet ved dets logaritme. At lave division adskiller sig kun ved, at logaritmer trækkes fra.

De første tabeller over logaritmer blev udgivet af John Napier ( 1614 ), og de indeholdt kun logaritmerne for trigonometriske funktioner og med fejl. Uafhængigt af ham udgav Jost Bürgi , en ven af ​​Kepler , sine tabeller ( 1620 ). I 1617 offentliggjorde Oxford matematikprofessor Henry Briggs tabeller, der allerede inkluderede decimallogaritmerne for tallene selv, fra 1 til 1000, med 8 (senere 14) cifre. Men der var også fejl i Briggs-tabellerne. Den første ufejlbarlige udgave baseret på Georg Vegas tabeller ( 1783 ) udkom først i 1857 i Berlin ( Bremikers tabeller ) [76] .

I Rusland blev de første tabeller over logaritmer offentliggjort i 1703 med deltagelse af L. F. Magnitsky [77] . Adskillige samlinger af tabeller over logaritmer blev offentliggjort i USSR [78] :

1. Bradis V. M. Matematiske tabeller med fire værdier. M.: Bustard, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Bradis-tabeller, udgivet siden 1921, blev brugt i uddannelsesinstitutioner og i tekniske beregninger, der ikke kræver stor nøjagtighed. De indeholdt mantisser af decimallogaritmer af tal og trigonometriske funktioner, naturlige logaritmer og nogle andre nyttige beregningsværktøjer.
2. Vega G. Tabeller over syvcifrede logaritmer, 4. udgave, M.: Nedra, 1971. Professionel samling til nøjagtige beregninger.
3. Bremiker K. Logaritmisk-trigonometriske tabeller. M.: Nauka, 1962. 664 s. Klassiske sekscifrede tabeller, praktiske til beregninger med trigonometriske funktioner .
4. Femcifrede tabeller over naturlige værdier af trigonometriske størrelser, deres logaritmer og logaritmer af tal, 6. udgave, M .: Nauka, 1972.
5. Tabeller over naturlige logaritmer, 2. udgave, i 2 bind, Moskva: Nauka, 1971.
6. Ti-cifrede tabeller med logaritmer af komplekse tal. M., 1952.

Slide- regel

I 1620'erne opfandt Edmund Wingate og William Oughtred den første glideregel , som fungerede som et uundværligt regneværktøj for en ingeniør indtil fremkomsten af ​​lommeregnere [79] . Med dette kompakte værktøj kan du hurtigt udføre alle algebraiske operationer, inklusive dem, der involverer trigonometriske funktioner [80] . Nøjagtigheden af ​​beregninger er omkring 3 signifikante cifre.

Variationer og generaliseringer

Logaritmen som en løsning til en ligning kan defineres ikke kun for reelle og komplekse tal.

• Du kan indtaste en logaritmisk funktion for quaternions (se quaternion variable funktioner ). Men de fleste af de algebraiske egenskaber af logaritmen går tabt [81] - for eksempel er logaritmen af ​​et produkt ikke lig med summen af ​​logaritmer, og dette reducerer den praktiske værdi af en sådan generalisering.
• Hvis er elementer i en finit abelsk multiplikativ gruppe , kaldes logaritmen i den angivne betydning (hvis den findes) diskret . Oftest anses det for en endelig gruppe af en restring modulo some, hvor det kaldes et index modulo dette [82] og spiller en vigtig rolle i kryptografi . I cykliske grupper eksisterer en logaritme, hvis dens base er en primitiv rod af denne gruppe.
• Matrixlogaritme :Du kan også definere logaritmer formatricer [83] .
• Man kan definere den p-adiske logaritme for nogle p-adiske tal [84] .
• For at arbejde med meget store tal introduceres begrebet superlogaritme , som ikke er relateret til eksponentiering , men til en operation af højere orden: tetration .

Se også

• Antilog
• logaritmisk subtraktion
• Logaritmisk tegn på konvergens
• logaritmisk papir
• polylogaritme
• Størrelsesorden
• Prostapheretisk funktion
• Liste over integraler af logaritmiske funktioner

Noter

1. ↑ Kort ordbog over fremmede ord. M.: Russisk sprog, 1984.
2. ↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , s. 186.
3. ↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , s. 184-186.
4. ↑ Shvetsov K.I., Bevz G.P. Håndbog i elementær matematik. Aritmetik, algebra. Kiev: Naukova Dumka, 1966. §40. Historisk information om logaritmer og diasreglen.
5. ↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 34.
6. ↑ Algebra og begyndelsen af ​​analysen. Lærebog for 10-11 klassetrin. 12. udgave, Moscow: Enlightenment, 2002. S. 229.
7. ↑ Algebra og begyndelsen af ​​analysen. Lærebog for 10-11 klassetrin. 12. udgave, Moscow: Enlightenment, 2002. S. 233.
8. ↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , s. 187.
9. ↑ Elementær matematik, 1976 , s. 93f.
10. ↑ 1 2 Elementær matematik, 1976 , s. 89.
11. ↑ 1 2 Logaritmisk funktion. // Matematisk encyklopædi (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
12. ↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, 1966 , bind I, s. 159-160.
13. ↑ Sasaki T., Kanada Y. Praktisk talt hurtig flerpræcisionsevaluering af log(x  )  // Journal of Information Processing. - 1982. - Bd. 5 , iss. 4 . - S. 247-250 .
14. ↑ 1 2 Elementær matematik, 1976 , s. 94-100.
15. ↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , s. 189.
16. ↑ Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt, 1987 , s. 406.
17. ↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , bind I, s. 164.
18. ↑ Baker, Alan (1975), Transcendental number theory , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3  , s. ti.
19. ↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, 1966 , bind II, s. 520-522.
20. ↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 623.
21. ↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variable, 1967 , s. 92-94.
22. ↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variable, 1967 , s. 45-46, 99-100.
23. ↑ Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Visuel topologi . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, udgave 21).
24. ↑ Fikhtengolts G. M. Forløb af differential- og integralregning, 1966 , bind II, s. 522-526.
25. ↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , s. 624.
26. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Essay om logaritmernes historie, 1923 , s. 9.
27. ↑ Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt, 1987 , s. 206.
28. ↑ Gupta, RC (2000), History of Mathematics in India , i Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , New Delhi: Popular Prakashan, s. 329 Arkiveret 17. marts 2018 på Wayback Machine 
29. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 54-55.
30. ↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, s. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logaritm&q=stifel > 
31. ↑ Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt, 1987 , s. 210.
32. ↑ Uspensky Ya. V. Essay om logaritmernes historie, 1923 , s. 13.
33. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 56.
34. ↑ Læser om matematikkens historie. Matematisk analyse. Sandsynlighedsteori / Udg. A. P. Yushkevich . - M . : Uddannelse, 1977. - S. 40. - 224 s.
35. ↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 59.
36. ↑ 1 2 Matematikkens historie, bind II, 1970 , s. 61.
37. ↑ Uspensky Ya. V. Essay om logaritmernes historie, 1923 , s. 39.
38. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 63.
39. ↑ Charles Hutton. Matematiske tabeller. Arkiveret 11. september 2016 på Wayback Machine London, 1811, s. tredive.
40. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 133.
41. ↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Essay om logaritmernes historie, 1923 , s. 52.
42. ↑ Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt, 1987 , s. 51, 286, 352.
43. ↑ Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt, 1987 , s. 213, 217.
44. ↑ Florian Cajori . A History of Mathematics, 5. udg  (ubestemt) . - AMS Boghandel, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024 .
45. ↑ Rybnikov K. A. Matematikkens historie. I to bind. - M. : Red. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 25.
46. ↑ 1 2 History of Mathematics, bind III, 1972 , s. 325-328.
47. ↑ Rybnikov K. A. Matematikkens historie. I to bind. - M. : Red. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
48. ↑ Matematik i det 19. århundrede. Bind II: Geometri. Theory of analytic functions, 1981 , s. 122-123.
49. ↑ Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometri. - S. 159-161. — 416 s.
50. ↑ Derbyshire, John. Simpel besættelse. Bernhard Riemann og det største uløste problem i matematik. - Astrel, 2010. - 464 s. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
51. ↑ Weisstein , Eric W. Log-Series Distribution  . matematik verden. Hentet 26. april 2012. Arkiveret fra originalen 11. maj 2012.
52. ↑ Logaritmisk normalfordeling // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
53. ↑ Maximum likelihood-metode // Mathematical Encyclopedia (i 5 bind) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
54. ↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the spirit of computing . - New York: Addison-Wesley, 2004. - S.  143 . - ISBN 978-0-321-11784-7 .
55. ↑ N.G. Kingsburg, PJW Rayner. Digital filtrering ved hjælp af logaritmisk aritmetik   // Elektronikbogstaver : journal. - 1971. - 28. januar ( bind 7 ). — S. 55 .
56. ↑ R. C. Ismail og J. N. Coleman. ROM-løs LNS  (neopr.)  // 20. IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH) 2011. - 2011. - Juli. - S. 43-51 . - doi : 10.1109/ARITH.2011.15 .
57. ↑ Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk. Sammenligning af flydende komma- og logaritmiske talrepræsentationer for rekonfigurerbar acceleration  //  IEEE-konference om feltprogrammerbar teknologi: tidsskrift. - 2006. - December. - S. 337 . - doi : 10.1109/FPT.2006.270342 .
58. ↑ Ivanov M. G. Størrelse og dimension // "Potentiale", august 2006.
59. ↑ 1 2 3 Shilov G. E. Simpel gamma. Enhed med musikvægt. Arkivkopi dateret 22. februar 2014 på Wayback Machine M.: Fizmatgiz, 1963. 20 s. Serien "Populære forelæsninger i matematik", udgave 37.
60. ↑ Golovin S. Yu. WEBER-FECHNER LAW // Ordbog for en praktisk psykolog . Hentet 17. april 2012. Arkiveret fra originalen 27. maj 2012. (ubestemt)
61. ↑ Irina Aldoshina. Grundlæggende om psykoakustik  // Lydtekniker. - 1999. - Udgave. 6 .
62. ↑ Fitts' lov // Psychological Encyclopedia . Hentet 17. april 2012. Arkiveret fra originalen 27. maj 2012. (ubestemt)
63. ↑ Welford, A. T. Grundlæggende om færdigheder . - London: Methuen, 1968. - S.  61 . - ISBN 978-0-416-03000-6 .
64. ↑ Logaritmisk spiral //Matematisk encyklopædisk ordbog / Kap. udg. Yu. V. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - S. 328. - 847 s. — ISBN 5-85270-278-1 .
65. ↑ Kharin A. A. Organisering og afholdelse af konkurrencer. Metodisk vejledning . - Izhevsk: UdGU, 2011. - S. 27.
66. ↑ Decibel // Great Soviet Encyclopedia  : [i 30 bind]  / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M .  : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
67. ↑ Uddannelses- og metodologisk kompleks: Metoder og midler til signalbehandling . Hentet 28. april 2012. Arkiveret fra originalen 18. februar 2012. (ubestemt)
68. ↑ Stjernestørrelse // Great Soviet Encyclopedia  : [i 30 bind]  / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M .  : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
69. ↑ Bates R. Bestemmelse af pH. Teori og praksis. - 2. udg. - L . : Kemi, 1972.
70. ↑ Gorkin A.P. Richter-skala // Geografi. - M. : Rosmen-Press, 2006. - 624 s. — (Moderne illustreret encyklopædi). — 10.000 eksemplarer.  — ISBN 5-353-02443-5 .
71. ↑ Optisk tæthed // Fotokinoteknik: Encyclopedia / Ch. udg. E. A. Iofis . — M .: Soviet Encyclopedia , 1981. — 447 s.
72. ↑ Fotografisk breddegrad // Fotokinoteknik: Encyclopedia / Ch. udg. E. A. Iofis . — M .: Soviet Encyclopedia , 1981. — 447 s.
73. ↑ Kulagin S. V. Uddrag // Foto-biografteknik: Encyclopedia / Kap. udg. E. A. Iofis . — M .: Soviet Encyclopedia , 1981. — 447 s.
74. ↑ Shein E. V. Jordfysikforløb. M.: Publishing House of Moscow State University, 2005. - 432 s. ISBN 5-211-05021-5 .
75. ↑ Begrebet frekvensgang . Hentet 28. april 2012. Arkiveret fra originalen 27. maj 2012. (ubestemt)
76. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 62.
77. ↑ Gnedenko B. V. Essays om matematikkens historie i Rusland, 2. udgave. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 s. - ISBN 5-484-00123-4 .
78. ↑ Logaritmiske tabeller  // Great Soviet Encyclopedia  : [i 30 bind]  / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M .  : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
79. ↑ History of Mathematics, bind II, 1970 , s. 65-66.
80. ↑ Berezin S.I. Tællelineal. - M . : Mashinostroenie, 1968.
81. ↑ David Eberly. Kvaternionalgebra og calculus  (engelsk) (2. marts 1999). Hentet 12. april 2012. Arkiveret fra originalen 27. maj 2012.
82. ↑ Vinogradov I. M. Grundlæggende om talteori . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 97. - 180 s.
83. ↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M .: Nauka, 1967. — 576 s.
84. ↑ p-adisk eksponentiel og p-adisk logaritme   // PlanetMath.org .

Litteratur

Teori om logaritmer

• Vygodsky M. Ya. Håndbog i elementær matematik . — M .: Nauka, 1978.
  • Genudgivelse: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
• Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementær matematik. Gentag kurset. - Tredje udgave, stereotypisk. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
• Korn G., Korn T. Håndbog i matematik (for forskere og ingeniører) . - M . : Nauka, 1973. - 720 s.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner af en kompleks variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
• Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - udg. 6. — M .: Nauka, 1966. — 680 s.
• Shakhmeister A. Kh. Logaritmer. Håndbog for skolebørn, tilmeldte og lærere. - udg. 5. - Sankt Petersborg. : MTSNMO, 2016. - 288 s. - ISBN 978-5-4439-0648-5 .

Logaritmers historie

• Abelson I. B. Logaritmernes fødsel . - M. - L .: Gostekhizdat, 1948. - 231 s.
• Girshvald L. Ya. Historien om opdagelsen af ​​logaritmer. - Kharkov: Publishing House of Kharkov University, 1952. - 33 s.
• Klein F. Elementær matematik fra et højere synspunkt . - M . : Nauka, 1987. - T. I. Aritmetik. Algebra. Analyse. — 432 s.
• Matematik i det 17. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
• Matematik i det 18. århundrede // Matematikkens historie / Redigeret af A.P. Yushkevich , i tre bind. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (red.). Matematik i det 19. århundrede. Geometri. Teori om analytiske funktioner. - M . : Nauka, 1981. - T. II.
• Uspensky Ya. V. Essay om logaritmers historie. - Petrograd: Videnskabeligt forlag, 1923. - 78 s.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Flot dansk Fantastisk norsk Stor russer Stor russer Brockhaus og Efron jorden rundt Lille Brockhaus og Efron Musical Riemann Britannica (online) Britannica (online)
I bibliografiske kataloger BNE : XX527539 BNF : 11941516p GND : 4168047-9 J9U : 987007533701405171 LCCN : sh85078091 NDL : 00572566