Logaritmisk amplitude-fase frekvensrespons

Logaritmisk amplitude-fase frekvensrespons (almindelig forkortelse - LAFCH, kaldes i udenlandsk litteratur ofte Bode-diagrammet eller Bode-plottet) - en repræsentation af frekvensresponsen af et lineært stationært system på en logaritmisk skala.

Introduktion

LAFC er bygget i form af to grafer: logaritmisk amplitude-frekvensrespons og logaritmisk fase-frekvensrespons , som normalt er placeret under hinanden.

LACHH

LAFC er afhængigheden af forstærkningsmodulet (spænding, strøm eller effekt) af enheden, ( , for strøm , af frekvens på en logaritmisk skala. $20\cdot \lg(|A_{{ud}}|/|A_{{in}}|)$ $10\cdot \lg(|P_{ud}|/|P_{in}|)$

Skala langs abscissen LACHH

Frekvensen er plottet langs abscisse-aksen på en logaritmisk skala, måleenheden er en dimensionsløs størrelse:

årti (dec): 1 årti er lig med 10 gange frekvensændringen.
oktav (okt): 1 oktav er lig med en frekvensændring på 2 gange.

Skala langs y-aksen LACHH

Amplituden af udgangssignalet er plottet langs ordinataksen i logaritmiske dimensionsløse størrelser:

decibel (dB) (en tiendedel af en Bel) er forholdet mellem potenser (20 decibel er lig med 10 gange magten) [1] .

neper (Np): 1 neper er lig med ændringen i amplituden af signalerne i e gange

LPCHX

LPFC er afhængigheden af faseforskellen af udgangs- og indgangssignalerne på frekvensen på en semi-logaritmisk skala

frekvensen er plottet langs abscissen på en logaritmisk skala (i årtier eller oktaver)
y-aksen repræsenterer udgangsfasen i grader eller radianer .

Napier og oktaver er nu forældede og næsten ikke brugt.

Årsagerne til at plotte amplitude- og fasekarakteristika på en logaritmisk skala er muligheden for at studere karakteristika i et stort område.

Asymptotisk LACH og LPCH

Faktisk er LACHH og LPCHH kun lidt brugt i praksis.

For en mere visuel analyse af egenskaberne bruges deres modificerede versioner - den asymptotiske logaritmiske amplitude-frekvenskarakteristik (ALFC) og den asymptotiske logaritmiske fasefrekvenskarakteristik (ALFC) , mens kurven erstattes af segmenter af en stiplet linje. Normalt er ordet "asymptotisk" udeladt, men man skal altid huske, at ALACHH (ALPHCH) og LACHH (LPCH) er forskellige karakteristika.

Analyse af systemer ved hjælp af ALPFC er meget enkel og praktisk, derfor er den meget udbredt i forskellige grene af teknologi, såsom digital signalbehandling , elektroteknik og kontrolteori .

Navne

I vestlig litteratur bruges navnet Bode diagram eller Bode graf , opkaldt efter den fremragende ingeniør Hendrik Wade Bode .

I ingeniørkredse er navnet normalt forkortet til LAH .

GNU Octave og MATLAB ingeniørsoftwarepakken bruger bode-funktionen til at bygge LAFC .

Brug

Egenskaber og funktioner

Hvis systemets overførselsfunktion er rationel , kan LAFC tilnærmes med rette linjer. Dette er praktisk, når du tegner LAFCH manuelt, såvel som når du kompilerer LAFCH simple systemer.

Ved hjælp af LAFC er det praktisk at udføre syntesen af kontrolsystemer såvel som digitale og analoge filtre : i overensstemmelse med visse kvalitetskriterier bygges den ønskede LAFC, tilnærmet ved hjælp af lige linjer, som derefter opdeles i LAFC af individuelle elementære links, hvorfra overførselsfunktionen af systemet ( regulator ) gendannes eller filtreres.

LACHH

På LAFC-grafen er abscissen frekvensen på en logaritmisk skala, ordinaten viser amplituden af overføringsfunktionen i decibel .

Præsentationen af frekvensresponsen på en logaritmisk skala forenkler konstruktionen af karakteristika for komplekse systemer, da den tillader at erstatte operationen med at multiplicere frekvensresponsen af links ved addition, som følger af logaritmens egenskab : . $\lg(a\cdot b)=\lg(a)+\lg(b)$

FCH

På grafen for fase-frekvenskarakteristikken er abscissen frekvensen på en logaritmisk skala, ordinaten repræsenterer faseforskydningen af systemets udgangssignal i forhold til inputtet (normalt i grader ).

Det er også muligt, at faseforskydningen på en logaritmisk skala er plottet langs y-aksen, i hvilket tilfælde karakteristikken vil blive kaldt LPFC.

Tilfælde af minimumsfasesystemer

Amplituden og fasen af systemet ændrer sig sjældent uafhængigt af hinanden – når amplituden ændres, ændres fasen også, og omvendt. For minimumsfasesystemer kan LPFC og LAFC bestemmes unikt fra hinanden ved hjælp af Hilbert-Warrington-transformationen .

Bygning LAFCHH

Hovedideen er baseret på følgende matematiske regel for tilføjelse af logaritmer. Hvis overførselsfunktionen kan repræsenteres som en rationel brøkfunktion

f(x)=A\prod (x+c_{n})^{a_{n}}

derefter:

\log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}log(x+c_{n})

Efter at have opdelt overførselsfunktionen i elementære led, er det muligt at konstruere LAFC'en for hvert enkelt led, og den resulterende LAFC kan opnås ved simpel addition.

Konstruktion af en asymptotisk LAFC ( tilnærmelse af LAFC ved rette linjer)

Når man konstruerer LFR for y-aksen, bruges skalaen normalt , det vil sige, at værdien af frekvensresponsen , lig med 100, bliver til 40 decibel af LFR-skalaen. Hvis overførselsfunktionen er: $20\cdot \operatørnavn {lg} (X)$

H(s)=A\cdot \prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}

hvor er en kompleks variabel, der kan relateres til frekvensen ved hjælp af følgende formelle substitution: , og er konstanter, og er overførselsfunktionen. Så kan du bygge LACHH ved at bruge følgende regler:

\s

s=j\omega \

\x_{n}

\y_{n}

\H

ved hver hvor (nul), stiger linjens hældning med dB pr. årti. $\s$ $\omega \=x_{n}$ $(20\cdot a_{n})$

ved hver where (pol), falder linjens hældning med dB pr. årti. $\s$ $\omega \=y_{n}$ $(20\cdot b_{n})$

Den indledende værdi af grafen kan findes ved blot at erstatte den cirkulære frekvensværdi i overførselsfunktionen. $\omega\$

Den indledende hældning af grafen afhænger af antallet og rækkefølgen af nuller og poler, der er mindre end den oprindelige frekvensværdi. Det kan findes ved hjælp af de to første regler.

I tilfælde af komplekse konjugerede nuller eller poler er det nødvendigt at bruge andenordens links, , hældningen ændres på et punkt umiddelbart med dB pr. årti. $x^{2}+ax+b$ ${\sqrt {b}}$ $(40\cdot a_{n})$

Korrektion af den tilnærmede LACH

For at korrigere LACH, tilnærmet ved lige linjer, er det nødvendigt:

sæt en prik ved hvert nul dB over linjen ( dB for to komplekse konjugerede nuller) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

ved hver pol sættes en prik dB under linjen ( dB for to komplekse konjugerede poler) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

forbinder jævnt punkter ved hjælp af lige linjer som asymptoter

Konstruktion af en asymptotisk LPHF (approximation)

For at opbygge en tilnærmet PFC, bruges overførselsfunktionen i samme form som for LAFC:

H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}.

Det grundlæggende princip for at bygge en PFC er at tegne separate grafer for hver pol eller nul og derefter lægge dem sammen. Den nøjagtige faseresponskurve er givet ved ligningen:

\varphi =\operatørnavn {arctg} \left({\frac {\Im (H(j\omega ))}{\Re (H(j\omega ))))\right).

For at tegne en faserespons for hver pol eller nul, skal du bruge følgende regler:

hvis positiv, start linjen (med nul hældning) ved 0 grader, $\EN$
hvis negativ, start linjen (med nul hældning) ved 180 grader, $\EN$
for nul, få linjen til at hælde opad med ( for komplekst konjugat) grader pr. årti fra $45\cdot a_{n}$ $90\cdot a_{n}$ $\omega ={\frac {x_{n}}{10)),$
for en stang, vip linjen ned med ( for komplekst konjugat) grader pr. årti, startende fra $45\cdot b_{n}$ $90\cdot b_{n}$ $\omega ={\frac {y_{n}}{10)),$
nulstil hældningen igen, når fasen ændres med grader for et simpelt nul eller pol og med grader for et komplekst konjugeret nul eller pol, $90\cdot a_{n}$ $180\cdot a_{n}$
tilføj alle linjerne og tegn den resulterende.

Stabilitetsanalyse ifølge LAFCH

Nedenfor er en tabel, der indeholder overførselsfunktionerne og LAFC for nogle typiske elementære links. De fleste af de lineære stationære systemer kan repræsenteres som en forbindelse af sådanne forbindelser. I tabellen - en kompleks variabel. $\s$

Ingen.	Link	Transmissionsfunktion	Noter
en	proportional	$\K$	$\K=100$
2	ideel integration	$\ 1/s$
3	ideel differentiering	$\s$
fire	aperiodisk (reelt integrerende)	${\frac {1}{Ts+1}}$	$\T=0,01$
5	oscillerende	${\frac {1}{T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1))$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
6	ustabil aperiodisk	${\frac {1}{Ts-1}}$	$\T=0,01$ ikke-minimum fase
7	første ordens differentiator (tvinger første ordre)	$\Ts+1$	$\T=0,01$
otte	fremtvinger anden orden	$\T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
9	ren forsinkelse	$\e^{-sT}$	$\T=0,0001$

Begrundelse

I hjertet af bestemmelsen af systemstabiliteten betragtes en model i form af et led, der er dækket af negativ feedback og muligheden for dets indtræden i selvsvingninger (oscillerende stabilitetsgrænse). Betingelsen for selvsvingninger er tilstedeværelsen af positiv feedback, mens forstærkningen i det direkte kredsløb mindst skal være enhed. Fasen af udgangssignalet (beskrevet af fase-frekvenskarakteristikken) føres tilbage gennem det negative feedback-kredsløb til indgangen, mens "fasemargin" er den ekstra faseforskydning, der skal være ved udgangen for at få positiv feedback. Transmissionskoefficienten i den direkte gren beskrives ved amplitude-frekvenskarakteristikken, mens frekvensen, som enhedsforstærkningen svarer til, kaldes "grænsefrekvensen", i LAF er grænsefrekvensen skæringspunktet mellem karakteristikken og abscissen. akse. Grafisk er fasemarginen defineret som forskellen mellem fasen ved π radianer (180°) og fasen ved afskæringsfrekvensen (positiv feedback-tilstand); "amplitudemargin" er afstanden langs amplitudeaksen fra afskæringsfrekvenspunktet til amplituden ved en vinkel på π radianer (tilstanden for en enhedskoefficient i den direkte gren).

Beregningsalgoritme

For at bestemme stabiliteten af et lukket system konstrueres LAFC for et åbent system (se fig.). Derefter skal du finde afskæringsfrekvensen ω cf ved at løse ligningen (herefter skal du, hvis der er flere rødder, vælge den største rod), og frekvensen ω in er maksimum af de frekvenser, som . Derefter - stabilitetsmarginen i amplitude - stabilitetsmarginen i fase. Hvis disse marginer er negative, så er det lukkede system ustabilt; hvis lig med nul, er det på stabilitetsgrænsen. $A(\omega _{cp})=0$ $A(\omega )=20\lg |W(j\omega )|$ $\varphi (\omega )=-180^{\circ }$ $\Delta A=A(\omega _{B})$ $\Delta \varphi =\varphi (\omega _{cp})+180^{\circ }$

Denne algoritme kan kun anvendes på minimumfasesystemer . I andre tilfælde kan Nyquist-Mikhailov og Routh-Hurwitz stabilitetskriterierne bruges til at bestemme stabiliteten .

Se også

Noter

↑ DB \u003d 20lg (A 2 /A 1 ) 20 \u003d 20lg (A 2 /A 1 ) A 2 /A 1 \u003d 10

Logaritmisk amplitude-fase frekvensrespons

Introduktion

LACHH

LPCHX

Asymptotisk LACH og LPCH

Navne

Brug

Egenskaber og funktioner

Bygning LAFCHH

Stabilitetsanalyse ifølge LAFCH

Begrundelse

Beregningsalgoritme

Se også

Noter

Links