Superlogaritme

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 26. marts 2016; checks kræver 27 redigeringer .

I matematik er superlogaritmen en af to inverse tetrationsfunktioner .

Ligesom eksponentiering har to inverse funktioner ( rod og logaritme ), så har tetration to inverse funktioner: superrod og superlogaritme . Dette skyldes hyperoperatorens ikke- kommutativitet for . $N>2$

Definitioner

Superlogaritmen af et tal til basen , på samme måde som logaritmen, er defineret som basistetrationsindekset , hvor tallet opnås . $b$ $-en$ $-en$ $b$

Notation: , udtales som " basis superlogaritme ". $\,\mathrm {slog} _{a}b$ $b$ $-en$

Superlogaritmen som en løsning til ligningen

For positive tal og superlogaritmen kan defineres som en af de eksisterende løsninger til ligningen: $-en$ $b$

${}^{x}a=b$ ; desuden, baseret på åbne teoretiske problemer, kan superlogaritmen bestemt kun tage lige og ulige værdier indtil videre (det vil sige, de kan bestemmes og beregnes). For en ulige superlogaritme kan tallene og tage alle positive værdier - dette forklares af det faktum, at formens funktioner stiger overalt ( på grund af fraværet af positive ekstreme punkter af afledte punkter ). $-en$ $b$ $f(x)={}^{n}x,{\frac {n-1}{2}}\in \mathbb {N}$ $x>0$

For en jævn logaritme er der nogle begrænsninger. Så for eksempel, for der er ikke sådan , at uligheden holder (fordi tallet er minimumsværdien af tetration ). Men for begrænsningen vil være anderledes (og så videre). $\,\mathrm {slog} _{a}b=2$ $-en$ ${\displaystyle b<e^{-{\frac {1}{e))))$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e))))$ ${}^{2}b,b>0$ $\,\mathrm {slog} _{a}b=4$

Itereret logaritme

Den positive heltals superlogaritme er nøjagtigt lig med den itererede logaritme, for eksempel: $\,\mathrm {slog} _{2}16=\log _{2}^{*}{16}=1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{ 16}}=1+\log _{2}^{*}{4}=1+1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{4}}=2+\log _{2}^{*}{2}=2+1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{2}}=3+\log _{2}^{*} {1}=3+0=3$

Og sandelig, ${}^{3}2=2^{2^{2}}=2^{4}=16.$

For negative og/eller ikke-heltalsværdier af superlogaritmen er en sådan definition imidlertid ikke egnet og derfor ikke fuldstændig nok.

Superlogaritme som en Abel -funktion

Den superlogaritmiske funktion er en abelsk funktion, fordi det er den eneste løsning på Abel funktionelle ligning for [1] : ${\displaystyle f(x)=a^{x))$

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1,{\text{ }}f(x)=a^{x},{\text{}}\alpha (x)={ \text{slog}}_{a}x.$

Således kan superlogaritmen implicit defineres gennem følgende algoritme:

\operatorname {slog} _{b}(z)={\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(1)=0\\\operatørnavn {slog} _{b}(b^ {z})=\operatørnavn {slog} _{b}(z)+1\end{cases}}

Kontroller for eksempel : $\operatørnavn {slog} _{2}{65536}=\operatørnavn {slog} _{2}{2^{16}}=\operatørnavn {slog} _{2}{16}+1=\operatørnavn {slog} _{2}{2^{4}}+1=\operatørnavn {slog} _{2}{4}+2=\operatørnavn {slog} _{2}{2^{2}}+2 =\operatørnavn {slog} _{2}{2}+3=4,$

${}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65536.$

Denne definition pålægger også en begrænsning på positiviteten og integriteten af superlogaritmen. For at udvide værdierne af superlogaritmen til store sæt af reelle tal , bruges flere omtrentlige tilgange, som normalt involverer et tredje yderligere krav til de to foregående, som varierer fra forfatter til forfatter (se detaljer nedenfor):

Lineær tilnærmelsesmetode for Rubstov og Romerio;
Kvadratisk tilnærmelse af Andrew Robbins;
Regelmæssig abelsk funktion (George Sekeres);
Itereret funktionsmetode af Peter Walker;
Naturlig matrix tilgang af Peter Walker (derefter generaliseret af Andrew Robbins).

Approksimationer

Lineær tilnærmelsesmetode

De første forfattere, der fandt denne tilnærmelse, var Konstantin Anatolyevich Rubtsov og Giovanni F. Romerio ( italiensk Giovanni F. Romerio ) (selvom denne særlige formel ikke er i deres artikel , kan den udledes af deres prototype af den tilsvarende algoritme til computersoftware - en hyperberegner [2] ). På den anden side er der tidligere fundet en lineær tilnærmelse af tetration, for eksempel af Ioannis Galidakis ( græsk: Ιωάννης Γαλιδάκης ) (naturlig invers lineær tilnærmelse). Den omtrentlige beregning af superlogaritmen ved denne metode reduceres til følgende algoritme:

$\operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1,{\text{ if }}z \leqslant 0\\-1+z,{\text{ if }}0<z\leqslant 1\\\operatørnavn {slog} _{b}{\log _{b}{z}}+1,{\ tekst{ if }}1<z\end{cases}}$

Det er en stykkevis defineret kontinuert for alle reelle funktioner (som en itereret logaritme) med en lineær "kritisk del". $z$

Forfattere som Holmes anerkender, at superlogaritmen vil være meget nyttig for den næste udvikling af flydende komma- computeraritmetik , men funktionen behøver ikke være uendeligt differentierbar til dette formål . For at repræsentere store tal giver den lineære tilnærmelsestilgang tilstrækkelig kontinuitet, så alle reelle tal kan repræsenteres på en superlogaritmisk skala.

Kvadratisk approksimationsmetode

Den første forfatter til at udgive denne tilnærmelse var Andrew Robbins . Denne metode antager følgende algoritme [3] :

$\operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(b^{z})-1,{\text{ if }}z \leqslant 0\\-1+{\frac {2\ln {b}}{1+\ln {b}}}z-{\frac {1-\ln {b}}{1+\ln {b }}}z^{2},{\text{ if }}0<z\leqslant 1\\\operatørnavn {slog} _{b}{\log _{b}{z}}+1,{\text { if }}1<z\end{cases}}$
Det er en stykkevis defineret kontinuerlig funktion, der kan differentieres for alle realer med en kvadratisk "kritisk del". Denne tilnærmelse af generaliseringen af superlogaritmen gør det muligt at udføre de grundlæggende operationer til at beregne superlogaritmen uden et stort antal forberedende forhåndsløsninger og beregningsomkostninger. $z$

Generaliseringer

Begge metoder beskrevet ovenfor er specielle tilfælde af den komplekse naturlige matrix tilgang, først fundet af Peter Walker og derefter generaliseret af Andrew Robbins. Især den anden række i disse systemer er produktet af et polynomium af grad fra og determinanten af en eller anden ordensmatrix (se eksempler på matricer i hans papir ), som er beskrevet af en kompleks generel formel ved hjælp af Kronecker-symbolet . På denne måde kan man opnå kubiske, etc. tilnærmelser, som hver vil være mere nøjagtige end den foregående med stigende. Den første og sidste linje i tilnærmelsessystemerne ændres ikke og er baseret på lemmaer , også beskrevet af forfatteren med beviser [3] . Der findes også andre metoder til tilnærmelse, men de er alt for besværlige og vanskelige til praktisk brug. $n$ $z$ $n$ $n$

Egenskaber

Grundlæggende superlog-identitet

Definitionen af superlogaritmen indebærer den grundlæggende superlogaritmiske identitet:

${}^{\,\mathrm {slog} _{a}b}a=b$

Især hvis , så Let og derefter beviset for lighed reduceres til følgende identitet: $\,\mathrm {slog} _{a}b=\,\mathrm {slog} _{a}c$ $b=c.$ $\,\mathrm {slog} _{a}b=x,$ $\,\mathrm {slog} _{a}c=y,$

${}^{x}a={}^{y}a$

${\displaystyle \underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))} _{x}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\ cdot ^{a))))}} _{y}\Longleftrightarrow a=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1}{\ Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}} _{y}{\Bigr )}\Longleftrightarrow a^{1}=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a)) _{x-1}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{ \cdot ^{a}}}}} _{y}{\Bigr )}\Longleftrightarrow 1=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{ x}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}} _{y}{\Bigr )))$

$1=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a)) _{x}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^ {\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{y}{\Bigr )}=\underbrace {\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1} {\Bigl (}\underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}_{y-1}{\Bigr )}=\ldots =\underbrace {a^{ \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))} _{yx}\Longleftrightarrow {}^{yx}a=1,$ herfra er der to muligheder:

eller så og ${}^{yx}a={}^{0}a,$ $yx=0$ $y=x;$
eller så hvorfra men siden (se nedenfor), da og hvad der allerede har været. ${}^{yx}a=a^{0},$ $a^{{}^{yx-1}a}=a^{0},$ $\operatorname {slog} _{a}0=yx-1,$ $\operatorname {slog} _{a}0=-1$ $yx-1=-1$ $yx=0,$

Superlogaritme af et, nul og grundtal

Det er accepteret (bestemt), at på grundlag af hvilket alle følgende egenskaber af superlogaritmen er afledt: ${}^{0}a=1,$

$\operatorname {slog} _{a}1=0,$ bevis:

$a=a^{{}^{0}a}\Longleftrightarrow {}^{0}a=\log _{a}a=1\Longleftrightarrow \operatornavn {slog} _{a}1=0$

i modsætning til logaritmen eksisterer superlogaritmen af nul og er defineret: hvilket kan bevises som følger: $\operatorname {slog} _{a}0=-1,$

$a=a^{{}^{0}a}=a^{a^{{}^{-1}a}}\Longleftrightarrow {}^{-1}a=\log _{a} \log _{a}a=\log _{a}1=0\Longleftrightarrow \operatørnavn {slog} _{a}0=-1$

$\operatorname {slog} _{a}a=1;$ til bevis, lad os antage det $\operatorname {slog} _{a}a=x:$

${}^{x}a=a\Longleftrightarrow a^{{}^{x-1}a}=a^{{}^{0}a}\Longleftrightarrow x-1=0,$ hvor $x=1.$

Andre bemærkelsesværdige egenskaber

De resterende egenskaber af superlogaritmen er defineret for positive og (men ikke for nogen): $-en$ $b$

$\,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}b+1$ , er en ret indlysende egenskab:

$a^{b}=a^{{}^{\,\mathrm {slog} _{a}b}a}={}^{\,\mathrm {slog} _{a}b+1 }a\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}b+1.$ Denne identitet kan generaliseres for ethvert heltal : $n>0$

$\,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}\underbrace {\log _{a}...\log _{a }} _{n-1}(b)+n$

$\,\mathrm {slog} _{a}b=\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1,$ som igen let kan udledes på samme grund:

$b=a^{\log _{a}b}\Longleftrightarrow b=a^{\left({}^{\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b) }a\right)}\Longleftrightarrow b={}^{\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1}a\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{a }(\log _{a}b)+1=\,\mathrm {slog} _{a}b.$ Generaliseret for ethvert heltal [2] : $n>0$

$\,\mathrm {slog} _{a}(b)=\,\mathrm {slog} _{a}\underbrace {\log _{a}...\log _{a))_{ n}(b)+n$

Generelt, $\,\mathrm {slog} _{a}(bc)\neq \,\mathrm {slog} _{a}b+\,\mathrm {slog} _{a}c;\,\mathrm {slog } _{a}\venstre({\frac {b}{c}}\right)\neq \,\mathrm {slog} _{a}b-\,\mathrm {slog} _{a}c;\ ,\mathrm {slog} _{x}({}^{z}y)\neq z\ gange \,\mathrm {slog} _{x}y.$
Selv superlogaritmer af de samme tal, men med forskellige baser, kan være ens. Simpelt eksempel: $\,\mathrm {slog} _{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}=\,\mathrm {slog} _{\frac {1} {4}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}=2.$
${\text{slog}}_{a}b>-2,{\text{ }}a,b>0,$ - baseret på den rekursive egenskab ved tetration:

$a=a^{a^{({}^{-1}a)}}=a^{a^{a^{({}^{-2}a)))},$ hvoraf det følger, at hvad er tilfældet med ubestemmeligheden af nul. $-2={\text{slog}}_{a}\log _{a}\log _{a}\log _{a}a\Longleftrightarrow -2={\text{slog}}_{ a}\log _{a}0,$

Ikke-heltalsindikatorer for tetration (superlogaritmer), som er summen af et heltal og et reciprok , kan bestemmes baseret på egenskaberne ved tetration:

${}^{\frac {m}{n}}a=\exp _{a}^{m}({}^{\frac {1}{n}}a),{\text{ if }}m=(kn+1),{\text{ }}k,n\in \mathbb {N},{\text{ }}n\neq 0.$ For eksempel: ${}^{2,5}a={}^{{\bigl (}2+{\frac {1}{2}}{\bigr )}}a=\exp _{a}^{ 2}({}^{\frac {1}{2}}a)=a^{a^{{\bigl (}{}^{\frac {1}{2}}a{\bigr ))) }.$

Udskiftning af basen

For superlogaritmen virker basisændringsformlen ikke: $\,\mathrm {slog} _{a}b\neq {\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{b}a)).$

Til beviset bruger vi følgende påstand: Lad os udtrykke $\,\mathrm {slog} _{x}a=\,\mathrm {slog} _{y}a\Longleftrightarrow {}^{\,\mathrm {slog} _{x}a}x={ }^{\,\mathrm {slog} _{y}a}x\Longleftrightarrow a={}^{\,\mathrm {slog} _{y}a}x.$ $x:$

$x={}^{\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{y}a}}a,$ hvis identiteten med ændringen af baser ville være sand, ville vi som et resultat få, at der , som allerede nævnt tidligere, i praksis er et uendeligt antal lige superlogaritmer af det samme tal, men med forskellige baser og lig med hinanden (se eksemplet ovenfor). $x={}^{\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{y}a}}a={}^{\,\mathrm {slog} _{a}y}a$ $y=x,$ $en,$ $x$ $y$

En mere generel formel, svarende til at ændre logaritmens basis, er baseret på logaritmens egenskab om at udtage eksponenten af et tal:

$\log _{a}b=\log _{a}(c^{\log _{c}b})=\log _{c}b\times \log _{a}c\Longleftrightarrow \ log _{c}b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}c)).$ For superlogaritmen vil en sådan formel også være forkert, da hverken tetrationsindekset (se egenskaber) eller eksponenten ( ) kan udtages som multiplikator (!). $\,\mathrm {slog} _{x}y^{z}\neq z\ gange \,\mathrm {slog} _{x}y$

Uligheder

Værdien af ethvert tals superlogaritme eksisterer for det første ikke altid (se ovenfor), og for det andet er den kun klart defineret i det tilfælde, hvor både grundtallet og tallet ligger på samme side af enhed ( dvs. kl ). Hvis disse uligheder overtrædes, vil superlogaritmen højst sandsynligt tage negative værdier (kun op til ). $\,\mathrm {slog} _{a}b>0$ $a,b\geqslant 1,$ $a,b\leqslant 1$ $-2$

Uligheder for positive tal kan superlogaritmiseres (men ikke altid). Desuden, hvis basis af superlogaritmen er større end én, så bevares ulighedstegnet (for eksempel siden ), og hvis basen er mindre end én, vil ulighedstegnet sandsynligvis ændre sig til det modsatte. $4<16\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{2}4<\,\mathrm {slog} _{2}16,$ $2<3$

Superlogaritmisk funktion

Nøglefunktioner

Hvis vi betragter et superlogaritmisk tal som en variabel, får vi den superlogaritmiske funktion eller ( det inverse af supereksponentialet). Det er defineret for, men ikke for alle , og værdiintervallet er indtil videre kun ikke-negative heltal. $y={\text{slog}}_{a}x$ $y={\text{sexp}}_{a}^{-1}(x)$ $a,x>0,$ $-en$ $x,$

For basen er den naturlige superlogaritme (og dens inverse) enkeltværdiet, da funktionen (eller ) på et givet interval er strengt stigende (faldende) [4] . Desuden er der en grænse, da superlogaritmen har en tendens til nul [4] : ${\displaystyle x\in [1/e;+\infty \))$ ${\text{slog}}_{x}y=n,{\text{ }}n\in \mathbb {N}$ ${\displaystyle {\Bigl (}{\text{slog}}_{x}y={\frac {1}{n}}{\Bigr )))$ $y={}^{n}x$ $y={}^{\frac {1}{n}}x$ $\lim _{n\to +\infty }{\bigl (}{}^{\frac {1}{n}}x{\bigr )}=x^{\frac {1}{x} },{\text{ }}n\in \mathbb {N} ,{\text{ }}x\in {\Bigl [}{\frac {1}{e}};e{\Bigr ]}.$

Formentlig er funktionen analytisk , i det mindste for nogle værdier [5] . Funktionens opførsel i sektionen af det komplekse plan for sagen er vist i figuren (værdierne af selve funktionen er tilnærmet). $y={\text{slog}}_{a}(x)$ $a=e$

Det følger af definitionen, at den superlogaritmiske afhængighed er en omvendt funktion for en funktion , derfor, hvis eksistensen og unikheden af den analytiske forlængelse af tetration er sikret af betingelserne for asymptotiske tilgange til fikspunkter og [6] i øvre og nedre dele af det komplekse plan, så skal den inverse funktion også være unik. En sådan funktion er reel på den reelle akse . Den har to yderpunkter i punkter, og den nærmer sig sin grænseværdi i nærheden af den negative del af den reelle akse (hele strimlen mellem snittene er vist med lyserøde linjer i figuren) og vokser langsomt langs den positive retning af den reelle akse . Da den afledede på den reelle akse er positiv, forbliver den imaginære del positiv lige over den reelle akse og negativ lige under den reelle akse. $y={}^{x}a,$ $z_{0}\approx 0.318+1.337i$ $z_{1}\approx 0.318-1.337i$ $z=z_{0}$ $z=z_{1}.$ $-2$ $f(z)={\text{slog}}_{e}z$

Afledninger af tetration med eksponenter og hhv . Differentiering kan fortsættes yderligere for enhver naturlig i henhold til den generelle formel: $2$ $3:$ $({}^{2}x)={}^{2}x(\ln(x)+1)$ ${\displaystyle ({}^{3}x)={}^{3}x{\biggl (}{}^{2}x(\ln(x)+1)\ln(x)+{\frac {{}^{2}x}{x}}{\biggr )))$ $n\geqslant 2$ $({}^{n}x)'={}^{n}x{\biggl (}{}^{n-1}x{\biggl (}{}^{n-2}x{ \bigl (}...{}^{2}x(\ln {x}+1)\ln {x}+{\frac {{}^{2}x}{x}}{\bigr )} \ln {x}+{\frac {{}^{3}x}{x}}{\biggr )}\ln {x}+...+{\frac {{}^{n-1}x }{x}}{\biggr )}={\frac {1}{x}}\cdot {{}^{n}x}\cdot {{}^{n-1}x}\cdot \left( \sum _{i=1}^{n-2}\left({(\ln {x})}^{i}\cdot \prod _{j=1}^{n-2}\left({ }^{j}x\right)\right)+{(\ln {x})}^{n-1}\cdot \prod _{i=1}^{n-1}({}^{i }x)+1\right)$

I henhold til reglerne for den inverse afledte , for at opnå det, er det nødvendigt at udtrykke en variabel fra superrodsfunktionen af anden grad ( ), som allerede er ikke-elementær , fordi udtrykkes i form af den ikke-elementære Lambert W-funktion . Generelt er den afledte af superlogaritmen, som den inverse af k , sandsynligvis også ikke-elementær, sammen med integralet af superlogaritmen. $x^{x}$ $y={}^{x}a,$

Den superlogaritmiske funktion kan således hidtil kun tilskrives ikke-elementære funktioner.

Praktiske applikationer

Løsning af en funktionel ligning $f(f(x))=a^{x}$

Grundsuperlogaritmen bruges til at løse den funktionelle ligning [2] : $a$ $f(f(x))=a^{x}$

$f(f(x))=a^{x}\Longrightarrow f(x)={}^{0,5+\operatørnavn {slog} _{a}x}a,$ undersøgelse:

$f(f(x))={}^{0,5+\operatørnavn {slog} _{a}{\bigl (}{{}^{0,5+\operatørnavn {slog} _{a }x}}a{\bigr )}}a={}^{0.5+0.5+\operatørnavn {slog} _{a}{x}}a={}^{1+\operatørnavn {slog } _{a }{x}}a=a^{{}^{\operatørnavn {slog} _{a}{x}}a}=a^{x}.$

Grafteori

Overvej rettede grafer med noder og sådan, at der eksisterer en rettet vej fra node til node , hvis og kun hvis . Hvis længden af alle sådanne stier ikke overstiger kanter, så er det mindst mulige samlede antal kanter asymptotisk afgrænset af estimatet [7] : $N$ $jeg$ $j$ $i>j$ $k$ $\Theta (f(N))$

$\Theta (N^{2})$ til $k=1;$
$\Theta (N^{2}\log _{a}N)$ til $k=2,{\text{ }}a>0;$
$\Theta (N\log _{a}\log _{a}N)$ til $k=3,{\text{ }}a>0;$
$\Theta (N\operatørnavn {slog} _{a}N)$ for og for (men ikke for nogen); $k=4$ $k=5,$ $a>0$
$\Theta (N\underbrace {{\operatørnavn {slog} _{a}\operatørnavn {slog} _{a}}\ldots \operatornavn {slog} _{a}} _{k-4}N)$ for og (men ikke for nogen). $k>5$ $a>0$

Åbne numre

Det vides ikke, om værdierne af superlogaritmer egner sig til en utvetydig logisk (teoretisk) generalisering til irrationelle og/eller negative reelle (såvel som komplekse) tal; der er endnu ikke udviklet nogen universel algoritme (metode) til beregning af superlogaritmer [ 8] .

Noter

↑ Abel-ligning - Hyperoperations Wiki . math.eretrandre.org. Dato for adgang: 23. juni 2018.
↑ 1 2 3 K. A. Rubtsov, G. F. Romerio. Løsningen af den funktionelle ligning f(f(x))=exp(x) (ru, en) // Scientific Bulletin of the Belgorod State University (Mathematics. Physics series): journal. - 2014. - 23. september ( hæfte 36 , nr. 19 (190) ). - S. 64-70 . — ISSN 2075-4639 .
↑ 1 2 Andrew Robbins. Begyndelsen af resultater . Home of Tetration - Papir . web.archive.org (28. august 2008). Dato for adgang: 27. januar 2019. (ubestemt)
↑ 1 2 Ioannis Galidakis. Et detaljeret kig på hyperroot-funktionerne ved hjælp af Lamberts W-funktion . Matematik . web.archive.org (7. april 2012). Hentet: 1. februar 2019. (ubestemt)
↑ Peter Walker. Uendeligt differentierbare generaliserede logaritmiske og eksponentielle funktioner // Mathematics of Computation : journal. - 1991. - Bd. 57. - P. 723-733. - doi : 10.2307/2938713 .
↑ H. Kneser. Reelle analytische Losungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen $\varphi {\Big (}\varphi (x){\Big )}={\rm {e}}^{x}$ (engelsk) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : journal. - 1950. - Bd. 187. - S. 56-67.
↑ Grinchuk M. I. Om kompleksiteten ved at implementere en sekvens af trekantede boolske matricer ved hjælp af portkredsløb af forskellige dybder // Diskrete analysemetoder i syntesen af kontrolsystemer / red. Yu. L. Vasil'eva. - Novosibirsk: IM: USSR Academy of Sciences, Sib. Institut, Matematisk Institut, 1986. - S. 3-23.
↑ Tetration Forum . math.eretrandre.org. Hentet: 6. maj 2018.

Links

Hjemmeside om tetration af Daniel Geisler .
Tetracy diskussionsforum .
Kuznetsov D. Tetration som en særlig funktion // Vladikavkaz Mathematical Journal. – 2010.
George Szekeres , Abels ligning og regelmæssige vækst

W. Neville Holmes sammensat aritmetik: Forslag til en ny standard . IEEE Computer Society Press, bind 30, nr. 3, s. 65-73, 1997.

Store tal
Tal	google Shannon nummer Googolplex Skæv nummer Moser nummer Graham nummer TRÆ(3) Rayo nummer
Funktioner	Ackermann funktion Veblen funktion Psi-funktioner af Buchholz tetration Pentation Hyperoperator Hurtigt voksende hierarki Langsomt voksende hierarki Hardy hierarki
Notationer	Steinhaus-Moser notation Knuth pil notation Conway pil notation Massive Bowers-notation