Logaritmisk fordeling

logaritmisk fordeling
Betegnelse	$\mathrm {Log} (p)$
Muligheder	$0<p<1$
Transportør	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\dots \))$
Sandsynlighedsfunktion	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {\;p^{k}}{k}}$
distributionsfunktion	$1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0)}{\ln(1-p)))$
Forventet værdi	${\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p}{1-p}}$
Mode	$en$
Spredning	$-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1-p)))$
Genererende funktion af momenter	${\frac {\ln(1-p\,\exp(t))}{\ln(1-p)))$
karakteristisk funktion	${\frac {\ln(1-p\,\exp(i\,t))}{\ln(1-p)))$

Den logaritmiske fordeling i sandsynlighedsteori er en klasse af diskrete fordelinger. Den logaritmiske fordeling bruges i en række forskellige anvendelser, herunder matematisk genetik og fysik.

Definition

Lad fordelingen af en stokastisk variabel være givet ved sandsynlighedsfunktionen : $Y$

p_{Y}(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)=-{\frac {1}{\ln(1-p))){\frac {p^{k)) {k}},\;k=1,2,3,\ldots

hvor . Så siger vi, at den har en logaritmisk fordeling med parameter . Skriv :. $0<p<1$ $Y$ $s$ $Y\sim \mathrm {Log} (p)$

Fordelingsfunktionen af en tilfældig variabel er stykkevis konstant med spring i naturlige punkter: $Y$

F_{Y}(y)=\left\{{\begin{matrix}0,&y<1&\\1+{\frac {\mathrm {B} _{p}(k+1,0) }{\ln(1-p)))),\;&y\i [k,k+1),\;&k=1,2,3,\ldots \end{matrix}}\right.,

hvor er den ufuldstændige betafunktion . $\mathrm {B} _{p}$

Bemærk

At funktionen faktisk er en sandsynlighedsfunktion af en eller anden fordeling følger af Taylor-seriens udvidelse af logaritmen : $p_{Y}(k)$

\ln(1-p)=-\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {p^{k}}{k));0<p<1

hvor

\sum \limits _{k=1}^{\infty }p_{Y}(k)=1

Øjeblikke

Den genererende funktion af momenterne af en stokastisk variabel er givet af formlen $Y\sim \mathrm {Log} (p)$

M_{Y}(t)={\frac {\ln \left[1-pe^{t}\right]}{\ln[1-p]}}

hvor

\mathbb {E} [Y]=-{\frac {1}{\ln(1-p))){\frac {p}{1-p))

\mathrm {D} [Y]=-p\;{\frac {p+\ln(1-p)}{(1-p)^{2}\,\ln ^{2}(1- p)}}

Forholdet til andre distributioner

Poisson-summen af uafhængige logaritmiske stokastiske variable har en negativ binomialfordeling . Lade være en sekvens af uafhængige identisk fordelte stokastiske variabler sådan, at . Lad være en Poisson tilfældig variabel. Derefter ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n))$ $X_{i}\sim \mathrm {Log} (p),\;i=1,2,\ldots$ $N\sim \mathrm {P} (\lambda )$

Y=\sum \limits _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {NB}

Ansøgninger

Den logaritmiske fordeling beskriver tilfredsstillende størrelsesfordelingen af asteroider i solsystemet .

Sandsynlighedsfordelinger
Diskret	Bernoulli Binomial Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerlig	Beta Weibulla Gamma- hypereksponentiel Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussisk) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformet kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerende Tracey - Vidoma Fisher Chi-kvadrat Eksponentiel Varians-gamma Multivariat normal kopula