Hilberts aksiomatiske

Hilberts aksiomatik  er et system af aksiomer for euklidisk geometri . Udviklet af Hilbert som mere komplet end Euklids system af aksiomer .

Udefinerede begreber

Udefinerbare begreber i Hilbert-aksiomerne er: punkt , ret linje , plan . Der er også 3 elementære relationer :

• Ligge mellem , gælder for punkter;
• Indeholder , gældende for punkter og linjer, punkter og planer, eller linjer og planer;
• Kongruens (geometrisk lighed), gælder for eksempel for linjestykker , vinkler eller trekanter , og er angivet med infix-symbolet ≅.

Alle punkter, linjer og planer antages at være forskellige, medmindre andet er angivet.

Aksiomer

Systemet med 20 aksiomer er opdelt i 5 grupper:

• medlemskabsaksiomer:
  • planimetrisk:
    1. Uanset hvad to punkter A og B er, er der en linje a , som disse punkter hører til.
    2. Uanset hvilke to forskellige punkter A og B er, er der højst én linje, som disse punkter hører til.
    3. Hver linje a indeholder mindst to punkter. Der er mindst tre punkter, der ikke hører til samme linje.
  • stereometrisk:
    1. Uanset de tre punkter A, B og C, der ikke hører til den samme linje, er der et plan α, som disse tre punkter tilhører. Hvert plan indeholder mindst et punkt.
    2. Uanset de tre punkter A, B og C, der ikke hører til samme linje, er der højst ét ​​plan, som disse tre punkter tilhører.
    3. Hvis to forskellige punkter A og B, der hører til en linje a, hører til et eller andet plan α, så hører hvert punkt, der tilhører linjen a, til det angivne plan.
    4. Hvis der er et punkt A, der hører til to planer α og β, så er der mindst et punkt mere B, der hører til begge disse planer.
    5. Der er mindst fire punkter, der ikke tilhører samme plan.
• rækkefølge aksiomer:
  • lineær:
    1. Hvis punkt B på en linje a ligger mellem punkterne A og C på samme linje, så er A, B og C forskellige punkter på den angivne linje, og B ligger også mellem C og A.
    2. Uanset hvad to adskilte punkter A og C er, er der på den linje, de definerer, mindst et punkt B, således at B ligger mellem A og C, og mindst et punkt D, således at C ligger mellem A og D.
    3. Blandt tre punkter, der ligger på samme linje, er der altid et og kun et punkt mellem de to andre.
  • Planimetrisk:
    1. Pashas aksiom : Lad A, B, C være tre punkter, der ikke er på samme linje, og a være en linje i planet (ABC), der ikke går gennem nogen af ​​punkterne A, B, C; hvis linjen a i dette tilfælde går gennem et punkt i stykket AB, så går den bestemt gennem et punkt i stykket AC eller et punkt i stykket BC.
• kongruensaksiomer:
  • lineær:
    1. Hvis A og B er to punkter på linjen a , er A' et punkt på samme linje eller på en anden linje a' , så er der på siden af ​​linjen a' givet fra punktet A ' og desuden kun en, punkt B', således at segment A'B' er kongruent med segment AB. Hvert segment AB er kongruent med segment BA.
    2. Hvis segmenterne A'B' og A"B" er kongruente med det samme segment AB, så er de kongruente med hinanden.
    3. Lad AB og BC være to stykker af en linje a , der ikke har fælles indre punkter, A'B' og B'C' er to stykker af samme linje eller en anden linje a' , der heller ikke har fælles indre punkter. Så hvis segment AB er kongruent med segment A'B', og segment BC er kongruent med segment B'C', så er segment AC kongruent med segment A'C'.
  • planimetrisk:
    1. Givet vinklen ∠ABC i plan a og strålen B'C' i plan a' , så er der i planet a ' nøjagtig en stråle B'D på en bestemt side af B'C' (og følgelig, en anden stråle B'E på den anden side fra B'C'), således at ∠DB'C' ≅ ∠ABC (og følgelig ∠EB'C' ≅ ∠ABC). Konsekvens: Hver vinkel er kongruent med sig selv
    2. Hvis der for to trekanter ABC og A'B'C' er kongruenser: AB≅A'B', AC≅A'C', ∠BAC ≅ ∠B'A'C', så er der altid kongruenser: ∠ABC ≅ ∠A'B'C', ∠ACB ≅ ∠A'C'B'.
• parallelismens aksiom , for hvilket Hilbert ikke valgte den euklidiske formulering, men et tilsvarende, men enklere aksiom for Proclus :
  • planimetrisk
    1. Lad a være en vilkårlig linje og A  et punkt uden for den; så kan du i planen defineret af punktet A og linjen a højst tegne en ret linje, der går gennem A og ikke skærer a .
• kontinuitetsaksiomer
  • lineær
    1. Arkimedes aksiom . Givet et segment CD og en stråle AB, så er der n og n punkter A 1 ,...,A n på AB således at: A j A j+1 ≅ CD, , A 0 falder sammen med A, og B ligger mellem A og En . _
    2. "Fuldhed af linjen". Tilføjelse af mindst et ekstra punkt til en ret linje vil forårsage en modsigelse med et af aksiomer for medlemskab, orden, de to første aksiomer for kongruens eller Arkimedes aksiomer .

21. aksiom

Hilbert inkluderede oprindeligt (1899) det 21. aksiom:

"Hvilke som helst fire punkter på linjen kan navngives A, B, C og D, så punkt B ligger mellem punkt A og C, og mellem A og D; punkt C er mellem A og D, og ​​også mellem B og D.

Eliakim Hastings Moore og Robert Lee Moore beviste uafhængigt i 1902 , at dette aksiom er overflødigt.

Fuldstændighed og konsistens

Som Alfred Tarski (1951) beviste, er Hilberts aksiomatisk logisk fuldstændig , det vil sige, at enhver (formel) udsagn om de geometriske begreber, den indeholder, kan bevises eller modbevises. Det er også konsistent, hvis aritmetikken [1] [2] er konsistent .

Historie

Det aksiomatiske skema af euklidisk geometri blev offentliggjort af David Hilbert i 1899 i det festlige bind "Festschrift", dedikeret til åbningen i Göttingen af ​​et monument over Carl Friedrich Gauss og hans ven, fysikeren Wilhelm Weber . Nu er "Fundamentals of Geometry" blevet udgivet på mange sprog i verden, en af ​​de to udgaver på russisk er angivet nedenfor i linkene.

Andre aksiomsystemer

Skabere af præ-Hilbert-systemer:

• Euklid
• pash
• Shur
• Peano (omfatter begrebet " bevægelse ")
• Veronese
• M. Pieri (1899)

Relateret Hilbert:

• V. F. Kagan (1902)
• O. Veblen (1904)
• A. Kolmogorov

Mere moderne aksiomer:

• Alexandrovs aksiomatik
• Tarskis aksiomatik
• Birghoffs aksiomatik  - indeholder " linealens aksiom " og " vinkelmålerens aksiom ". Dens varianter bruges i de fleste amerikanske skolebøger; Pogorelovs aksiomatiske er tæt på det .
• Weils aksiomatik  - opererer med udefinerede begreber af et punkt og en fri vektor . En linje og et plan er defineret som sæt af punkter.

Links

• D. Gilbert . Fundamenter for geometri. Oversættelse fra tysk, redigeret af A. V. Vasiliev. L., "Sæderen", 1923-152 s.
• Herman Weil. David Hilbert og hans matematiske værker.
• Valgfrit kursus i matematik. 7-9 / Komp. I. L. Nikolskaya. - M . : Education , 1991. - S. 356-363. — 383 s. — ISBN 5-09-001287-3 .

Noter

1. ↑ Encyclopedia of elementary mathematics (i 5 bind). - M. : Fizmatgiz, 1963. - T. 4. Geometri. - S. 41-48. — 568 s.
2. ↑ Hilberts aksiomersystem . Hentet 10. september 2017. Arkiveret fra originalen 20. juli 2018. (ubestemt)