Homogent rum

Et homogent rum kan uformelt beskrives som et rum, hvor alle punkter er ens , det vil sige, at der er en rumsymmetri , der fører ethvert punkt til et andet. Definitionen er ret generel og har flere varianter. Homogent rum omfatter rum med klassisk geometri såsom det euklidiske rum , Lobachevsky-rummet , affint rum , projektivt rum og andre.

Definition

Et homogent rum er en mængde X med en udpræget transitiv handling af gruppen G .

Elementerne i X kaldes punkter i det homogene rum.
Elementerne i G kaldes rumsymmetrier , og selve gruppen G kaldes gruppen af bevægelser eller grundgruppen i et homogent rum .
En undergruppe , der fikser et element , kaldes en stabilisator . $H_{x}<G$ $x\i X$ $x$
Hvis et sæt X er udstyret med en ekstra struktur, såsom en metrisk , topologi eller glat struktur , antages handlingen af G normalt at bevare denne struktur. For eksempel, i tilfælde af en metrik, antages handlingen at være isometrisk . Tilsvarende, hvis X er en glat manifold , så er elementerne i gruppen diffeomorfismer .

Egenskaber

Alle stabilisatorer er konjugerede undergrupper.
Et homogent rum med en basisgruppe G kan identificeres med de venstre sidesæt af stabilisatoren H . I dette tilfælde genererer den venstre handling af G på sig selv en handling på coset-rummet G/H .

Eksempler

Metriske mellemrum

Euklidisk rum med isometri gruppehandling; stabilisatoren af denne handling er gruppen af ortogonale transformationer. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathrm {O} (n)$
Standard sfære med følgende handlinger: ${\mathbb {S}}^{n}$
- Grupper af ortogonale transformationer ; stabilisatoren af denne handling er isomorf for gruppen . $\mathrm {O} (n)$ $\mathrm {O} (n-1)$
- Grupper - en speciel ortogonal gruppe; stabilisatoren af denne handling er isomorf for gruppen . ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {SO} (n-1)$
Lobachevsky-rum med Lorentz-gruppens handling .
Græsmand :. _ $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\ gange \mathrm {O} (nr))$

Andet

Affint rum (for affin gruppe , punktstabilisator for den fulde lineære gruppe ): . $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$
Topologiske vektorrum (i topologisk forstand).
Antidesitter plads : . $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$

Variationer og generaliseringer

Et metrisk rum siges at være punktvis homogent, hvis den isometriske kortlægning af -punktvise delmængder af in kan udvides til en isometri $x$ $n$ $n$ $K\undersæt X$ $x$ $x$
Endeligt homogene, tælleligt homogene, kompakt homogene rum og så videre er defineret på samme måde.
Dobbeltkvotientrummet er gruppens kvotient ved at undergruppen handler til højre og venstre. $G/\!/H$ $G$ $H<G\ gange G$ $G$
Præhomogene vektorrum er et endeligt dimensionelt vektorrum V med en algebraisk gruppehandling G , således at der eksisterer en bane G , der er åben i Zariski-topologien (og derfor tæt). Et eksempel er gruppen GL(1), der virker i et-dimensionelt rum . Ideen om præ-homogene vektorrum blev foreslået af Mikio Sato .

Se også

Rummets homogenitet

Litteratur

L. D. Landau, E. M. Lifshits. Teoretisk fysik. I 10 bind. - M . : "Nauka", 1988. - T. 2. - ISBN 5-02-014420-7 .
Steve Weinberg . Gravitation og kosmologi (engelsk) . - John Wiley og sønner, 1972.
John Milnor , James D. Stasheff. Karakteristiskeklasser . - Princeton University Press , 1974. - ISBN 0-691-08122-0 .
Takashi Koda. En introduktion til homogene rums geometri . — Kyungpook National University.
Menelaos Zikidis. Homogene rum . — Heidelberg Universitet.
Shoshichi Kobayashi , Katsumi Nomizu . kapitel X // Fundamenter for differentialgeometri . - Wiley Classics Library, 1969. - Vol. 2.