Bolden er en geometrisk krop ; sættet af alle punkter i rummet placeret i en afstand fra centrum , ikke mere end et givet. Denne afstand kaldes kuglens radius . En kugle dannes ved at dreje en halvcirkel rundt om dens faste diameter . Denne diameter kaldes kuglens akse , og begge ender af den angivne diameter kaldes kuglens poler . En kugles overflade kaldes en kugle : en lukket kugle inkluderer denne kugle , en åben kugle udelukker den.
Hvis skæreplanet passerer gennem midten af bolden, kaldes kuglens sektion storcirkel . Andre plane dele af bolden kaldes små cirkler . Arealet af disse sektioner beregnes med formlen πR².
Overfladearealet og volumenet af en kugle med radius (og diameter ) bestemmes af formlerne:
Lad os tage en kvart cirkel med radius R centreret i punktet . Ligningen for denne cirkels omkreds er: , hvorfra .
Funktionen er kontinuerlig, aftagende, ikke-negativ. Når en fjerdedel af en cirkel roterer omkring Ox-aksen, dannes en halvkugle, derfor:
Hvor kommer Ch. t.
H. t. d.
Begrebet en bold i et metrisk rum generaliserer naturligvis begrebet en bold i euklidisk geometri .
Lad et metrisk rum angives . Derefter
En kugle med radius centreret kaldes også et -nabolag til et punkt .
Volumen af en n-dimensional kugle med radius R i n - dimensional euklidisk rum: [1]
hvor Γ er Euler gammafunktionen (som er udvidelsen af faktorial til feltet af reelle og komplekse tal ). Ved at bruge særlige repræsentationer af gammafunktionen for heltal- og halvheltalsværdier kan man opnå formler for volumenet af en n-dimensionel kugle, der ikke kræver en gammafunktion:
, .Velkendt !! her betegnes den dobbelte faktor .
Disse formler kan også reduceres til én generel:
.Invers funktion til at udtrykke radiussens afhængighed af volumenet:
.Denne formel kan også opdeles i to, for rum med et lige og et ulige antal dimensioner, ved at bruge faktorial og dobbelt faktor i stedet for gamma-funktionen:
, . RekursionVolumenformlen kan også udtrykkes som en rekursiv funktion . Disse formler kan bevises direkte eller udledes af den grundlæggende formel ovenfor. Den nemmeste måde at udtrykke volumen af en n - dimensional kugle på er i form af volumen af en dimensionel kugle (forudsat at de har samme radius):
.Der er også en formel for rumfanget af en n - dimensionel kugle afhængig af volumenet af en ( n − 1)-dimensionel kugle med samme radius:
.Det samme uden gamma-funktionen:
Mellemrum med lavere dimensionerVolumenformler for nogle rum med lavere dimensioner:
Antal målinger | Volumen af en kugle med radius R | Volumenkugleradius V |
---|---|---|
en | ||
2 | ||
3 | ||
fire | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
otte | ||
9 | ||
ti |
Da antallet af dimensioner har en tendens til uendeligt, har volumenet af en kugle med enhedsradius en tendens til nul. Dette kan udledes af den rekursive repræsentation af volumenformlen.