Bold

Bolden  er en geometrisk krop ; sættet af alle punkter i rummet placeret i en afstand fra centrum , ikke mere end et givet. Denne afstand kaldes kuglens radius . En kugle dannes ved at dreje en halvcirkel rundt om dens faste diameter . Denne diameter kaldes kuglens akse , og begge ender af den angivne diameter  kaldes kuglens poler . En kugles overflade kaldes en kugle : en lukket kugle inkluderer denne kugle , en åben kugle  udelukker den.

Relaterede definitioner

Hvis skæreplanet passerer gennem midten af ​​bolden, kaldes kuglens sektion storcirkel . Andre plane dele af bolden kaldes små cirkler . Arealet af disse sektioner beregnes med formlen πR².

Grundlæggende geometriske formler

Overfladearealet og volumenet af en kugle med radius (og diameter ) bestemmes af formlerne:

Bevis

Lad os tage en kvart cirkel med radius R centreret i punktet . Ligningen for denne cirkels omkreds er: , hvorfra .

Funktionen er kontinuerlig, aftagende, ikke-negativ. Når en fjerdedel af en cirkel roterer omkring Ox-aksen, dannes en halvkugle, derfor:

Hvor kommer Ch. t.

Bevis

H. t. d.

Begrebet en bold i et metrisk rum generaliserer naturligvis begrebet en bold i euklidisk geometri .

Definitioner

Lad et metrisk rum angives . Derefter

Noter

En kugle med radius centreret kaldes også et -nabolag til et punkt .

Egenskaber

Bind

Volumen af ​​en n-dimensional kugle med radius R i n - dimensional euklidisk rum: [1]

hvor Γ er Euler gammafunktionen (som er udvidelsen af ​​faktorial til feltet af reelle og komplekse tal ). Ved at bruge særlige repræsentationer af gammafunktionen for heltal- og halvheltalsværdier kan man opnå formler for volumenet af en n-dimensionel kugle, der ikke kræver en gammafunktion:

, .

Velkendt !! her betegnes den dobbelte faktor .

Disse formler kan også reduceres til én generel:

.

Invers funktion til at udtrykke radiussens afhængighed af volumenet:

.

Denne formel kan også opdeles i to, for rum med et lige og et ulige antal dimensioner, ved at bruge faktorial og dobbelt faktor i stedet for gamma-funktionen:

, . Rekursion

Volumenformlen kan også udtrykkes som en rekursiv funktion . Disse formler kan bevises direkte eller udledes af den grundlæggende formel ovenfor. Den nemmeste måde at udtrykke volumen af ​​en n - dimensional kugle på er i form af volumen af ​​en dimensionel kugle (forudsat at de har samme radius):

.

Der er også en formel for rumfanget af en n - dimensionel kugle afhængig af volumenet af en ( n − 1)-dimensionel kugle med samme radius:

.

Det samme uden gamma-funktionen:

Mellemrum med lavere dimensioner

Volumenformler for nogle rum med lavere dimensioner:

Antal målinger Volumen af ​​en kugle med radius R Volumenkugleradius V
en
2
3
fire
5
6
7
otte
9
ti
Rum af højere dimensioner

Da antallet af dimensioner har en tendens til uendeligt, har volumenet af en kugle med enhedsradius en tendens til nul. Dette kan udledes af den rekursive repræsentation af volumenformlen.

Eksempler

  • Lad være  et euklidisk rum med den sædvanlige euklidiske afstand. Derefter
 er henholdsvis åbne og lukkede segmenter .
  • hvis (rum - plan ), så
 er henholdsvis åbne og lukkede skiver .
  • hvis , så
 er henholdsvis en åben og en lukket stereometrisk sfære .
  • I andre metrikker kan bolden have en anden geometrisk form. Lad os for eksempel definere en metrik i det euklidiske rum som følger:
Derefter
  • hvis , Så  er et åbent kvadrat med et centrum i et punkt og sider af længden placeret diagonalt på koordinatakserne.
  • hvis , så  er et åbent tredimensionelt oktaeder .

Se også

Noter

  1. Ligning 5.19.4, NIST Digital Library of Mathematical Functions. http://dlmf.nist.gov/ , udgivelse 1.0.6 af 2013-05-06.

Litteratur

Links til online-beregnere