Projektiv transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 25. maj 2021; verifikation kræver 1 redigering .

En projektiv transformation af et projektivt plan er en transformation , der tager linjer til linjer.

Definition

En projektiv transformation er en en-til-en kortlægning af et projektivt rum på sig selv, der bevarer ordensrelationen for det delvist ordnede sæt af alle underrum. $\phi$

En projektiv transformation af en linje er en bijektiv transformation af en linje, der tager en harmonisk firdobling af punkter til en harmonisk firdobling af punkter.

En projektiv transformation af et plan er en en-til-en afbildning af det projektive plan på sig selv, således at billedet for enhver direkte linje også er en direkte linje. $\phi \colon \pi \to \pi$ $\pi$ $l\undersæt\pi$ $\phi (l)$

Egenskaber

Den projektive transformation bevarer den dobbelte relation .
En projektiv transformation er en en-til-en kortlægning af sættet af punkter i det projektive plan, og er også en en-til-en kortlægning af sættet af linjer.
En kortlægning invers til en projektiv er en projektiv kortlægning. Sammensætningen af projektive kortlægninger er en projektiv kortlægning. Således danner sættet af projektive afbildninger en gruppe .
Central projektion er et særligt tilfælde af projektiv transformation.
En affin transformation er et specialtilfælde af en projektiv.
Hver linje i flyet under en projektiv transformation af planet er afbildet projektivt på en linje. Hvert strålebundt af flyet er afbildet projektivt på et strålebundt.
Den projektive transformation af en ret linje bestemmes ved at specificere tre par punkter svarende til kortlægningen. Denne påstand kaldes undertiden den grundlæggende teorem for projektiv geometri.
En projektiv transformation af et plan er defineret ved at specificere fire par punkter svarende til kortlægningen, og ingen tre punkter fra de fire billeder eller forbilleder ligger på den samme rette linje. For en ikke-identisk kortlægning er antallet af fikspunkter højst tre.
Hver projektiv transformation af et plan er givet ved en reversibel lineær transformation af det tredimensionelle rum, der svarer til det. I homogene koordinater er det repræsenteret af ligningerne: ${\begin{cases}\lambda x_{1}'=c_{{11}}x_{1}+c_{{12}}x_{2}+c_{{13}}x_{3}\\\lambda x_{2}'=c_{{21}}x_{1}+c_{{22}}x_{2}+c_{{23}}x_{3}\\\lambda x_{3}'=c_{ {31}}x_{1}+c_{{32}}x_{2}+c_{{33}}x_{3}\end{cases}}$

og .

\det(c_{{ij}})\neq 0

Perspektiv

Lad der være 2 distinkte linjer på det projektive plan og et punkt O , der ikke hører til dem . En perspektivisk afbildning af en linje på en linje med centrum O er en afbildning , hvor punktet for et vilkårligt punkt findes som skæringspunktet mellem og . Denne kortlægning er betegnet som: som lyder " oversat til en lige linje ved en perspektivafbildning centreret ved O " eller som følger: som lyder "punkter er oversat af en perspektivkortlægning centreret ved O til punkter ". ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $\psi :u_{1}\to u_{2}$ $A\in u_{1}$ $\psi (A)$ $OA$ ${\displaystyle u_{2))$ $u_{1}{\overset {O}{\doublebarwedge }}u_{2},$ $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABC\ldots {\overset {O}{\doublebarwedge }}A'B'C'\ldots ,$ $A,B,C,\ldots$ $A',B',C',\ldots$

Perspektivkortlægningen er bijektiv, bevarer linjernes skæringspunkt og bevarer den dobbelte relation mellem firedobbelt af punkter . ${\displaystyle u_{1},u_{2))$

Enhver projektiv afbildning fra en linje til en linje kan repræsenteres som en sammensætning af perspektivafbildninger. Den projektive kortlægning er betegnet $u_{1}$ ${\displaystyle u_{2))$ $ABCD\barwedge A'B'C'D'.$

Involution

En projektiv transformation kaldes en involution , hvis det for ethvert punkt P er sandt, at . $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$

Hvis er en involution, så . $\phi$ $\phi ^{-1}=\phi$

Hvis en projektiv transformation af en linje har mindst et punkt P sådan, at , Så er en involution. $\phi$ $\phi (\phi (P))=P$ $\phi$

Hvis en ikke-identisk involution af den projektive linje har fikspunkter, så er deres antal enten to eller nul. En involution med 2 fikspunkter kaldes hyperbolsk. Hyperbolsk involution bytter punkter, der er harmonisk konjugerede med hensyn til fikspunkter. En involution uden fikspunkter kaldes elliptisk.

En involution defineres ved at angive to par tilsvarende punkter.

Tre par af modsatte sider af en komplet firkant skærer enhver linje (der ikke går gennem et toppunkt) i tre par af punkter af samme involution (denne udsagn kaldes Desargues' sætning, selvom dens oprindelse kan tilskrives Lemma IV af Euklids Porismer i bind VII af Pappus af Alexandrias matematiske samling ).

Kolinationer og korrelationer

En kollinering er en transformation, der tager punkter til punkter, linjer til linjer og bevarer incidensforholdet mellem punkter og linjer, såvel som det dobbelte forhold mellem fire collineære punkter. Kolinationer danner en gruppe. Kravet om at bevare det dobbelte forhold mellem det firdobbelte af kollineære punkter er overflødigt, men det er svært at bevise. Kollineationer betragtes sammen med korrelationer - transformationer af det projektive plan, der transformerer punkter til linjer og linjer til punkter og bevarer incidensrelationen. Et eksempel på en korrelation er en polær korrespondance, det vil sige en kortlægning, der tager et punkt til sin polære i forhold til et keglesnit og en lige linje til sin pol.

Homologi

En homologi er en ikke-identisk kollination, for hvilken der eksisterer en punktvis fast linje p , kaldet homologiaksen.

For enhver homologi eksisterer der et fast punkt P (homologicenter) med den egenskab, at enhver linje, der falder ind dertil, er fast. Bortset fra midten P og punkterne på aksen p har homologien af fikspunkter ingen fikspunkter. Hvis , så kaldes homologien parabolsk, ellers kaldes den hyperbolsk. $P\in p$

Under planhomologi ligger punktet og dets billede på den samme lige linje med homologiens centrum, og linjen og dets billede skærer hinanden på homologiaksen.

Homologi kan gives af et center, en akse og et par tilsvarende linjer. Homologi kan også specificeres ved centrum, akse osv. en homologikonstant forskellig fra . $0,1,\infty$

Se også

Litteratur

D. A. Grav . Homography // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 bind (82 bind og 4 yderligere). - Sankt Petersborg. , 1890-1907.
P. S. Alexandrov . Kursus i analytisk geometri og lineær algebra. — M .: Nauka, 1979.
R. Hartshorne. Grundlæggende om projektiv geometri. — M .: Mir, 1970.
H. S. M. Coxeter. Ægte projektivt plan / udg. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.
R. Courant, G. Robbins. Hvad er matematik?
N.V. Efimov . Højere geometri . - FizMatLit, 2003.
S. L. Pevzner . Projektiv geometri. Lærebog om kurset "Geometri" for studerende-deltidsstuderende II-III kurser af fysiske og matematiske fakulteter. - M . : Uddannelse, 1980.